小学奥数数论之整除

1. 数论——数的整除和余数 2.1基本概念和基本性质

2.1.1定义

整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

2.1.2表达式和读法

b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；

2.1.3基本性质

① 传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍

数；

② 加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b?c);

③ 因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c; ④ 互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，

且ab互质，则ab的积能整除c;

⑤ a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

2.2数的整除的判别法

2.2.1末位判别法

整除数 特 征 好朋友10，1个零，所以判断末1位； 2和5 2：末1位能被2整除；尾是0、2、4、6、8； 5：末1位能被5整除；尾是0、5； 好朋友100，2个零，所以判断末2位； 4和25 4或25：末2位数是4（或25）的倍数 好朋友1000，3个零，所以判断末3位； 8和125 8或125：末3位数是8（

1. 数论——数的整除和余数 2.1基本概念和基本性质

2.1.1定义

整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

2.1.2表达式和读法

b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；

2.1.3基本性质

① 传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍

数；

② 加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b?c);

③ 因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c; ④ 互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，

且ab互质，则ab的积能整除c;

⑤ a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

2.2数的整除的判别法

2.2.1末位判别法

整除数 特 征 好朋友10，1个零，所以判断末1位； 2和5 2：末1位能被2整除；尾是0、2、4、6、8； 5：末1位能被5整除；尾是0、5； 好朋友100，2个零，所以判断末2位； 4和25 4或25：末2位数是4（或25）的倍数 好朋友1000，3个零，所以判断末3位； 8和125 8或125：末3位数是8（

数论之整除性

姓名：叶雨菲 时间：_________

考试要求

（1） 熟悉常见数的整除性质

（2） 对于整除含义的理解，求解一些特定问题

知识框架

整除性质

（1）2：个位是偶数的自然数 （2）5：个位是0或5的自然数

注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0 （3）4、25：末两位能被4、25整除 （4）8、125：末三位能被8、125整除 （5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除 （6）7、11、13通用性质：

①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除.如201201=201×1001，则其必能被7、11、13

整除

②从末三位开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数

③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数

（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除 （8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除 （9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除

注意：当同时能被多个数整除时，一般优先顺序为2和5确定个位，再4

小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】

分析：这个题没有告诉我们 ,这三个数除以这个数的余数分别是多少 ,但是因为

所得的余数相同 ,根据性质 2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差 ,也就是说它是任意两数差的公约数 .

101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有 1,2,7,14,所以这

个数可能为 2,7,14.

2.已知三个数 127,99 和一个小于 30 的两位数 a 除以一个一位数 b 的余数都是 3,求 a 和 b 的值 .

分析： 127-3=124,99-3=96,则 b 是 124 和 96 的公约数 .而(124,96)=4,所以 b=4. 那么 a 的可能取值是 11,15,19,23,27.

3.除以 99,余数是 ______.

分析：所求余数与 19×100,即与 1900 除以 99 所得的余数相同 ,所以所求余

数是 19.

4.求下列各式的余数：

(1)2461 × 135× 6047 ÷ 11

(2)19992000 ÷ 7

分析： (1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000与42000除以7的余数相同.然后再找规律 ,发现 4

数论专题典型结论汇总

整除

一、常见数字的整除判定方法

1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；

3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.

4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.

5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质

性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，

c︱b，那么c︱(a±b)．

性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，

c∣b，那么c∣a．

用同样的

名校真题 测试卷10 （数论篇一） 1、（05年人大附中考题）有_____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2、（05年101中学考题）

如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数 是_____。 3 （05年首师附中考题）

120250513131313?++=________。

212121212121212121214 （04年人大附中考题）

甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。

(02年人大附中考题)

下列数不是八进制数的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128

【附答案】

1 【解】：6

2 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a

名校真题 测试卷10 （数论篇一） 1、（05年人大附中考题）有_____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2、（05年101中学考题）

如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数 是_____。 3 （05年首师附中考题）

120250513131313?++=________。

212121212121212121214 （04年人大附中考题）

甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。

(02年人大附中考题)

下列数不是八进制数的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128

【附答案】

1 【解】：6

2 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a

1.已知10□8971能被13整除，求□中的数。 解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。

上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8。

2.判断18937能否被29整除；

3.判断296416与37289能否被59整除。 解：（1）上述变换可以表示为：

由此可知，296416能被59整除，37289不能被59整除 4.九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。 5.在下列各数中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？ 1861026， 1884924， 2175683， 2560437， 11159126，131313555，266117778。

6.在下列各数中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？ 55119， 55537， 62899， 71258， 186637，872231，5381717。

7.在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？

234，789，7756，8865，3728，8064。 解：能被4整除的数有7756，3728，8064； 能被8整除的数有3728，8064； 能被9

数论的灵魂(整除问题)

一、数的整除之四大判断法： 1．2系列：

被2整除只需看末位能否被2整除； 被4整除只需看末两位能否被4整除；

被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推；

以四位数abcd为例，四位数abcd=1000×a+100×b+10c+d。10、100、1000都是2的倍数，只需d也是2的倍数即可。 2．3系列：

被3整除只需看各位数字之和能否被3整除； 被9整除只需看各位数字之和能否被9整除；

以3为例，abcd=1000×a+100×b+10c+d =999a+99b+9c+a+b+c+d。999、99、9均为3的倍数。只需要a+b+c+d是3的倍数即可。

从中我们还发现，数字之和除以3余几，则原数除以3余几。9依次类推。 3．5系列：

被5整除只需看末位是否为0或5

被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75． 被125整除的特征依次类推看末三位。 4．7、11、13系列： 通用

⑴一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除。比如201201=201×1001，则其必然能被7、11、13整除；

⑵从末三位开始，三位一段，奇数数之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7

五年级上学期 第五讲，数论问题第01讲

整 除

【内容概述】

熟练掌握能被2、3、4、5、8、9、11整除的性质，并了解这些性质的来源．学会用筛选法找质数，发现一些和数论有关的问题． 【典型问题】

1.

【50501】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★）173□是一个四位数．数学

老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？

2.

【50502】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★）如果六位数1992□□能被

105整除，那么它的最后两位数是多少？

3.

【50503】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）某个七位数1993□□□能

够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？

4.

【50504】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）从0，1，2，3，4，5，6，

7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少？

5.

【50505】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）修改31743的某一个数字，

可以得到8