欧拉运动微分方程和NS方程的异同点
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微分方程讲义
课程安排:2学期,周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容:定积分的计算 要求:听课 、复习 、 作业 本次课题(或教材章节题目):第七章 微分方程 第一讲 微分方程的基本概念 教学要求: 微分方程的基本概念以及微分方程阶的概念。 重 点:微分方程的基本概念,微分方程阶的概念 难 点: 微分方程的概念; 微分方程阶的概念 教学手段及教具:讲授为主 讲授内容及时间分配: 1 复习 15分钟 2 微分方程的问题举例 30分钟 3 微分方程概念以及阶数练 45分钟 课后 作业 参考 资料 定积分的概念与性质 一、复习导数和高阶导数的概念 二、微分方程问题举例及引出 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映?利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究?因此如何寻找出所需要的函数关系?在实践中具有重要意义?在许多问题中?往往不能直接找出所需要的函数关系?但是根据问题所提供的情况?有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式?这样的关系就是所谓微分方程?微分方程建立以
12微分方程
第十二章 微分方程
一、内容提要
(一)主要定义
【定义12.1】 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程; 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.
【定义12.2】 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.
一般形式为: Fx,y,y?,y??,?,y标准形式为:y?n??(n)??0.
??fx,y,y?,?,y?n?1?.
?【定义12.3】 微分方程的解 若将函数y???x?代入微分方程使其变成恒等式 即 F?x,??x?,???x????n???x????0,
或者 ??n??x????x?,?,??n?1??x?? f?x,?x,?????则称y???x?为该方程的解.
根据y?y?x?是显函数还是隐函数 ,分别称之为显示解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解);不含有任意常数的解叫特解.
【定义12.4】 定解条件 用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件.
例
【例1
非线性方程和常微分方程的解法
非线性方程和常微分方程的解法
实验8 非线性方程和常微分方程的解法
一、实验目的
学会用MATLAB软件求解非线性方程和常微分方程。
二、实验内容与要求
1. 非线性方程的整值解
(1)最小二乘法
格式:fsolve(’fun’,x0)%求方程fun=0在估计值x附近的近似解。
[例1.72] 求方程x e 0的解。
>>fc=inline(‘x-exp(-x)’);
>>xl=fsolve(fc,0)
xl=
0.5671
问题1.28:求解方程5xsinx-e 0,观察知有多解,如何求之?
先用命令fplot(’5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]’,[0,10])作图1.13,注意5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]中的“[ ,0]”是作y=0直线,即x轴。方程在[0,10]区间从图中可看出有4个解,分别在0,3,6,9附近,所以用命令:
>>fun=inline(’5*x^2*sin(x)-exp(-x)’);
>>fsolve(fun,[0,3,6,9],le-6)
得出结果:
ans=
0.5918 3.1407 6.2832 9.4248
【例 1.73】求解方程组x-0.7sinx-0.2co
用拉氏变换法解线性微分方程
用拉氏变换法解线性微分方程
一 基本定义
若函数f(t),t为实变量,线积分
∫ f(t)e-st dt (s为复变量)存在,
0∞
则称其为f(t)的拉氏变换,记为F(s)或£[f(t)],即F(s)=£[f(t)]=∫ f(t)e-st dt
0
∞
常称:F(s)→f(t)的象函数;
f(t) →F(s)的原函数。 二 基本思路
用拉氏变换解线性微分方程,可将经典数学中的微积分运算转化成代数运算
三 典型函数的拉氏变换 1、单位阶跃函数
f(t)=1(t)= 1 t≧0 0 t <0
F(s)=£[f(t)]= ∫ f(t)e-st dt =∫ 1 e-st dt =1/s
0∞
∞ 0
微分方程 拉氏变换 象函数 解代数方程 象原函数 (微分方程解) 拉氏反变换 象函数 代数方程 f(t) 1 0
t
2、单位斜坡函数 f(t)= t 1(t) = t t≥0
0 t<0
-st 2
F(s)=£[f(t)]= ∫0 t edt =1/s
∞
f(t) t
3、等加速度函数
f(t) = 1/2 t2
非线性方程和常微分方程的解法
非线性方程和常微分方程的解法
实验8 非线性方程和常微分方程的解法
一、实验目的
学会用MATLAB软件求解非线性方程和常微分方程。
二、实验内容与要求
1. 非线性方程的整值解
(1)最小二乘法
格式:fsolve(’fun’,x0)%求方程fun=0在估计值x附近的近似解。
[例1.72] 求方程x e 0的解。
>>fc=inline(‘x-exp(-x)’);
>>xl=fsolve(fc,0)
xl=
0.5671
问题1.28:求解方程5xsinx-e 0,观察知有多解,如何求之?
先用命令fplot(’5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]’,[0,10])作图1.13,注意5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]中的“[ ,0]”是作y=0直线,即x轴。方程在[0,10]区间从图中可看出有4个解,分别在0,3,6,9附近,所以用命令:
>>fun=inline(’5*x^2*sin(x)-exp(-x)’);
>>fsolve(fun,[0,3,6,9],le-6)
得出结果:
ans=
0.5918 3.1407 6.2832 9.4248
【例 1.73】求解方程组x-0.7sinx-0.2co
微分方程作业
P10习题
1.用Euler法和改进的Euler法求u’=-5u (0≤t≤1),u(0)=1的数值解,步长h=0.1,0.05;并比较两个算法的精度。
解:function du=Euler_fun1(t,u) du=-5*u;clear;
h=0.1;tend=1;N=1/h;t(1)=0;u(1)=1; t=h.*(0:N); for n=1:N
u(n+1)=u(n)+h*Euler_fun1(t(n),u(n)); end
plot(t,u,'*');hold on for n=1:N
v(1)=u(n)+h*Euler_fun1(t(n),u(n)); for k=1:6
v(k+1)=u(n)+h/2*(Euler_fun1(t(n),u(n))+Euler_fun1(t(n+1),v(k))); end
u(n+1)=v(k+1); end
plot(t,u,'o');
sol=dsolve('Du=-5*u','u(0)=1'); u_real=eval(sol); plot(t,u_real,'r');
将上述 h 换为0.05得:
由图像知道:
显然改进的Euler法要比Euler法
6、运动方程--(N-S、欧拉)
介绍流体力学的知识,
第一章 流体力学基础
介绍流体力学的知识,
流体流动规律,这样可以了解每一个流体微团的位置变化和力学关系,从而,由流体微团组成的整个流体的运动状况也就清楚了。这种研究方法称为拉格朗日法。流动过程中所遵循的各种物理定律,如质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律等都是针对"系统"而建立的, 图1-19 微元六面体的受力图
或写成 (1-54)
微元六面体上各个面上的表面力受力情况如图1-19所示。每个面上均有三个应力分量,一个法向应力和两个切向应力,六个面共计18个应力,其大小标于图上。 于是,微元系统在x方向上所有表面力之和为:
(1-55)
类似地,y、z方向上所有表面力之和分别为:
(1-56)
(1-57)
可统一表示为: (1-58)
将作用在微元系统上的质量力与表面力代入式1-52中得:
(1-59)
二.运动方程
将式1-59代入式1-50中,并除以dxdydz得:
(1-60)
写成矢量式为: (1-61)
这就是以应力形式表示的粘性流体的微分动量衡算方程,亦称为运动方程。
介绍流体力学的知识,
三.奈维-斯托克斯方程
1.应力与形变速率之间的关系---本构方程
流体质点受到应力作用将
裘布依微分方程
1.答:对于底坡i=0、 i>0条件下均质潜水含水层二维流,渗流宽度不变,而渗流厚度h沿流向变小。而根据渗流连续性原理,可知q=常量。
那么,由裘布依微分方程
q??Kh?H ?x
可知??H沿流向将变大,即水头线越来越弯曲,其形状H为一上凸的曲线。?x
由此,可知习题6-1图所示的水头线形状不正确,图中红色曲线为正确的水头线形状。
(a) (b)
习题6-1图
2.答:
(a)对于底坡i>0条件下均质潜水含水层二维流,渗流宽度不变,而渗流厚度h沿流向变小。而根据渗流连续性原理,可知q=常量。 那么,由裘布依微分方程
q??Kh?H ?x
可知?
?H沿流向将变大,即水头线越来越弯曲, 其形状为一上凸的曲线。?x
(a) (b)
习题6-2图
(b)对于底坡i>0条件下均质潜水含水层二维流,渗流宽度不变,而渗流厚度h沿流向不变。根据渗流连续性原理,可知q=常量。 那么,由裘布依微分方程
q??Kh?H ?x可知??H沿流向将不变,水头线H为一斜直线。?x
(c)对于底坡i>0条件下均质潜水含水层二维流,渗流宽度不变,而渗流厚度h沿流
节微分方程模型
第三节 微分方程模型
本节介绍确定性动态系统的微分方程建模。首先回顾物理领域的微分方程模型,然后介绍今非物理领域的微分方程模型。
一、徽分方程应用举例
人们对于微分方程的研究,早在十六七世纪微积分建立的时候就已经开始了,在17世纪和18世纪初得到了迅速的发展,成为研究自然现象的有力的工具。早期的研究与几何及力的研究关系密切。在17、18世纪,人们借助于微分方程,在力学、天文学、物理学等领域中,取得了重要的成就。
在一些应用问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系。 但是,可以根据问题所提供的线索,列出含有待定函数及其导数的关系式,称这样的关系式为微分方程模型。给出微分方程模型之后,对它进行研究,找出未知函数这一过程称为解微分方程。
下面给出的几个问题都是与时间t有关。对于一个依赖于时间t的量y的情况, 建立一个关于
,y与t的关系式, 它在任何时刻均成立。对这个方程积分, 便得到一个只含
的新方程。新方程中含有积分常数, 并且对于任何特定的t仍然成立。
。对于任何确
有y和t而不含
然后,利用问题中的一些特定信息,确定这些积分常数,于是,得函数定的t0,都可以算出
。
一般来说,求解一个应用问题时,可以按照如下步骤:
节微分方程模型
第三节 微分方程模型
本节介绍确定性动态系统的微分方程建模。首先回顾物理领域的微分方程模型,然后介绍今非物理领域的微分方程模型。
一、徽分方程应用举例
人们对于微分方程的研究,早在十六七世纪微积分建立的时候就已经开始了,在17世纪和18世纪初得到了迅速的发展,成为研究自然现象的有力的工具。早期的研究与几何及力的研究关系密切。在17、18世纪,人们借助于微分方程,在力学、天文学、物理学等领域中,取得了重要的成就。
在一些应用问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系。 但是,可以根据问题所提供的线索,列出含有待定函数及其导数的关系式,称这样的关系式为微分方程模型。给出微分方程模型之后,对它进行研究,找出未知函数这一过程称为解微分方程。
下面给出的几个问题都是与时间t有关。对于一个依赖于时间t的量y的情况, 建立一个关于
,y与t的关系式, 它在任何时刻均成立。对这个方程积分, 便得到一个只含
的新方程。新方程中含有积分常数, 并且对于任何特定的t仍然成立。
。对于任何确
有y和t而不含
然后,利用问题中的一些特定信息,确定这些积分常数,于是,得函数定的t0,都可以算出
。
一般来说,求解一个应用问题时,可以按照如下步骤: