相对级数值

湖南工业大学硕士研究生课程考试试卷

考试科目： 数值分析 （A卷） 课程编码： 考试形式： 开卷 （开/闭卷）考试时间： 120 分钟

适用年级： 2011年级 学年学期： 2011-2012第二学期 考生学号： 考生姓名： 考生专业：

考生注意事项：1、本试卷共 2 页，试卷如有缺页或破损，请立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

一、（10分）证明x 的相对误差约等于x的相对误差的

1。 2二、（10分）若f(x)?a0?a1x???an?1xn?1?anxn有n个不同实根x1,x2,?,xn，

证明：?j?1n?0,0?k?n?2.? ??1'k?n?1.f(xj)?an,xkj三、（10分）讨论：当f(x)为连续函数，节点xi(i?0,

要求：

（1）用Matlab语言或你熟悉的其他算法语言编程序。

（2）上机前充分准备，复习有关算法，写出计算步骤，反复检查程序。

（3）完成计算后写出实验报告，内容包括：所用算法语言，算法步骤叙述，变量说明，程序清单，输出计算结果，结果分析和小结等。

完成后请把所得结果写成论文形式完成，以PPT汇报，汇报结束修改后发到老师邮箱。

选题：

1． 编制以离散点{xi}i?0的正交多项式{Pk(x)}为基的最小二乘拟合程序，并用于对下列数

据做三次多项式最小二乘拟合。

mxi yi 实验要求：

－1.0 －4.447 －0.5 －0.452 0.0 0.551 0.5 0.048 1.0 －0.447 1.5 0.549 2.0 4.552 ?取权?(xi)1，求出拟合曲线y?S(x)???P(x)???kxk，输出

?kkk?0k?033??k,Pk(x?),k?k(0及平方误差,||?||22，并画出y?S(x)的图形。

2． 给出积分 （1）I??20xe2?x2（2）dx，

??23?4cotxdx，（3）I??321dx。 2x?1(0)(0)实验要求：（1）用龙贝格求积计算上述积分I的值。要求|Tk?1?Tk|?10?6时结束，输出T表及I

相对画派

简介

1986年创立，创始人薛宣林。

相对画派(如真似幻)：具象与抽象并合，不和谐中求和谐。 1986年薛宣林创立了与国际接轨的相对画派，成为了继毕加索之后，世界上最年轻的画派创始人(毕加索28岁创立“立体画派”，薛宣林29岁创立“相对画派”)。被誉为“1989年划时代艺术奇迹缔造者”。

创始人 概述 薛宣林：1957年生于南京。1987年获得中国首例艺术发明专利，专利号为：871015749，出版：《中国画观念更新与技法新探》、《论艺术之永恒》、《薛宣林艺术论》。形成了完整的艺术美学理论思想体系。开创了独特的宣画（中国画）——“如真似幻”的相对画派；梦幻人物、海景、风景系列（ 网络查询：>薛宣林>相对画派艺术网网上画院等）。 翻开人类社会的文明史，每个领域、每个时期都产生过具有重大影响的学术著作。 这些著作不仅给学术界提出了新的课题，更重要的是带给我们思维方式的革命和观念的更新。在新的思想观念的背后，往往站立着一位卓越的天才，他天才的创造改变了历史的面貌。

相对画派创始人——薛宣林就是这样一位勇于创新的开拓者。他为了专心研究艺术的创新，毅然离开部队院校讲师的职位，放弃副教授的晋升机会，因种种原因在画院无法接收的情况下，走上职业画家

一、必选题 水塔流量问题 二、自选题目

1、某厂房容积为45m?15m?6m，经测定，空气中含有0.2%的二氧化碳。开动通风设备，以360m3/s的速度输入含有0.05%的二氧化碳的新鲜空气，同时又排出同等数量的室内空气。求30min后室内二氧化碳的百分比。

（1）给出该问题的方程，并求出精确解。

（2）用Euler法、改进Euler法及四阶经典Runge-kutta求出近似解，取步长h?11（步长取30min的h?） 1010（3）比较近似解与精确解的误差，并绘出近似解与精确解的图形。 注：2-6 用到将要学的偏微分方程数值解，可到图书馆借书。） 2、已知椭圆方程第一初值问题：

?d2u??2?2u?sinx,?dx?u(0)?u(1)?0?（1）求出精确解。

0?x?1

（2）建立方程的中心差分格式，取步长h?1。 20（3）用Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代，SOR迭代求解差分方程。 （4）比较近似解与精确解的误差，并绘出近似解与精确解的图形。 3、求抛物方程的初边值问题的解：

?u?2u?,0?x?1,t?0?t?x2u(x,0)?sin?x,0?x?1 u(0,t)?u(1,t)?0,2t?0其精确解为u?e??tsi

一、必选题 水塔流量问题 二、自选题目

1、某厂房容积为45m?15m?6m，经测定，空气中含有0.2%的二氧化碳。开动通风设备，以360m3/s的速度输入含有0.05%的二氧化碳的新鲜空气，同时又排出同等数量的室内空气。求30min后室内二氧化碳的百分比。

（1）给出该问题的方程，并求出精确解。

（2）用Euler法、改进Euler法及四阶经典Runge-kutta求出近似解，取步长h?11（步长取30min的h?） 1010（3）比较近似解与精确解的误差，并绘出近似解与精确解的图形。 注：2-6 用到将要学的偏微分方程数值解，可到图书馆借书。） 2、已知椭圆方程第一初值问题：

?d2u??2?2u?sinx,?dx?u(0)?u(1)?0?（1）求出精确解。

0?x?1

（2）建立方程的中心差分格式，取步长h?1。 20（3）用Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代，SOR迭代求解差分方程。 （4）比较近似解与精确解的误差，并绘出近似解与精确解的图形。 3、求抛物方程的初边值问题的解：

?u?2u?,0?x?1,t?0?t?x2u(x,0)?sin?x,0?x?1 u(0,t)?u(1,t)?0,2t?0其精确解为u?e??tsi

第五专题矩阵的数值特征

（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）

一、行列式

已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|

证明一：参照课本194页，例.

证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；

从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。

行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。

?

二、矩阵的迹

矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。

定义：

n n

ii i

i1i1

tr(A)a

==

==λ

∑∑，etrA=exp(trA)

性质：

1. tr(A B)tr(A)tr(B)

λ+μ=λ+μ，线性性质；

2. T tr(A )tr(A)=；

3. tr(AB)tr(BA)=；

4.

1tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；

;

6. n n k k i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;

从Schur 定理（或Jordan 标准

相对原子质量和相对分子质量

原子量、分子量定义分别集原子质量、相对原子质量,分子质量、相对分子质量为一体,含义不清,现已停用。原子质量(ma)的概念为:中性原子处于基态的静止质量。分子质量(mm)的概念为:组成分子的原子质量之和。以上过去用道尔顿做单位。1960年后用“ｕ”取代。1ｕ=1.6605402×10-27kg≈1Dalton。相对原子质量(Ar)是以元素平均原子质量与核素12C的原子质量的1/12之比来表示;相对分子质量(Mr)是以物质的分子平均质量与核素12Ｃ原子质量的1/12之比来表示。相对原子质量和相对分子质量均为两个质量之比,其结果是相对数值,是量纲为一的量。在医学上原用的原子量、分子量均指相对原子质量和相对分子质量。如原子量为585kD,则应改为:相对原子质量(Ar) 585000(或585×103)。

一种杂志的投稿须知中对“分子量”书写的要求：

分子量/原子量要改为“相对分子质量”/相对原子质量。过去长期将Dalton、D或kD等作为相对分子质量的单位使用，现在认为“这是一个很大的误会”；后又有学者提出以原子质量单位u用作相对分子质量的单位，并认为要进行换算，即1 Dalton = 0.9921 u，因此，近来一段时期

相对原子质量和相对分子质量

原子量、分子量定义分别集原子质量、相对原子质量,分子质量、相对分子质量为一体,含义不清,现已停用。原子质量(ma)的概念为:中性原子处于基态的静止质量。分子质量(mm)的概念为:组成分子的原子质量之和。以上过去用道尔顿做单位。1960年后用“ｕ”取代。1ｕ=1.6605402×10-27kg≈1Dalton。相对原子质量(Ar)是以元素平均原子质量与核素12C的原子质量的1/12之比来表示;相对分子质量(Mr)是以物质的分子平均质量与核素12Ｃ原子质量的1/12之比来表示。相对原子质量和相对分子质量均为两个质量之比,其结果是相对数值,是量纲为一的量。在医学上原用的原子量、分子量均指相对原子质量和相对分子质量。如原子量为585kD,则应改为:相对原子质量(Ar) 585000(或585×103)。

一种杂志的投稿须知中对“分子量”书写的要求：

分子量/原子量要改为“相对分子质量”/相对原子质量。过去长期将Dalton、D或kD等作为相对分子质量的单位使用，现在认为“这是一个很大的误会”；后又有学者提出以原子质量单位u用作相对分子质量的单位，并认为要进行换算，即1 Dalton = 0.9921 u，因此，近来一段时期

相对温度指数

相对温度指数(relative temperature index, RTI):

UL对材料所做的一种长期(6000-20000小时)操作温度测试。

RTI不同于热变型温度(HDT)，热变型温度乃是一种短期间于一定压力下的待测体变形的温度。了解塑料的长期使用温度，一般情况下都是看UL黄卡中的RTI值（相对温度指数），也有用CUT值（半生命周期连续使用温度）表示，或者用ARO值（热老化实际工作值）来表示。 RTI, Elec

RTI, Mech w/impact

RTI, Mech, w/o impact

Elec--Electrical表示对于电气特性的；Imp--Impact表示有冲击负荷时的；str表示静态下的；Mech--Mechanical-机械条件下；w/impact-有冲击条件下；W/o Imp--Without Impact-无冲击条件下

UL94测试的第二部分是确定材料的相对温度指数(RTI)。RTI是一个特定温度，材料置于该温度中60,000小时后其特性的原始值降至二分之一。如果未经测试，则该材料采用普通级RTI。RTI 值越高，通常代表该材料等级越高。

Coeffic

第五专题矩阵的数值特征

（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）

一、行列式

已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|

证明一：参照课本194页，例.

证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；

从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。

行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。

?

二、矩阵的迹

矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。

定义：

n n

ii i

i1i1

tr(A)a

==

==λ

∑∑，etrA=exp(trA)

性质：

1. tr(A B)tr(A)tr(B)

λ+μ=λ+μ，线性性质；

2. T tr(A )tr(A)=；

3. tr(AB)tr(BA)=；

4.

1tr(P AP)tr(A)-=； 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；

;

6. n n k k i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;

从Schur 定理（或Jordan 标准