平面平行垂直的判定及其性质

高中数学 必修二

第1题. 已知 a， m， b，且m// ，求证：a//b．

答案：证明：

m// m//a a//b． a 同理 m//b

m

第2题. 已知： b，a// ，a// ，则a与b的位置关系是（ ） Ａ．a//b Ｃ．a，b相交但不垂直

答案：Ａ．

第3题. 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PE∶EA BF∶FD，求证：EF//平面PBC．

Ｂ．a b

Ｄ．a，b异面

答案：证明：连结AF并延长交BC于M．连结PM，

高中数学 必修二

∵AD//BC，∴

BFFD

MFFA

，又由已知

PEEA

BFFD

，∴

PEEA

MFFA

．

由平面几何知识可得EF//PM，又EF PBC，PM 平面PBC，

∴EF//平面PBC．

第4题. 如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，E1F1是平面A1C1上的线段，求证：E1F1//平面AC．

答案：证明：如图，分别在AB和CD上截取AE A1E1，DF D1F1，连接EE1，FF1，

EF．

∵长方体AC1的各个面为矩形，

∴A1E1平行且等于AE，D1F1平行且等于DF，

故四边形AEE1A1，DFF1D1为平行四边形．

平面与平面平行的判定与性质

一、选择题

1．平面α∥平面β，点A、C∈α，点B、D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（） A．AB∥CDB．AD∥CB

C．AB与CD相交D．A、B、C、D四点共面

2．“α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 3．平面α∥平面β，直线aìα，P∈β，则过点P的直线中（） A．不存在与α平行的直线 B．不一定存在与α平行的直线 C．有且只有—条直线与a平行 D．有无数条与a平行的直线 4．下列命题中为真命题的是（） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．垂直于同一条直线的两个平面平行

C．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行． D．若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c均平行． 5．已知平面α∥平面β,且α、β间的距离为d，lìα，l′ìβ,则l与l′之间的距离的取值范

考点3 直线、平面平行的判定与性质

1.（徐州市2014届高考信息卷）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD DC CB a， ABC 60o．平面ACEF 平面ABCD，四边形ACEF是矩形，点M在线段EF上．

（1）求证：BC 平面ACEF；

（2）当FM为何值时，AM 平面BDE？证明你的结论．

zl066

第1题图

【考点】线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理.

【解】（1）证明：由题意知，ABCD为等腰梯形，且AB

2a，AC， 所以AC BC，

又平面ACEF 平面ABCD，平面ACEF 平面ABCD AC，

所以BC 平面ACEF． …………………6分

，AM 平面BDE． …………………8分 在梯形ABCD中，设AC BD N，连结EN，则CN:NA 1:2，

（2

）当FM

因为FM

，EF AC ， ，又EM AN， 3

所以四边形EMAN为平行四边形，…………11分

所以AM NE，

又NE 平面BDE，AM 平面BDE，

所以AM 平面BDE． …………………14分

所以EM

AN=

zl067

第1题图

2. (江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题)如图，在直三棱柱ABC A

考点3 直线、平面平行的判定与性质

1.（徐州市2014届高考信息卷）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD DC CB a， ABC 60o．平面ACEF 平面ABCD，四边形ACEF是矩形，点M在线段EF上．

（1）求证：BC 平面ACEF；

（2）当FM为何值时，AM 平面BDE？证明你的结论．

zl066

第1题图

【考点】线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理.

【解】（1）证明：由题意知，ABCD为等腰梯形，且AB

2a，AC， 所以AC BC，

又平面ACEF 平面ABCD，平面ACEF 平面ABCD AC，

所以BC 平面ACEF． …………………6分

，AM 平面BDE． …………………8分 在梯形ABCD中，设AC BD N，连结EN，则CN:NA 1:2，

（2

）当FM

因为FM

，EF AC ， ，又EM AN， 3

所以四边形EMAN为平行四边形，…………11分

所以AM NE，

又NE 平面BDE，AM 平面BDE，

所以AM 平面BDE． …………………14分

所以EM

AN=

zl067

第1题图

2. (江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题)如图，在直三棱柱ABC A

1.2.4 平面与平面的位置关系 第1课时 两平面平行的判定及性质

【课时目标】 1．理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义．2．掌握两个平面平行的判定和性质定理，并能运用其解决一些具体问题．

1．平面与平面平行的判定定理

如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为________________________．

2．平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________． 符号表示为：________________?a∥b． 3．面面平行的其他性质：

α∥β??

?? (1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于________________，即

a?α??

________，可用来证明线面平行；

(2)夹在两个平行平面间的平行线段________； (3)平行于同一平面的两个平面________．

一、填空题

1．平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a、b的位置关系是__________． 2．下列各命题中假命题有________个． ①平行于同一直线的两个平面平行； ②平行于同一平面的两个平面平行；

③一

第二章 2.2 2.2.2 直线与平面平行的性质

A级 基础巩固

一、选择题

1．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列结论正确的是 ( D ) A．平面ABCD∥平面ABB′A′ B．平面ABCD∥平面ADD′A′ C．平面ABCD∥平面CDD′C′ D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′

[解析] 长方体ABCD－A′B′C′D′中，上底面ABCD与下底面A′B′C′D′平行，故选D．

2．下列命题正确的是 ( D )

①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行． A．①③

B．②④

C．②③④

D．③④

[解析] 如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线．

对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在．

对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同①.

对于③：一个平

第二章 2.2 2.2.2 直线与平面平行的性质

A级 基础巩固

一、选择题

1．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列结论正确的是 ( D ) A．平面ABCD∥平面ABB′A′ B．平面ABCD∥平面ADD′A′ C．平面ABCD∥平面CDD′C′ D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′

[解析] 长方体ABCD－A′B′C′D′中，上底面ABCD与下底面A′B′C′D′平行，故选D．

2．下列命题正确的是 ( D )

①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行． A．①③

B．②④

C．②③④

D．③④

[解析] 如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线．

对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在．

对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同①.

对于③：一个平

2. 2《直线、平面平行的判定及其性质》测试

第1题. 已知????a，????m，????b，且m//?，求证：a//b．

答案：证明：

????m????m//??m//a???a//b．

?????a??同理?m//b?

? bm ?? a

第2题. 已知：????b，a//?，a//?，则a与b的位置关系是（ ）

Ａ．a//b Ｂ．a?b Ｃ．a，b相交但不垂直 Ｄ．a，b异面

答案：Ａ．

第3题. 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PE∶EA?BF∶FD，求证：EF//平面PBC． P

E

D

F A B

答案：证明：连结AF并延长交BC于M．连结PM，

C BFMFPEBFPEMF???，又由已知，∴． FDFAEAFDEAFA由平面几何知识可得EF//PM，又EF?PBC，PM?平面PBC， ∴EF//平面PBC． ∵AD//BC，∴

第4题. 如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，E1F11上的线段，求证：E1F1//平面1是平面ACAC．

F1 D1

A1

E1 D

答案：证明：如图，分别在A A

典型例题一

例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1． 求证：平面AB1D1//平面C1BD． 证明：∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，

∴D1A//C1B， 又 C1B?平面C1BD， 故 D1A//平面C1BD． 同理 D1B1//平面C1BD． 又 D1A?D1B1?D1， ∴ 平面AB1D1//平面C1BD．

说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接A1C即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．

典型例题二

例2：如图，已知?//?，A?a，A??a//?． 求证：a??．

证明：过直线a作一平面?，设????a1，

????b．

∵?//? ∴a1//b

又a//?

∴a//b

在同一个平面?内过同一点A有两条直线a,a1与直线b平行

∴a与a1重合，即a??．

说明：本题也可以用反证法进行证明．

典型例题三

例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交． 已知：如图，?//?，l???A． 求证：l与?相交．

证明：在?上取一点B，过l和B作平面?，由于?与α有公共点A，?

高三数学教案案

专题复习：空间中直线、平面平行的

判定及其性质（修改前教案） 环节二：典例精析：

讲解例1（此例题的目的是让学生初步学会在要证明平行的平面内讲解例2（此例题的目的是让学生初步学会利用线面平行的性质定理证明线线平行的方法，处理方法同例1）

学习目标：

1.理解线面平行、面面平行的判定及性质定理，并会灵活

应用。

2.会进行空间线面平行位置关系的转化。

3.培养学生逻辑推理能力，并能规范的书写论证步骤。

教学过程：

环节一：内容回顾：由教师向学生就下面六个问题向学生提问： 直线与平面有哪几种位置关系：

平面与平面有哪几种位置关系：

直线与平面平行的判定定理的内容：

面面平行的判定定理的内容:

直线与平面平行的性质定理的内容：

面面平行的性质定理的内容：

1 / 2

找到与平面外的直线平行的直线的方法：即构造三角形，找中位线法，处理方法以教师讲解为主，启发学生自主探究为辅。） 例１:（２０１３全国文改编）如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，。 证明：BC1//平面ACD11；

A1

C 1

1

A

D

环节三：巩固练习与拓展应用

让学生做下面两个练习题巩固所学，处理方法是选两个学生上黑板做，其余学生在学案上做，然后教师启发学生用别的方法做，比如构