多所高校近世代数期末考试题及答案

多所高校近世代数题库

一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）

1、设A与B都是非空集合，那么A?B??xx?A且x?B?。 （ ）

2、设A、B、D都是非空集合，则A?B到D的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f?1。 （ ） 4、如果循环群G??a?中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。 （ ） 6、近世代数中，群G的子群H是不变子群的充要条件为?g?G,?h?H;g?1Hg?H。 （ ）

7、如果环R的阶?2，那么R的单位元1?0。 （ ） 8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。 （ ） 9、F(x)中满足条件p(?)?0的多项式叫做元?在域F上的极小多项式。 （ ） 10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z?

多所高校近世代数题库

一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）

1、设A与B都是非空集合，那么A?B??xx?A且x?B?。 （ ）

2、设A、B、D都是非空集合，则A?B到D的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f?1。 （ ） 4、如果循环群G??a?中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。 （ ） 6、近世代数中，群G的子群H是不变子群的充要条件为?g?G,?h?H;g?1Hg?H。 （ ）

7、如果环R的阶?2，那么R的单位元1?0。 （ ） 8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。 （ ） 9、F(x)中满足条件p(?)?0的多项式叫做元?在域F上的极小多项式。 （ ） 10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z?

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（

33A、?a? B、?a,e? C、e,a D、e,a,a

c

）是子群。

????2、下面的代数系统（G，*）中，（ D ）不是群

A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|

4、设?1、?2、?3是三个置换，其中?1=（12）（23）（13），?2=（24）（14），?3=（1324），则?3=（ B ） A、?21 B、?1?2 C、?22 D、?2?1

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、 是交换群

二、填空题(本大题共10小题

抽代试题 2

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（A、?a? B、?a,e? C、?e,a? D、?e,a,a?

33 c

）是子群。

2、下面的代数系统（G，*）中，（ D ）不是群

A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|

??4、设?1、?2、3是三个置换，其中?1=（12）（23）（13），?2=（24）（14），3=（1324），则A、?21?3=（ B ）

22 B、?1?2 C、? D、?2?1

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、 是交换群

二、填空

抽代试题 2

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（A、?a? B、?a,e? C、?e,a? D、?e,a,a?

33 c

）是子群。

2、下面的代数系统（G，*）中，（ D ）不是群

A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|

??4、设?1、?2、3是三个置换，其中?1=（12）（23）（13），?2=（24）（14），3=（1324），则A、?21?3=（ B ）

22 B、?1?2 C、? D、?2?1

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、 是交换群

二、填空

近世代数模拟试题一

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射?：x→x＋2，?x∈R，则?是从A到B的（ ） A、满射而非单射 C、一一映射

B、单射而非满射 D、既非单射也非满射

2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ ）个元素。 A、2

B、5 C、7

D、10

3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（ ）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（ ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（ ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、设集合A???1,

近世代数补考试题参考答案

1 (10分). 在整数集?中, 令a?b?a?b?2, 证明: ?关于这样的乘法“?”构成一个群.

证明: 容易看出?是整数集?上一个代数运算. 设a,b,c??, 则

(a?b)?c?a?b?c?2?a?b?c?4?a?(b?c?2)?a?(b?c),

a?2?a?2?2?a?2?a,

a?(4?a)?2?(4?a)?a,

由此可见乘法“?”满足结合律, 有单位元2并且a的逆元为4?a. 因此, ?关于这样的乘法“?”构成一个群.

2 (8分). 设群G除单位元外的每个元素的阶都是2, 证明: G是交换群. 证明: 设a?G, 当a?e时, a?1?e?1?e?a,当a?e时, a2?e, 此时

a?a?1, 于是对于任意a,b?G,

ab?a?1b?1?(ba)?1?ba.

因此, G是交换群.

3 (8分). 设H是群G的子群且[G:H]?2, 证明: H是G的正规子群. 证明: 设H是群G的子群且[G:H]?2, a?G. 当a?H时, aH?H?Ha. 当a?H时, aH?H,Ha?H, 于是

G?H?aH?H?Ha,H?aH??,H?Ha??,

因此, aH?Ha. 所以, H是G的正规子群.

4 (1

近世代数期末考试试卷 玉林师范学院期末课程考试试卷

课程名称：近世代数 考试专业：数学与应用数学

一 填空题（每空2分，共24分）

1. 在整数集Z中定义等价关系a~b：a~b?a≡b(mod3).则由a~b所决定的等价分类为p={[1]、[2]、[0] }

2. 设G=（a）是循环群，若|a|=∞，则G与整数加群同构。 3. 设G为一个6阶群，则G的真子群的一切可能的阶数是1，2，3。

4. 设G是一个10阶群，H是G的一个5阶子群，则H在G里的指数是2.

5. 设R是一个特征为13的交换环，则对于a，b∈R，有(a+b)^13= a^13+b^13。

6. 对于模n的剩余类环Z[n]=｛[0],[1],[2]···[n-1]｝，当n是素数时，Z[n]是域。

7. 已知整数集R=Z关于运算a⊕b=a+b-1，a⊙b=a+b-ab，做成一个有单位元的环（R，⊕，⊙），则环R的单位元为_0_,零元为_1_。

8. 剩余类环Z[6]=｛[0],[1],[2],[3],[4],[5]｝中，它的零因子有[2],[3],[6]

9. 若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R/I是是一个域当且仅当I是R的一个极大理想。

10. 整

近世代数期末考试试卷 玉林师范学院期末课程考试试卷

课程名称：近世代数 考试专业：数学与应用数学

一 填空题（每空2分，共24分）

1. 在整数集Z中定义等价关系a~b：a~b?a≡b(mod3).则由a~b所决定的等价分类为p={[1]、[2]、[0] }

2. 设G=（a）是循环群，若|a|=∞，则G与整数加群同构。 3. 设G为一个6阶群，则G的真子群的一切可能的阶数是1，2，3。

4. 设G是一个10阶群，H是G的一个5阶子群，则H在G里的指数是2.

5. 设R是一个特征为13的交换环，则对于a，b∈R，有(a+b)^13= a^13+b^13。

6. 对于模n的剩余类环Z[n]=｛[0],[1],[2]···[n-1]｝，当n是素数时，Z[n]是域。

7. 已知整数集R=Z关于运算a⊕b=a+b-1，a⊙b=a+b-ab，做成一个有单位元的环（R，⊕，⊙），则环R的单位元为_0_,零元为_1_。

8. 剩余类环Z[6]=｛[0],[1],[2],[3],[4],[5]｝中，它的零因子有[2],[3],[6]

9. 若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R/I是是一个域当且仅当I是R的一个极大理想。

10. 整

一、 判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√ ”， 错的打“×”； 每小题 1 分， 共 10 分）

二、 单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案， 并将其号码写在题干后面的括号内。 答案选错或未作选择者， 该题无分。 每小题 1 分， 共 10分）

三、 填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上， 内容填错或未填者， 该空无分。 每空 1 分， 共 10 分）

四、 改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线， 并将正确的内容写在预备的横线上面。 指出错误 1 分， 更正错误 2 分。 每小题 3 分， 共 15 分）

五、 计算题（共 15 分， 每小题分标在小题后）

六、 证明题（每小题 10 分， 共 40 分）