数学分析教材

教材和参考书

教材：

《数学分析》（第二版）， 陈纪修，於崇华，金路编

高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月

参考书：

（1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元 高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月

（2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著

科学出版社（1964）

（3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译， 人民教育出版社（1954）

（4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣 译

高等教育出版社（1958）

（5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译

高等教育出版社（1979）

（6）《数学分析》，陈传璋等编

高等教育出版社（1978）

（7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编，

上海科学技术出版社（1983）

（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编，

高等教育出版社（1991）

（9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编，

北京大学出版社（1990）

（10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编

高等教育出版社（1999）

（11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系，

高等教育出版社（2002）

（12）《数

▇ ▇ 数学分析

《数学分析Ⅰ》第2讲 教学内容：实数系的连续性

第二章 数列极限

§2.1实数系的连续性

一． 实数系的产生（历史沿革）

从人类历史的开始，人类就逐步认识了自然数，1，2，3，?，n，?

自然数集 整数集 有理数集 实数集

解决的减法解决对除法?????????? ? 的封闭性的封闭性解决对开方?????的封闭性? ? ?

对加法封闭 对加减乘封闭 对加减乘除封闭 对减法不封闭 对除法不封闭 对开方不封闭

2000多年前，毕达哥拉斯学派认为：有理数集是最完美的数集；世界上的万事万物都可以用有理数表示。

但是，毕达哥拉斯的一个“叛逆”的学生，发现了边界为1的正方形的对角线长度不是一个有理数，即

数轴上点c不是一个有理数点。

例2.1.1设c?2，试证明：c不是一个有理数。

2p，则q222p2?c2q2?2q2，所以2|p，不妨设p?2p1，故(2p1)?2q，所以2p1?q， 所以2|q，记q?2q1，即p?2p1，q?2q1，这与 (p,q)

《数学分析Ⅱ》期中考试题

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、曲线2x2 +3y2 + z2 =9, z2 =3x2 + y2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ）

A、8x+10y+7z-12=0； B、8x+10y+7z+12=0；C、8x -10y+7z-12=0； D、8x+10y+7z+12=0 2、L为单位圆周，则

??Lyds?（ 4 ）

A、1 B、2 C、3 D、4 3、L为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则

?Lzdx?xdz= （ 3 ）

A、3 B、5 C、7 D、9 4、

??x?y?13?x?y?dxdy=（ 2 ）

A、2 B、4 C、6 D、8 5、

?0?12dy?21?y1?x0f(x,y)dx，改变积分顺序得（ 1 ） f(x,y)dy B、?dx?121?x?11?x?1A、C、

??12dx?dx?f(x,y)dy f(x,y)dy

1?x01f(x,y)dy D、?dx?126、V=[-2, 5]?[

第十三章 函数项级数 应用题

第十三章

函数项级数 计算题

1．设S(x)=?ne?nx x>0，计算积分?ln3ln2S(t)dt

2．.判断级数?(?1)nxnn1?xn(x>0)的敛散性.

第十三章 函数项级数 计算题答案

1．?ne?nx在[ln2,ln3]上连续且一致收敛

?它在[ln2,ln3]可逐积分 (得4分)

??ln3?s(t)dt?ln3ne?nxdxln2?? (得6分)

n?1ln2? =?[(1)n?(1)n23]?1?1?1 (得8分)

n?11?121?12 32． 对交错级数?(?1)nn 由莱布尼兹判别法知它收敛 (得3分)

而

xn1?xn 当x>1时,单增有界 ; x=1时,值为

12 ; 当x<1时,单降为界 (得6分)

故由阿贝尔判别法知?(?1)nxnnn收敛

第2，3，11章 习题解答

习题2-1

1. 若自然数n不是完全平方数.证明n是无理数. 证明 反证法. 假若n?pq(p,q?N,且p,q互质)，于是由nq2?p2可知,q2是

p2的因子，从而得q2?1即p2?n,这与假设矛盾.

2. 设a,b是两个不同实数.证明在a和b之间一定存在有理数.

证明 不妨设a0, 所以存在正整数n,使得0

1

mm综上可得 na

nn3. 设x为无理数.证明存在无穷多个有理数

pq(p,q为整数，q?0)使得x?pq?1q2.

证明 反证法. 假若只有有限个有理数满足不等式,即

x?令

piqi<

1qi2 , (i?1,2,3?,m)

??p??min?x?ii?1,2,3,?,m?

qi??取 N:N?1, 且选取整数p,q(0?q?N), 使得 ?p111, x??N?2

qqqNp1??N???, qqq qx?p?但因q是正整数，故又有x?从而可知

习题2-2

ppi? (i?1,2,3,?m), 这与假设矛盾. qqi1．求下列数集的上、下确界. （1）?1???1??1? n?N?, （2）?(1?)nn?N?,

玉林师范学院课程期末考试试题参考答案及评分标准 （2006——2007学年度第二学期） 命题教师：梁志清 命题教师所在系：数计系 试卷类型：（A）

装

订 线 装 订 线

课程名称：数学分析Ⅳ 考试专业：数学与应用数学 年级： 2005

题号 应得分 一 20 二 15 三 42 四 7 五 16 总分 一 填空题 （每小题2分）

1 1； 2 (n?1)!； 3

2； 4 1； 5 1； 6 2?10dx?f(x,y)dy；

x17 x3?y3?3xy?c；8

2?6；9 ?a；10 。 34二 单项选择题 (每小题3分)

1 A； 2 B； 3 B； 4 D；5 C。

三 计算题

22 1 L：x?y?2y，令x?cos?,y?1?sin?,则0???2? ??2分

于是ds?d? ??3分

?(xL2?y)ds??2(1?sin?)d?

玉林师范学院课程期末考试试题参考答案及评分标准 （2006——2007学年度第二学期） 命题教师：梁志清 命题教师所在系：数计系 试卷类型：（A）

装

订 线 装 订 线

课程名称：数学分析Ⅳ 考试专业：数学与应用数学 年级： 2005

题号 应得分 一 20 二 15 三 42 四 7 五 16 总分 一 填空题 （每小题2分）

1 1； 2 (n?1)!； 3

2； 4 1； 5 1； 6 2?10dx?f(x,y)dy；

x17 x3?y3?3xy?c；8

2?6；9 ?a；10 。 34二 单项选择题 (每小题3分)

1 A； 2 B； 3 B； 4 D；5 C。

三 计算题

22 1 L：x?y?2y，令x?cos?,y?1?sin?,则0???2? ??2分

于是ds?d? ??3分

?(xL2?y)ds??2(1?sin?)d?

《数学分析难点与重点分析》

基础篇

第一讲 数列极限

参考书（高等数学考研习题(八几年的书)16开，32考研的习题解答(八几年棕色)，华罗庚的高等数学） 前言

先写数列极限的定义及其性质介绍，详见谁的书等等。再介绍本章的主要内容，出发点。 1.1 数列极限的求法（Taylor公式，连续化提一下，详见后面） 1.2 Cauchy命题与Stolz定理 1.3 上下极限

1.4 Rn中点列的收敛 习题1

第二讲 实数理论

实数的定义，构造历史，实数定理得出发点。 先列定理，分析定理，举例子。

等价性的证明，书上有的见什么地方，比较新颖的证明给出。 2.1 实数基本定理

2.2 实数理论的一些例子 习题2

第三讲 函数极限与连续性

用有限刻画无穷的思想在前言中描述 3.1 函数极限的计算

洛必达应用条件，不能应用洛必达法则但极限存在的。 3.2 Heine定理与左右极限 3.3 函数的连续性 3.4 函数的一致连续性

开区间上的一致连续性，包括有限无穷区间。一致连续性对于乘法、除法的封闭性。 3.5 多元函数的极限与连续性（和一元极限的区别，收敛的方向变多） 习题3

微分篇

第四讲 一元微分学

定义放序言，导数几何意义等

《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 西南财经大学数学学院

第十三章 函数列与函数项级数

§1 一致收敛性

教学目标：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

(1)基本要求：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议：

(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学过程：

我们知道，可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数，在此，将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数。

高等数学（数学分析）竞赛辅导讲稿

一、 函数

函数，主要考察考生对函数的概念及性质的理解和掌握。包括函数的连续性。闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理），并会应用这些性质。

问题1 试证不存在?1上的连续函数f，使得f在无理数集上是一一映射，在有理数集上不是一一映射。

证 若不然，则存在a,b??，使得f(a)?[a,b]上的最大值和最小值分别为Mf(b)?L且a?b。设f(x)在

和m。若f在[a,b]上取常值，则f在

?L无理数集上不是一一映射。于是Ma?c?b或m?L。不妨设L?M?f(c)，

，则由f(?)可数、开区间(L,M)不可数知(L,M)?f(?)??。

任取某个h?(L,M)?f(?)，分别在?a,c?和?c,b?上应用介值性定理

必有s和t使得a?s?c?t?b且f(s)?t都是无理数，这与f因h?(f(t)?h。LM,)f?()?，故s和

在无理数集上是一一映射矛盾。

问题2 若一族开区间{I?|???}覆盖了闭区间[0,1]，则必存在一个正数??0，使得[0,1]中的任意两点x1,x2满足x1?x2??时，

x1,x2必属于某个开区间I??{I?}。

证 不妨设每个开区间都是有限区间。