不可约多项式的首项系数

整系数多项式不可约的判定

摘要:判断一个整系数多项式在有理数域是否可约,有著名的艾森斯坦判别法,

它给出了判别整系数多项式不可约的一个充分条件,但只能判别一些整系数多项式,应用范围受限制,本文在艾森斯坦判别法的基础上对其进行推广,并给出了一种新的判别方法.

关键词: 整系数多项式 不可约 艾森斯坦判别法 素数

如何来判定一个整系数多项式在有理数域是否可约?满足什么条件的整系数多项式在有理数域才具有可约性?本文结合素数给出了以下判别法. 一 艾森斯坦判别法及其推广

定理 : 设 f(x)=anxn?an?1xn?...?a0是一个整系数多项式 如果有一个素数p，使得

1. p不能整除an; 2. p|an?1,an?2,...,a0; 3. p2不能整除a0

那么f(x)在有理数域上是不可约的.

证明 : 如果f(x)在在有理数域上是可约的，那么有定理知，f(x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积,

f(x)=(blxl?l?1xl?1?...?l0)(cmxm?cm?1xm?1?...?c0)

(l,m?n,l?m?n)

因为p∣a0,所以能整除b0或c0，但是p2不能整除a0，所以p 不能同

反证法证明多项式不可约

在有理数域上，直接判别一个多项式是否不可约，是一件及其困难和复杂的事情，此时我们可以利用反证法来判别．

例1 已知p(x)是次数大于零的多项式，若对于任意两个多项式f(x)和

g(x)，由p(x)|f(x)g(x)可以推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)，则p(x)是不可约多

项式．

证明 假设p(x)可约，则必存在次数小于?(p(x))的多项式f(x)与g(x)，使得p(x)?f(x)g(x)，即p(x)|f(x)g(x)，又由已知条件，知p(x)|f(x)，p(x)|g(x)，但?(f(x))??(p(x))，?(g(x))??(p(x))，所以不可能实现，从而p(x)必不为可约多项式．

例2 次数大于1的整系数多项式f(x)对于任意整数的函数值都是素数，则

f(x)为有理数域Q上的不可约多项式．

证明 假设f(x)不是有理数域Q上的不可约多项式，因为?(f(x))?1，所以f(x)在整数环Z上也可约，即有整系数多项式f1(x)与f2(x)，使得

f(x)?f1(x)f2(x)，其中?(fi(x))??(f(x))，i?1,2．

由已知条件知，若a为一个整数，则f(a)为素数，即f(a)?f1(a)f2(a

多项式除法示例 多项式除以多项式的一般步骤：

多项式除以多项式一般用竖式进行演算

（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．

（2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．

（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．

（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式

如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除

多项式除以多项式的运算

多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算(x?9x?20)?(x?4) 规范解法

2 ∴ (x2

?9x?20)?(x?4)?x?5.

解法步骤说明： （1）先把被除式x（2）将被除式x22?9x?20与除式x?4分别按字母的降幂排列好．

22 ?9x?20的第一项x除以除式x?4的第一项x，得x?x?x，这就是商的第一项．

（3

琼州学院本科毕业论文

有理数域上不可约多项式的判定方法

符世岳

(琼州学院理工学院数学与应用数学06级3班 海南 三亚 572022)

摘 要

本文通过对国内外有关有理数域上不可约多项式的资料的收集和整理,从一般性到特殊性对有理数域上的不可约多项式进行学习研究,并且根据以往的学习心得将有理数域上不可约多项式的知识系统化.通过整理归纳出的有理数域上不可约多项式的一般的判定方法有: 定义法、克罗内克（Kronecker）判别法、艾森斯坦(Eisenstein)判别法、Perron 判别法、Brown判别法、复数性质判别法、已知f?x?没有有理因式的判别法、模p约化判别法(p为素数).而对于一些特殊的多项式则给出了较为简便的判定方法,像奇次多项式、系数为1的多项式、次数小于4的多项式.其中，对次数小于4的情形分类讨论得到了简便的判定方法，而在次数小于4的情形一般化后讨论也得到了相应的判定方法，并对判定方法给出相适应的例子.本文还对各判定方法的等价和包含关系做出判断,较为系统的给出了有理数域上不可约多项式的判定方法.

关键词 不可约 多项式 有理数域 判定方法

琼州学院本科毕业论文

有理数域上不可约多项式的判定方法

符世岳

(琼州学院理工学院数学与应用数学06级3班 海南 三亚 572022)

摘 要

本文通过对国内外有关有理数域上不可约多项式的资料的收集和整理,从一般性到特殊性对有理数域上的不可约多项式进行学习研究,并且根据以往的学习心得将有理数域上不可约多项式的知识系统化.通过整理归纳出的有理数域上不可约多项式的一般的判定方法有: 定义法、克罗内克（Kronecker）判别法、艾森斯坦(Eisenstein)判别法、Perron 判别法、Brown判别法、复数性质判别法、已知f?x?没有有理因式的判别法、模p约化判别法(p为素数).而对于一些特殊的多项式则给出了较为简便的判定方法,像奇次多项式、系数为1的多项式、次数小于4的多项式.其中，对次数小于4的情形分类讨论得到了简便的判定方法，而在次数小于4的情形一般化后讨论也得到了相应的判定方法，并对判定方法给出相适应的例子.本文还对各判定方法的等价和包含关系做出判断,较为系统的给出了有理数域上不可约多项式的判定方法.

关键词 不可约 多项式 有理数域 判定方法

琼州学院本科毕业论文

有理数域上不可约多项式的判定方法

符世岳

(琼州学院理工学院数学与应用数学06级3班 海南 三亚 572022)

摘 要

本文通过对国内外有关有理数域上不可约多项式的资料的收集和整理,从一般性到特殊性对有理数域上的不可约多项式进行学习研究,并且根据以往的学习心得将有理数域上不可约多项式的知识系统化.通过整理归纳出的有理数域上不可约多项式的一般的判定方法有: 定义法、克罗内克（Kronecker）判别法、艾森斯坦(Eisenstein)判别法、Perron 判别法、Brown判别法、复数性质判别法、已知f?x?没有有理因式的判别法、模p约化判别法(p为素数).而对于一些特殊的多项式则给出了较为简便的判定方法,像奇次多项式、系数为1的多项式、次数小于4的多项式.其中，对次数小于4的情形分类讨论得到了简便的判定方法，而在次数小于4的情形一般化后讨论也得到了相应的判定方法，并对判定方法给出相适应的例子.本文还对各判定方法的等价和包含关系做出判断,较为系统的给出了有理数域上不可约多项式的判定方法.

关键词 不可约 多项式 有理数域 判定方法

第4章 《多项式的运算》上课教案

第1课时

课题：4.1多项式的加法和减法(1) 教学目的：

1、进一步掌握整式的概念及单项式和多项式的概念。 2、会进行多项式的加法减运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。

教学重点：会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理。

教学难点：正确地去括号、合并同类项，及符号的正确处理。

教学方法：尝试法，讨论法，归纳法。 教学过程：

一、知识准备：

1、填空：整式包括 单项式 和 多项式 。

2、单项式

?2xy332的系数是?2、次数是 3 。

323、多项式3m?2m?5?m是 3 次 4 项式，其中三次项系数是 3 常数项是 -5 。

二、探索练习：

1、如果用a 、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 10a+b ,交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的两位数为 10b+a 。这两个两位数的和为 11a+11b 。

2、如果用a 、b、c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字，那么这个三位数可以表示为 100a+10b+c ,交换这个三位数的百位数字和个位数字后得到的三位数为 100c+10b+

篇一：多项式乘多项式试题精选(二)附答案

多项式乘多项式试题精选（二）

一．填空题（共13小题）

1．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要C类卡片 _________ 张．

2．（x+3）与（2x﹣m）的积中不含x的一次项，则m=．

3．若（x+p）（x+q）=x+mx+24，p，q为整数，则m的值等于

4．如图，已知正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的大长方形，则需要A类卡片 _________ 张，B类卡片 _________ 张，C类卡片 _________ 张．

2

5．计算：

（﹣p）?（﹣p）=

（6+a）= _________ ．

6．计算（x﹣3x+1）（mx+8）的结果中不含x项，则常数m的值为 _________ ．

7．如图是三种不同类型的地砖，若现有A类4块，B类2块，C类1块，若要拼成一个正方形到还需B类地砖

2223=2xy?（）=﹣6xyz；（5﹣a）2

8．若（x+5）（x﹣7）=x+mx+n，则m=，n=．

9．（x+a）（x+）的计算结果不含x项，则a的值是

10．一块长m米，宽n米的地毯，长、宽各裁掉2米

对一类复系数多项式分解求复根

崔尚菲

摘 要：应用本原单位根的思想把复系数多项式分解成一次因式的乘积。复系数多项式求根方法各式各样，对不同类型的多项式有不同的处理方法，大部分采用的计算机的数值计算方法，优缺点不一而足。对多项式的求根问题，在工学、理学、经济学等方面都有重要的作用。

关键词：本原单位根 复系数多项式 一次因式

由代数基本定理可以证明，任意一个n次复系数多项式f(x)，n?0，则f(x)恰有n个复数根c1，c2，c3，而且f(x)?a0(x?c1)(x?c2)?(x?cn).然而具体?cn，多项式有专门的方法进行分解.本文针对一种特殊的复系数多项式，从5道题目下手给出了这一特殊类型题目的一般性解法.

一、论文背景介绍

1.1代数基本定理

代数基本定理（任意一个 n 次复系数多项式一定有复数根， n ?1．）是人们早就知道的.直到1797年，二十岁的德国大数学家Gauss才第一个给出证明．后来 Gauss又给出三个证明．由于十九世纪以前的代数是以研究代数方程为中心的，而这个定理对代数方程论又具有基本重要性，所以人们称它为代数基本定理．

1.2本原单位根

由高等代数的知识我们知道，在方程x?1中，其本原单位根可定义为

2k?ine；

对一类复系数多项式分解求复根

崔尚菲

摘 要：应用本原单位根的思想把复系数多项式分解成一次因式的乘积。复系数多项式求根方法各式各样，对不同类型的多项式有不同的处理方法，大部分采用的计算机的数值计算方法，优缺点不一而足。对多项式的求根问题，在工学、理学、经济学等方面都有重要的作用。

关键词：本原单位根 复系数多项式 一次因式

由代数基本定理可以证明，任意一个n次复系数多项式f(x)，n?0，则f(x)恰有n个复数根c1，c2，c3，而且f(x)?a0(x?c1)(x?c2)?(x?cn).然而具体?cn，多项式有专门的方法进行分解.本文针对一种特殊的复系数多项式，从5道题目下手给出了这一特殊类型题目的一般性解法.

一、论文背景介绍

1.1代数基本定理

代数基本定理（任意一个 n 次复系数多项式一定有复数根， n ?1．）是人们早就知道的.直到1797年，二十岁的德国大数学家Gauss才第一个给出证明．后来 Gauss又给出三个证明．由于十九世纪以前的代数是以研究代数方程为中心的，而这个定理对代数方程论又具有基本重要性，所以人们称它为代数基本定理．

1.2本原单位根

由高等代数的知识我们知道，在方程x?1中，其本原单位根可定义为

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