计算方法课后答案

数值计算方法配套答案

第一章 绪论

一 本章的学习要求

（1）会求有效数字。

（2）会求函数的误差及误差限。 （3）能根据要求进行误差分析。

二 本章应掌握的重点公式

（1）绝对误差：设x为精确值，x为x的一个近似值，称e??x??x为x的绝对误

差。

??e?（2）相对误差：er??。

x?（3）绝对误差限：??e?x?x。 （4）相对误差限：?r???????x??x??xx?。

??df??（5）一元函数的绝对误差限：设一元函数f?x??0,则??f??? ????x?。?dx??df??（6）一元函数的相对误差限：?r?f???1?????x?。 ??f?dx????f???（7）二元函数的绝对误差限：设一元函数f?x,y??0,则??f??? ??y。?????y????f??1?（8）二元函数的相对误差限：?r?f????????x????f???x??????f???????y??。

???y???

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数值计算方法配套答案

三 本章习题解析

1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别

X2?估计A1?XX2X及A2?的相对误差限。

X4??1??3x1??1.

1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数

1

解 近似值x=3.14＝0.314×10,即m=1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有

x?x?

由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.

?31.3 ln2=0.69314718…，精确到10?3的近似值是多少？

?0.0015926??0.5?101?3.

解 精确到10＝0.001，即绝对误差限是?＝0.0005,

故至少要保留小数点后三位才可以.ln2?0.693

2.1 用二分法求方程x?x?1?0在?1, 2?的近似根，要求误差不超过

－3

即n=3，故x=3.14有3位有效数字. x=3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有

312?10?3至少要二分多少？

x?x???.??????????.??????? 即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.

而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有

x?x???.??????????.???????

《计算方法》练习题一

一、填空题

1．??3.14159?的近似值3.1428，准确数位是（ ）。 2．满足f(a)?c,f(b)?d的插值余项R(x)?（ ）。 3．设{Pk(x)}为勒让德多项式，则(P2(x),P2(x))?（ ）。 4．乘幂法是求实方阵（ ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ）。

6．e?2.71828?具有3位有效数字的近似值是（ ）。 7．用辛卜生公式计算积分

dx。 ?01?x?（ ）

1(k?1)(k?1)k?1) 8．设A(k?1)?(aij，则apk?（ ）。 )第k列主元为a(pk 9．已知A???51?，则A1?（ ）。 ??42?10．已知迭代法：xn?1??(xn),(n?0,1,?) 收敛，则??(x)满足条件（ ）。 二、单选题

1．已知近似数a,b,的误差限?(a),?(b)，则?(ab)?（ ）。

A．?(a)?(b) Ｂ．?(a)??(b) Ｃ．a?(a)?b?(b) Ｄ．a?(b)?b?(a)

2 2．设f(x)?x?x，则f[1,2,3]?（ ）。

Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝?

Ａ．

?31?

，则化Ａ为对

《计算方法》练习题一

一、填空题

1．??3.14159?的近似值3.1428，准确数位是（ ）。 2．满足f(a)?c,f(b)?d的插值余项R(x)?（ ）。 3．设{Pk(x)}为勒让德多项式，则(P2(x),P2(x))?（ ）。 4．乘幂法是求实方阵（ ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ）。

6．e?2.71828?具有3位有效数字的近似值是（ ）。 7．用辛卜生公式计算积分

dx。 ?01?x?（ ）

1(k?1)(k?1)k?1) 8．设A(k?1)?(aij，则apk?（ ）。 )第k列主元为a(pk 9．已知A???51?，则A1?（ ）。 ??42?10．已知迭代法：xn?1??(xn),(n?0,1,?) 收敛，则??(x)满足条件（ ）。 二、单选题

1．已知近似数a,b,的误差限?(a),?(b)，则?(ab)?（ ）。

A．?(a)?(b) Ｂ．?(a)??(b) Ｃ．a?(a)?b?(b) Ｄ．a?(b)?b?(a)

2 2．设f(x)?x?x，则f[1,2,3]?（ ）。

Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝?

Ａ．

?31?

，则化Ａ为对

第一章 绪论（12）

1、设x 0，x的相对误差为 ，求lnx的误差。

[解]设x* 0为x的近似值，则有相对误差为 r*(x) ，绝对误差为 *(x) x*，从而lnx的误差为 *(lnx) (lnx*) (x*) 相对误差为 (lnx)

*

r

1*

x ， x*

*(lnx)

lnx*

lnx*

。

2、设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。

[解]设x*为x的近似值，则有相对误差为 r*(x) 2%，绝对误差为 *(x) 2%x*，从而x的误差为 (lnx) (x) 相对误差为 (lnx)

*

r

n

*n

x x*

(x) n(x)

**n 1

2%x 2n% x

*

*n

，

*(lnx)

(x)

*n

2n%。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

*****x1 1.1021，x2 0.031，x3 56.430，x5 385.6，x4 7 1.0。

***[解]x1 1.1021有5位有效数字；x2 0.0031有2位有效数字；x3 385.6有4**位有效数字；x4 56.430有5位有效数字；x5 7 1.0有2位有效数字。

****4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中x1均为第3

清洁验证残留限度的计算

根据GMP实施指南和相关要求，我们控制原料药（乙酰螺旋霉素）残留限度的计算依据如下：

计算方法：10ppm法、日剂量的千分之一、下批批量的0.1%（基于低毒性原料的杂质限度标准）

1、10ppm法：乙酰螺旋霉素批量为260kg，因残留物浓度最高为10*10-6，即10mg/kg，则残留物总量最大为：260*10*10-6=2600mg。则设备内表面残留物允许的限度为：

2600g?1000?100cm2?10%（保险系数）?70%（取样回收率） 残留限量A? 289.7m?10000＝20.31㎎/100㎝2

残留限度定为：20.31㎎/100㎝2/25ml=0.8124mg/ml

2、日剂量的千分之一：由于原料药生产清洁后用于生产药用辅料（醋酸钠），其为无活性物质，因此暂无法用此公式计算。

3、下批批量的0.1%（基于低毒性原料的杂质限度标准）

原料药（乙酰螺旋霉素）的最小批产量为260㎏，下批批量的0.1%，则乙酰螺旋霉素最大残留物为260g。

擦拭测试：擦拭面积以10㎝×10㎝的区域计 残留限量A?260g?1000?100cm2?10%（保险系数）?70%（取样回收率） 289.7m?10

习题一

1

1．设x>0相对误差为2%，求x，x4的相对误差。 解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：

?(f(x))??(f(x))f(x)?xf(x)f'(x)?(x)得

（1）f(x)?x时

?(x)?xx(x)'?(x)?12?(x)?12*2%?1%；

（2）f(x)?x4时

?(x4)?xx4(x4)'?(x)?4?(x)?4*2%?8%

2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。

（1）x??12.1；（2）x??12.10；（3）x??12.100。 解：由教材P9关于?x??a1a2?am.b1b2?bn?型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5

3．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）

哪个较精确？

解：（1）31.97+2.456+0.1352 ?fl(fl(0.3197?102?0.2456?101)?0.1352) =fl(0.3443?102?0.1352)

=0.3457?102

（2）31.97+（2.456

一、 选择题(本题5个小题,每题2分,共10分)

1．若r 1.000000有4个有效数字，则s πr2 3.141593具有( )位有效数字

B. 3 C. 5 D.7 A. 1

2．已知f(0) y0,f(1) y1,f(2) y2, 现已得f(x)的Lagrange插值多项式为x2 2x 3，则f(x)的Newton插值多项式为( )

A. x2 2x B. x2 2x 1 C. x2 2x 2 D. x2 2x 3

3．设 23 A 25 ，则A的用 范数定义的条件数Cond (A)=( )

A. 4 B. 14 C. 42 D. 56

4．用Euler折线法解初值问题 y x y，取步长h 0.1，算得y(0.2) ( )

y(0) 1

B. 1.10 C. A. 1 .00 1.21 D. 1.22

5．在某实验过程中对(x, y)的三次观测结果为：(-1, 1)、(0, 2)和(1, 9)，则y关于x的拟合直线为 ()

A. y x 1 B. y 3x 1 C. y 4x 4 D. y 3x 4

二、 填空题(本题5个小题,每小题3分，共15分

哈密南-郑州±800kV特高压直流输电线路工程 晋1标段施工项目部 1.放线牵张力计算

（1）模拟放线弧垂，选取控制档、放线模板K值。 （2）计算控制档水平张力： Tn? 式中：

w2 2KTn——控制档水平张力，t ；

w2——导线单位重量，t ； K——模板K值。 （3）计算张力机出口张力：

ε(εn0?1) T0?n[Tn?w2?h0]

0n0(ε?1)ε1 式中：

T0——张力机出口张力，t ；

n——放线段内滑车数；

n0——张力场与控制档间滑车数；

ε——滑车摩擦系数；

?h0——控制档与张力场累计高差，m，控高为“+”。

（4）计算初始牵引力：

ε(εn?1) p0?k0[NTε?w1?h] 0n(ε?1)n

哈密南-郑州±800kV特高压直流输电线路工程 晋1标段施工项目部 1.放线牵张力计算

（1）模拟放线弧垂，选取控制档、放线模板K值。 （2）计算控制档水平张力： Tn? 式中：

w2 2KTn——控制档水平张力，t ；

w2——导线单位重量，t ； K——模板K值。 （3）计算张力机出口张力：

ε(εn0?1) T0?n[Tn?w2?h0]

0n0(ε?1)ε1 式中：

T0——张力机出口张力，t ；

n——放线段内滑车数；

n0——张力场与控制档间滑车数；

ε——滑车摩擦系数；

?h0——控制档与张力场累计高差，m，控高为“+”。

（4）计算初始牵引力：

ε(εn?1) p0?k0[NTε?w1?h] 0n(ε?1)n