生活中的数列问题

北师大版数学(必修5)

抚州一中 李振

1000 ……1000英磅赠给波士顿的居民，如果他 们接受了这一千英磅，那么这笔钱应该托 付给由选举出来的公民组成的基金会，基 5% 金会得把这笔钱按每年5%的利率借给一些 年轻的手工业者去生息.这笔钱过了100年 131000 增加到131000英磅.我希望，那时候用 100000 100000英磅来建立一所公共建筑物，剩下 31000 的31000英磅拿去继续生息100年.在第二个 4061000 100年末了，这笔款增加到4061000英磅， 1061000 其中1061000英磅还是由波士顿的基金会支 3000000 配，而其余的3000000英磅让马萨诸州组成 同样的基金会来管理.过此之后，我可不敢 多作主张了！”

富兰克林 (1706—1790)

§4 数列在日常经济生活中的应用(一)

§4 数列在日常经济生活中的应用(一)最新农业银行存款利率表(更新日期：2011-2-9) 三个月 整存整取 零存整取 整存零取 存本取息 其他 半年 一年 二年 三年年利率(%)

五年

2.60

2.80

3.002.60 2.60 2.60

3.90

4.502.80 2.80 2.80

5.003.00 3

课本第 80-81 页 生活中的植树问题

建青实验学校 张硕

【教学目标】

1、 从对实际问题的观察和具体操作中，探索并初步体会间隔数与间隔物体的个数的关系。

2、 会计算简单的“植树”问题。 【教学重点】

间隔数与间隔物体的个数之间的关系。 【教学难点】

不同情形间隔数与间隔物体的个数之间的关系。 【教学过程】 一、情景引入：

创设情境：小丽要在家的外围修一圈栅栏。她先锯木头，锯了15次。小丽锯了多少段木头？

今天我们就一起来探讨生活中的植树问题（出示课题） 二、探究新知：

（一）两端不种的植树情况

1、师：为了便于研究，我们把一根纸带当作木头。 出示一根纸带，用剪刀剪一次，纸带分成了几段？

请你也这样剪，边剪边做好记录。记录完，观察这张数据表，发现了什么规律？ 小组合作 剪的次数 纸带的段数 1 2 3 4 5 6 7 8 小结得出：剪的次数=剪得的段数—1

2、如果要把这根纸带剪20段，要剪多少次？怎么想的？ 剪100段呢? 3、出示：这里有几个人在剪彩？根据我们刚刚学到的本领，说一说，红色绸带被剪成多少段? 怎么想的？

4、出示：学校就要召开教师运动会了，为布置会场，老师们在操场的一侧插彩旗。（

课本第 80-81 页 生活中的植树问题

建青实验学校 张硕

【教学目标】

1、 从对实际问题的观察和具体操作中，探索并初步体会间隔数与间隔物体的个数的关系。

2、 会计算简单的“植树”问题。 【教学重点】

间隔数与间隔物体的个数之间的关系。 【教学难点】

不同情形间隔数与间隔物体的个数之间的关系。 【教学过程】 一、情景引入：

创设情境：小丽要在家的外围修一圈栅栏。她先锯木头，锯了15次。小丽锯了多少段木头？

今天我们就一起来探讨生活中的植树问题（出示课题） 二、探究新知：

（一）两端不种的植树情况

1、师：为了便于研究，我们把一根纸带当作木头。 出示一根纸带，用剪刀剪一次，纸带分成了几段？

请你也这样剪，边剪边做好记录。记录完，观察这张数据表，发现了什么规律？ 小组合作 剪的次数 纸带的段数 1 2 3 4 5 6 7 8 小结得出：剪的次数=剪得的段数—1

2、如果要把这根纸带剪20段，要剪多少次？怎么想的？ 剪100段呢? 3、出示：这里有几个人在剪彩？根据我们刚刚学到的本领，说一说，红色绸带被剪成多少段? 怎么想的？

4、出示：学校就要召开教师运动会了，为布置会场，老师们在操场的一侧插彩旗。（

数列中的恒成立问题

【常用方法和策略】：

数列中的恒成立问题历来是高考的热点，其形式多样，变化众多，综合性强，属于能力题，主要考查学生思维的灵活性与创造性．

数列中等式恒成立问题通常采用赋值法和待定系数法，利用关于n的方程有无数个解确定参数的值，也可采用观察、归纳猜想再证明的思想；

与不等式有关的数列恒成立问题，常常使用分离参数法、利用函数性质法等，转化为研究数列的最值问题．

【课前预习】：

1. 已知数列?an?是无穷等差数列，a1?1，公差d?0，若对任意正整数n，前n项的和与前3n项的和

之比为同一个常数，则数列?an?的通项公式是_______________. 【解析】由已知得，Sn?n?n(n?1)d3n(3n?1)dS，S3n?3n?，设n?t为常数，则22S3n?d?2?9td?d?dn?2?d?9tdn?6t?3td对?n?N*恒成立，所以?，由于d?0，解得?1

t??2?d?6t?3td??9故an?2n?1

2. 设Sn是等差数列?an?的前n项和，若数列?an?满足an?Sn?An2?Bn?C且A?0，则

的最小值为 ．

【解析】根据an?Sn?An2?Bn?C及等差数列的性质，可设Sn=An2+Dn

专题：数列中存在性问题的研究（1）

一、问题提出

问题：1，2，3不可能是一个等差数列中的三项．

二、思考探究 探究一：

探究1.1 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5?a13?34，S3?9． （1）求数列{an}的通项公式及前n项和公式； （2）设数列{bn}的通项公式为bn?an，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm an?t(m?3，m?N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．

【解】（1）an?2n?1,Sn?n2 （2）bn?即：22n?1，要使得b1,b2,bm成等差数列，则2b2?b1?bm

2n?1?t312m?14?? 即：m?3? 3?t1?t2m?1?tt?1∵m,t?N?，∴t只能取2，3，5 当t?2时，m?7；当t?3时，m?5；当t?5时，m?4． 【注】“存在”则等价于方程有解，本例利用整除性质解决．

探究1.2 设公差不为零的等差数列?an?的各项均为整数，Sn为其前n项和，且满足（1）求数列?an?的通项公式； （2）试求所有的正整数m，使得

a2a3??5，S7?7． a14am+1am?2为数列?an?中的项． am7(

课题： 数列中的最值问题

执 教：宋荷娟

班 级：高三（1）班 教学目标：

1.理解函数单调性与数列单调性的关系，掌握用单调性求数列最值的方法． 2.在解决问题的过程中，体会运用函数性质研究数列性质、求数列最值的方法要领．

3.在交流的过程中，分享多角度解决问题的成功经验，提高综合分析、解决问题的能力，提升数学素养．

教学重点：利用研究函数最值的方法解决数列中的最值问题． 教学难点：利用单调性解决数列中的最值问题．

教学过程：

一． 实例引入

数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用．

问题1：在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的基础上递增5%。设某人年初被A，B两家公司同时录用，试问：该人在A公司工作比在B公司工作的月工资最多时可高出多少元（精确到1元）？

【设计说明】让学生在实际情境中自觉领会和发现知识的形成过程，在思维碰撞中深刻体会其蕴含的数学思想和方法．

思路分析：由题意可知，此人在A、B两公司工作的第n年月

篇一：数学日记 生活中的数学

生活中的数学

生活中的数学，无处不在只需要我们留心观察，发现，便能获得知识。 记得每天上学放学，都喜欢看着学校的伸缩门一开一关的，非常好奇，同时也有个疑问：为什么这种伸缩门可以如此灵活呢？我始终被困扰着，直到一次数学课上，学到了“认识图形”这一单元，我才解开了疑问，原来，平行四边形不具有稳定性，可以变形，而重叠的平行四边形就可以伸缩了。而学校的伸缩门就正好利用了这一原理。曾经令我百思不得其解的问题终于解开了！真是如释重负啊！

生活中隐藏着许多知识，只要我们去挖掘，开发，从获得问题，到解决问题，便是获得知识化的过程。

篇二：小学生数学日记大全

小学生数学日记大全

篇一：紫砂虎

今天，爸爸买了一只紫砂虎，我看了看，从前面只看得见头，从后面只看得见象教鞭一样的尾巴，从侧面只看得见它的一面，妈妈让我站在椅子上向下看，这时我看到了紫砂虎的全部身体。

原来，物体从不同的角度看到的结果是不一样的。

篇二：下珠珠棋

吃过晚饭，我和妈妈下跳棋吧！我把棋拿上来，我选了绿色的棋子，妈妈选红色的棋子。妈妈说你先走，我一走就跳了三步，妈妈只走了二步，可给我搭了一步桥，我一下又走了五步，妈妈才走了三步。没几下我的棋子全部到了终点，我一看妈妈还差三步，我战胜了妈

日常生活中的悖论问题

如果你搭乘时空飞机回到过去杀死了你的祖父，那你还会存在吗？蝴蝶振翅可是我们幸免于可预测的未来？明明是双胞胎，其中一个人居然比另一个大十岁？猫竟可以同时处于活着和死亡两种状态？

这些不合理的问题，也许颠覆了你现有的知识和逻辑，它们正是科学上所谓的“悖论”。“悖论”来自于希腊语，意思是“多想一想”相信只要你仔细思考，一定能破解其中的奥秘。 生日悖论

问题是这样的： 如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的 概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。

先让我们用直观的常识来分析一下。一年三百六十五天，可以想象为房间中有三百六十五个座位，一百个学生进入房间，每人随机选择座位。没有学生会选择已经做有人的座位，两位同学抢座位的几率更是微小。类比发现，其应用于生日中一百位学生当中任何人与别人生日在同一天生日的机会十分微小。只有当房间中进入三百六十六人时，我们才能确定至少有两人生日在同一天。

事实上，房间中只需57人，就能让两人一天生日的几率超过99%！这就好比57人没人拿着一张365个座位的房间的座位表，在不知道别人会选

一.专题综述

数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向考查基础是基本方向．从课标区的高考试题看，试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题，一道解答题．由此我们可以预测2012年的高考中，数列试题会以考查基本问题为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制．

二．考纲解读

三.2012年高考命题趋向

1.等差数列作为最基本的数列模型之一，一直是高考重点考查的对象．难度属中低档的题目较多，但也有难度偏大的题目．其中，选择题、填空题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合等差数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．预测2012年高考仍将以等差数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．

2.等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高．客观题突出“小而巧”，考查学生对基础知识的掌握程度；主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化

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数列问题的题型与方法

一．复习目标：

1． 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题； 2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n项的和；

3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；

4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．

5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．

6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．

二．考试要求：

1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式