大学高等数学函数的极限讲解

目 录

一、函数与极限 ················································································································2

1、集合的概念 ···········································································································2

2、常量与变量 ···········································································································3 2、函数 ·····················································································································4 3、函数的简单性态 ································

第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

y??f(x)x?D2.分段函数:

?1?g(x)x?D2

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1

(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f

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第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

y??f(x)x?D12.分段函数:

??g(x)x?D2

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1

(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D

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第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

y??f(x)x?D12.分段函数:

??g(x)x?D2

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1

(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D

高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、函数

f x x2

x3 1

x 1与函数g x x 1相同．

错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴

f x x2

x3 1

x 1与g x 函数关系相同，但定义域不同，所以f x 与g x

x 1

是不同的函数。

2、如果f x M（M为一个常数），则f x 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．

错误 如：数列xn 1 是有界数列，但极限不存在

n

4、n

liman a，liman a．

n

n

n

n

错误 如：数列an 1 ，lim( 1)

x

1，但lim( 1)n不存在。

n

5、如果limf x A，则f x A （当x 时， 为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果 ～ ，则 o ．

1，是

∴lim lim 1 0，即 是 的高阶无穷小量。

2

7、当x 0时，1 cosx与x是同阶无穷小．

2

xx 2sin2sin

1 cosx1 1 lim lim2 正确 ∵limx 0x 0x 04

高等数学第一章函数与极限

一、选择题（共 191 小题）

1、A

下列函数中为奇函数的是(A)y?x2tan(sinx)；　(B)y?x2cos(x??4)；

(C)y?cos(arctanx)；　(D)y?2x?2?x　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）2、A

下列函数中（其中?x?表示不超过x的最大整数），非周期函数的是(A)y?sinx?cos?x；　　(B)y?sin22x；(C)y?a?cosbx；　　　(D)y?x??x?　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）3、D

1关于函数y??的单调性的正确判断是x1(A)当x?0时，y??单调增；x1(B)当x?0时，y??单调减；x11(C)当x?0时，y??单调减；当x?0时，y??单调增；xx11(D)当x?0时，y??单调增；当x?0时，y??单调增。xx　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）4、C

下列函数中为非奇函数的是

2x?1(A)y?x；　　 (B)y?lg(x?1?x2)；2?1

x(C)y?xarccos； (D)y?x2?3x?7?x2?3x?721?x　　　　　　　　

高等数学第一章函数与极限

一、选择题（共 191 小题）

1、A

下列函数中为奇函数的是(A)y?x2tan(sinx)；　(B)y?x2cos(x??4)；

(C)y?cos(arctanx)；　(D)y?2x?2?x　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）2、A

下列函数中（其中?x?表示不超过x的最大整数），非周期函数的是(A)y?sinx?cos?x；　　(B)y?sin22x；(C)y?a?cosbx；　　　(D)y?x??x?　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）3、D

1关于函数y??的单调性的正确判断是x1(A)当x?0时，y??单调增；x1(B)当x?0时，y??单调减；x11(C)当x?0时，y??单调减；当x?0时，y??单调增；xx11(D)当x?0时，y??单调增；当x?0时，y??单调增。xx　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）4、C

下列函数中为非奇函数的是

2x?1(A)y?x；　　 (B)y?lg(x?1?x2)；2?1

x(C)y?xarccos； (D)y?x2?3x?7?x2?3x?721?x　　　　　　　　

高等数学第一章函数与极限

一、选择题（共 191 小题）

1、A

下列函数中为奇函数的是(A)y?x2tan(sinx)；　(B)y?x2cos(x??4)；

(C)y?cos(arctanx)；　(D)y?2x?2?x　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）2、A

下列函数中（其中?x?表示不超过x的最大整数），非周期函数的是(A)y?sinx?cos?x；　　(B)y?sin22x；(C)y?a?cosbx；　　　(D)y?x??x?　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）3、D

1关于函数y??的单调性的正确判断是x1(A)当x?0时，y??单调增；x1(B)当x?0时，y??单调减；x11(C)当x?0时，y??单调减；当x?0时，y??单调增；xx11(D)当x?0时，y??单调增；当x?0时，y??单调增。xx　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）4、C

下列函数中为非奇函数的是

2x?1(A)y?x；　　 (B)y?lg(x?1?x2)；2?1

x(C)y?xarccos； (D)y?x2?3x?7?x2?3x?721?x　　　　　　　　

第一章 函数、极限、连续

习题一

一．选择题

1．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（ ） A.f(x)?x,g(x)?x2 B.f(x)?2lgx,g(x)?lgx2

x,g(x)?x2C.f(x)?x D.f(x)?x,g(x)??x

2.函数y?4?x?sinx的定义域是( ) A.?0,1? B.?0,1??1,4? C.?0,??? D.?0,4? 3.下列函数中,定义域为(??,??)的有( ) A.y?x?1323 B.y?x2 C. y?x3 D.y?x?2 4.函数y?x2?1单调增且有界的区间是( ) A. ??1,1? B. ?0,??? C. ?1,??? D. ?1,2?

5.设y?f(x)?1?logx?32,则y?f?(x)?( )

A.2x?3 B. 2x?1?3 C. 2x?1?3 D. 2x?1?3

6.设f(x)?ax7?bx3?cx?1,其中a,b,c是常数,若f(?2)?2，则f(2)?( A.-4 B.-2 C.-3 D.6 二．填空题 1．f(x)?3?xx?2的定义域是

高等数学第一章函数与极限试题

一. 选择题

1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有

（A） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数f(x)?1x,则 ex?1?1（A） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点

（C） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.

x?113．设f(x)=x，x≠0,1,则f[f(x)]= ( )

11A） 1－x B） 1?x C） X D） x

4．下列各式正确的是 ( )

xA） lim(1+ 1=1 B） x?0?x)lim(1x=e

x?0?1+ x)x?xC） lim(1－ 1=-e D） lim(1+ 1x??x))=e

x??x 1

5．已知limx?ax??(x?a)x?9，则a?(