点集拓扑答案

第4章 连通性重要知识点

本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1

连通空间

本节重点: 掌握连通与不连通的定义.

掌握如何证明一个集合的连通与否?

掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。

我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．

定义4．1．1设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果 (A?B)?(B?A)?? 则称子集A和B是隔离的．

明显地，定义中的条件等价于A?B?? 和 B?A?? 同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一

点集拓扑学

合肥工业大学数学学院

预备知识

1.点集拓扑的定义

《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。

2.点集拓扑的起源

点集拓扑学产生于19世纪。G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。

3.一些参考书籍

（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版 （2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版 （3）《一版拓扑学讲义》

三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）

1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√ 理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，的任何一个子集都是开集，从而

f:X?Y是连续映射，因为对任意A?Y，都有

1f?（A)?X,由于X中

f?1(A)是?中的开集，所以f:X?Y是连续的.

2、设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1?T 2不一定是集合X的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）T 1,T 2是X的拓扑，故X,??T1，X,??T２，从而X,??T 1?T 2；

（２）对任意的A,B?T1?T２，则有A,B?T1且A,B?T２，由于T1, T2是X的拓扑，故

A?B?T1且A?B?T2，从而A?B? T1?T２；

（３）对任意的T??T1?T2，则T??T1,T??T2，由于T1, T2是X的拓扑，从而?U?T’U?T1,

?U?T’U?T2,故?U?T’U? T1?T２；

综上有T1?T２也是X的拓扑．

3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ ）答案:√

理由：设f:X?Y是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有Y,?,易知它们在f下的原象分别是X,?,均为X中的

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预备知识

1.点集拓扑的定义

《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。

2.点集拓扑的起源

点集拓扑学产生于19世纪。G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。

3.一些参考书籍

（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版 （2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版 （3）《一版拓扑学讲义》

点集拓扑题库

一、单项选择题（每题1分）

1、已知X?{a,b,c,d,e},下列集族中，（ ）是X上的拓扑.

① T?{X,?,{a},{a,b},{a,c,e}} ② T?{X,?,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}} ③ T?{X,?,{a},{a,b}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c},{d},{e}} 答案：③ 2、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑.

① T?{X,?,{a},{a,b},{c}} ② T?{X,?,{a},{a,b},{a,c}} ③ T?{X,?,{a},{b},{a,c}} ④ T?{X,?,{a},{b},{c}} 答案：② 3、已知X?{a,b,c,d},下列集族中，（ ）是X上的拓扑.

① T?{X,?,{a},{a,b},{a,c,d}} ② T?{X,?,{a,b,c},{a,b,d}} ③ T?{X,?,{a},{b},{a,c,d}} ④ T?{X,?,{a},{b}} 答案：① 4、设X?{a,b,c}，下列集族中,（ ）是X上的拓扑.

① T?{X,?,{b},{c},{a,b}}

《点集拓扑》复习题

一、概念叙述

1、拓扑空间 2、邻域、邻域系 3、集合A的凝聚点 4、闭包 5、基 子基 6、子空间 7、（有限）积空间 8、隔离子集 9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、A1空间 14、A2空间 15、可分空间 16、Lindeloff空间 17、Ti空间（i?1,2,3,4） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间 二、判断题

1、有限集不可能有聚点 （ ）

2、拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是A?A （ ） 3、如果A?B??，则A?B?A?B （ ）

4、设Y是拓扑空间X的子空间，A是Y的子集，则A在Y中的导集是A在X中的导集与Y的交。 （ ） ５、若f:X?Y是同胚映射，则f?X??Y （ ） ６、离散空间中任意子集的导集都是空集 （ ）

第 1 页７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集 （ ） ８、度量

精品文档

下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。

二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例）

1、拓扑空间中有限集没有聚点。 答：这个说法是错误的。

反例：X??a,b,c? ，规定拓扑 ???X,?,?a??，则当

A??a?时，b和c都是A的聚点。因为b和c的领域只有X一个，它包含a，a不是A的聚点，因为A\\?a???。 2、欧式直线E1是紧致空间。 答：这个说法是错误的。

反例：对E1而言，有开覆盖?????n,n?|n?Z??，而对于该开覆盖没有有限子覆盖。

3、如果乘积空间X?Y道路连通，则X和Y都是道路连通空间。

答：这个说法是正确的。

证明：对于投射有P1?X?Y??X，P2?X?Y??Y，由投射是连续的，又知X?Y是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X和Y都是道路连通空间。 4、单位闭区间I与S不同胚。 答：这个说法是正确的。

.

1精品文档

下面用反证法证明，反设I与S同胚，则

??1???1??1?f|2\\??:2\\???S1\\?f???也是同胚映射，I?2??2???2??11?1?\\??不连通，则 ?2?1S与不同胚。

?1

吉首大学数学与统计学院 点集拓扑教案

第一章 拓扑空间与拓扑不变量

数学分析中的连续函数的定义与和值域都是欧氏空间（直线、平面或空间）或是其中的一部分。本章将首先把连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间的连续映射。然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。随后逐步提出拓扑空间的一些基本问题如邻域、开集、闭集、闭包、聚点、导集、内部、边界、序列、极限等。进一步引入紧致性、连通性、可数性与分离性等重要的拓扑不变性

§1.1拓扑空间、开集、闭集、聚点、闭包、邻域

一、问题的引入

数学分析里我们知道，在连续函数的定义中只涉及距离这个概念，定义域是一维欧氏空间,即实数空间，两点之间的距离d(x,y)=|x-y|,即两两实数之差的绝对值,定义域是n维欧氏空间，两点x=(x1 ,x2,?，xn),Y=(y1,y2,?，yn) 之间的距离 d(x,y)=

(x1?y1)2?…+(xn?yn)2 。

无论是几维空间，它的距离都有下面的性质：

1. d(x,y)≥0 , ?x,y∈R ; 2. d(x,y) = 0 ? x = y ;

3.

半期复习

主要复习两个内容：拓扑学研究的思路与成果；常见证明方法。

一． 研究的思路与成果 1．预备知识：

（1）集合的三种运算的定义与证明方法： 并、交、差：A∪B、A∩B、A-B

（2）在映射f之下，集合的并、交、差的象有什么特点？

f（A∪B）＝f（A）∪f（B） f（A∩B）?f（A）∩f（B） 当f为单射时，取等号

f（A-B）?f（A）－f（B）

当f为单射时，取等号

（3）集合的并、交、差运算关于f的原象有什么特点？ 一句话：保持运算。即：

f

?1?1?1(A?B)?f?1?1(A)?f?1?1(B)

f(A?B)?f(A)?f(B)f(A?B)?f(A)?f(B)?1?1

（4）

f(f(A))?A f满时取等号

?1?1 f(f(A))?A f单时取等号 （5）等价关系、等价类的定义，作用

等价类是一种分类方法，将等价类看成一个元素，所有这样元素的集合就是原集合的商集。

（6）有限集与无限集、可数集与不可数集大不相同。

2．拓扑空间

（1）度量空间、球形邻域、开集、连续映射的定义。

（2）拓扑空间的定义（P51 def 2.2.1:满足三条性质）

练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题2分)

1.集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ )

3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 4.T1、T2是X的两个拓扑，则T1UT2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ ) 8．设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1?T 2不一定是集合X的拓扑( 9.从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ √ ）10.设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d?A??? （ √ ）

11.设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则d?A??? （ 12.设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d?A??X （ 二．填空题：(每空格3分) 1、X=Z+,T={Z1,Z2,…Zn…},其中

Zn={n,n+1,n+2,…},

则包含3的所有开集为 Z1,Z2,Z3

包含3的所有闭集为 Z,Z///14,Z5