三角形的四心五线

三角形的重心是三角形三条中线的交点。

三角形的三条中线必交于一点

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。

三角形的三条中线必交于一点

求证：AE=CE

证明：延长OE到点G，使OG=OB

∵OG=OB,∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线 ∴AD∥CG

∵点O是BG的中点，点F是AB的中点 ∴OF是△BGA的一条中位线 ∴CF∥AG

∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形 ∴AC、OG互相平分,∴AE=CE

三角形的重心的性质

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：

(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3

5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

编辑本段二、三角形的外心

三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或

三角形中的“四心”问题

重心：三角形的三条边上的中线的交点

如果三角形ABC中三边BC、CA、AB上的中点分别是D、E、F 则AD、BE、CF的交点为O，O为三角形ABC的重心

AO?2OD,OA?OB?OC?0,AO?BO?CO?0??x0??AB?AC?2AD?3AO，坐标???y??0xyA?xB?xC?Ay3B

?yC3重心可以得到这些，要证明是否过重心或者是否为重心也就是要证明这些，

垂心：三角形当中三条高的交点

如果三角形的三条高交与H一点，则H就是三角形的垂心，那么我们可以得到

AH?BC?0,BH?AC?0,CH?AB?0 如果PA?PB?PB?PC?PC?PA则P为三角形的垂心

要判断一个点是否过垂心或者就是垂心就是要证明这些或者某些 内心;三角形中的三条角平分线的交点

三角形三条角平分线交与一点O,则这个点O就是三角形中的内心，那么我们可以得到

O 点到三角形的三边的距离相等，其次AO???AB?AC?,BO???BA?BC?,CO???CA?CB?

???????AB?AC???BA?BC???CA?CB????????O是内心也就是三角形的内切圆的圆心，既然是角平分线在向量中就是要单位向量相

三角形中的“四心”问题

重心：三角形的三条边上的中线的交点

如果三角形ABC中三边BC、CA、AB上的中点分别是D、E、F 则AD、BE、CF的交点为O，O为三角形ABC的重心

AO?2OD,OA?OB?OC?0,AO?BO?CO?0??x0??AB?AC?2AD?3AO，坐标???y??0xyA?xB?xC?Ay3B

?yC3重心可以得到这些，要证明是否过重心或者是否为重心也就是要证明这些，

垂心：三角形当中三条高的交点

如果三角形的三条高交与H一点，则H就是三角形的垂心，那么我们可以得到

AH?BC?0,BH?AC?0,CH?AB?0 如果PA?PB?PB?PC?PC?PA则P为三角形的垂心

要判断一个点是否过垂心或者就是垂心就是要证明这些或者某些 内心;三角形中的三条角平分线的交点

三角形三条角平分线交与一点O,则这个点O就是三角形中的内心，那么我们可以得到

O 点到三角形的三边的距离相等，其次AO???AB?AC?,BO???BA?BC?,CO???CA?CB?

???????AB?AC???BA?BC???CA?CB????????O是内心也就是三角形的内切圆的圆心，既然是角平分线在向量中就是要单位向量相

三角形的五心一次看个够

三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍．

一、三角形外心的性质

A 外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点O，则有

OA=OB=OC，故O也在A的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．

O设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，

BCp=(a+b+c)/2．

1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；

（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形的外心在三角形外. 2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A).

3：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：

????????????????????????点G是?ABC的外心?GA?GB?GC (或GA2=GB2=GC2)(点G到三顶点距离相等)

?(GA+GB)·AB=(GB+GC)·BC=(GC+GA)·CA=0(G为三边垂直平分线的交点)

4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：

????

儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级： 课时数： 辅导科目： 学科教师： 课 题 授课时间： 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明 备课时间： S?ABE?S?CDE?S

1、如果一条抛物线y=ax2+bx+c?a?0?与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形；

（2）若抛物线y=-x2+bx?b>0?的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； （3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+bx'?b'>0?的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

1、如果一条抛物线y=ax2+bx+c?a?0?与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形；

（2）若抛物线y=-x2+bx?b>0?的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； （3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+bx'?b'>0?的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）等腰

（2）∵抛物线y=-x2+bx?b>0?的“抛物线

收集(部分证明)了三角形四心相关性质,对高中生更加了解向量和三角形有一定帮助。

符号说明：“AB”表示向量，“|AB|”表示向量的模
【一些结论】：以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心PA*PB=PB*PC=PA*PC(内积）
3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）
4 若P是△ABC的外心|PA|=|PB|=|PC|
（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞) 经过重心
8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,∠C的外角平分线的交点
【以下是一些结论的有关证明】
1.
O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性：
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，
延长CO交AB于D，根据向量加法得：
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已

三角形（二）——特殊三角形

【等腰三角形】

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形。 2．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

3．等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（常称为“三线合一”）。 4．如果一个三角形有两个内角相等，则它是等腰三角形。

姓 名： 【典型例题】

例1.已知?ABC中，那么?ABC一定是（ ） ?B与?C的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上， （A）直角三角形 （B）等边三角形 （C）等腰三角形 （D）等腰直角三角形

第12届（2001年）初二培训

例2.如图2，在?ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，它们相交于F点，是图中等腰三角形的个数是（ ）

第14届（2003年）初二培训

图2

例3.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）。

图1

（A）30° （B）30°或150° （C）120°或150° （D）30°或120°或150°

第10届（1999年）初二第

三角形只有五种心

一、重心:

三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；重心分中线比为1：2；

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

证明一

三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。 过E作EH平行BF。 AE=BE推出AH=HF=1/2AF AF=CF

推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

证明二

证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知Oh1=1/3Ah 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）

证明方法：

设三角

第五单元 三角形

课题：三角形的特性

教学内容：教材59页例1、2.

目标确定的依据 1. 课程标准相关要求

通过动手操作和观察比较，使学生认识三角形，知道三角形的特性 2，教材分析

三角形是平面图形中最基本的多边形，一切多边形都可以分割成若干个三角形，并借助三角形来推导有关的性质。因此，三角形的特性是学习平面图形知识的起点，也为学习平面几何、立体几何打下基础。 3.、学情分析

在此之前，学生已经直观的认识了三角形，并且认识了平行四边形、梯形的底和高，正确画出已知底边上的高对学生来说难度较大，也是本节课的教学难点。还有学生对三角形的稳定性还停留在表面，还不能从数学的角度来认识。 学习目标

1、通过动手操作和观察比较，使学生认识三角形，知道三角形的特性及三角形高和底的含义，会在三角形内画高。

2、通过实验，使学生知道三角形的稳定性及其在生活中的应用。 3、培养学生观察、操作的能力和应用数学知识解决实际问题的能力。

评价任务

1，在同桌为单位观察认识三角形，，知道三角形的特性及三角形高和底的含义，会在三角形内画高。

2，小组议一议，说一说，发现三角形的稳定性及其在生活中的应用。 学习过程

一、创设情境，导入新课

1、出示图片，