求极限的二十一种方法

求极限的13种方法（简叙）

龘龖龍

极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限

lim(1?a)(1?an??2)...(1?a) ，其中a?1

2n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。

1?a) 解 因为(1?a)(1?a)...(122n(1?a)(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a1222n(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a12n?1(1?a) =1?a22n当

a2n?1n??时，

22n?1??,2n而

1 1?aa?1，故

?0,从而lim(1?a)

求极限的13种方法（简叙）

龘龖龍

极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限

lim(1?a)(1?an??2)...(1?a) ，其中a?1

2n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。 解 因为(1?a)(1?a)...(1?a)

122n(1?a)(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a1222n(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a12n?1(1?a) =1?a22n当

a2n?1n??时，

22n?1??,2n而

1 1?aa?1，故

1?a?0,从而lim(1

二十一种早饭做法

一.皮蛋瘦肉粥

材料：大米，皮蛋，油条，猪肉，香葱。 调料：盐。 做法：

１．先将大米淘洗干净，然后放入一个容器，加入适量盐和清水泡上一会，大概半个小时就可以了；皮蛋剥去皮切小丁；油条也切成同样大小的丁；香葱切末。

２．猪肉洗净，放入锅中煮熟，不用切，取一小块直接煮就可以了，也不用调味，煮熟后捞出晾凉，然后用手撕成肉丝。当然，放入皮蛋粥中的肉也可以是事先腌好的咸肉。

３．取来汤锅，注入清水烧开，然后放入刚才泡好的大米，紧接着再放入肉丝和一部分皮蛋丁，煮开后转小火，慢慢熬制，时间和耐心都允许的话最好熬制一个小时左右，至粥软糯粘稠就可以了，如果并不强求这些，那米熟了就可以，也同样好喝，最后根据口味的需要再适当的加些盐调味，香葱、油条、及剩下的一部分皮蛋丁，吃的时候撒到粥里就可以了。 二.海鲜云吞面

材料：方便面（用龙须面最好，家里正好有方便面我就用了），馄饨（自己包

也好，买现成也好），大虾，油菜，高汤（骨头汤、鸡汤均可），紫菜，香菇，香葱，海米。

调料：盐，鸡粉，胡椒粉，香油。 做法：

1.将大虾去皮、去头、去除肠线，保留尾部，这样做出来比较好看，将处理好的虾洗净；油菜取油菜心洗净；香菇泡发，有心情的可以做个十字花刀

求极限的13种方法（简叙）

龘龖龍

极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限

lim(1?a)(1?an??2)...(1?a) ，其中a?1

2n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。 解 因为(1?a)(1?a)...(1?a)

122n(1?a)(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a1222n(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a12n?1(1?a) =1?a22n当

a2n?1n??时，

22n?1??,2n而

1 1?aa?1，故

1?a?0,从而lim(1

1.二元函数极限概念分析

定义1 设函数f在D?R2上有定义，P0是D的聚点，A是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数?，总存在某正数?,使得P?U0(PD时，都有 0;?) f(P)?A??,

则称f在D上当P?P0时，以A为极限，记limf(P)?A.

P?P0P?D上述极限又称为二重极限.

2．二元函数极限的求法

2.1 利用二元函数的连续性

命题 若函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则

limf(x,y)?f(x0,y0).

(x,y)?(x0,y0)2 例1 求f(x,y)?x?2xy 在点(1,2)的极限. 2 解： 因为f(x,y)?x?2xy在点(1,2)处连续，所以

limf(x,y)x?1y?2?lim(x2?2xy)x?1y?2?12?2?1?2?5.

例2 求极限lim1．

?x,y???1,1?2x2?y2 解： 因函数在?1,1?点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即

11=．

?x,y???1,1?2x2?y23lim1 / 15

2.2 利用恒等变形法

将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3

试卷（二十一）

一、单项选择（20×1′＝20′）

1. 下列钢结构计算所取荷载设计值与标准值，符合规范的是（ ） Ⅰ 计算结构或构件的强度、稳定性以及连接的强度时，应采用荷载设计值； Ⅱ 计算结构或者构件强度、稳定性以及连接的强度时，应采用荷载标准值； Ⅲ 计算疲劳和正常使用极限状态的变形时，应采用荷载设计值； Ⅳ 计算疲劳和正常使用极限状态的变形时，应采用荷载标准值。 A Ⅰ、Ⅲ B Ⅱ、Ⅲ C Ⅰ、Ⅳ D Ⅱ、Ⅳ 2. 钢材的强度设计值是以（ ） 除以材料分项系数。

A 比例极限 B 屈服点 C 极限强度 D 弹性极限

3. 钢材经过冷加工所产生冷作硬化后，其（ ）性能基本保持不变。

A 抗拉强度和屈服强度； 选择（ ）

A Q235-A； B Q235-B； C Q235-C； D Q235-D。 5. 结构钢的屈服强度（ ）。

A 随厚度增大而降低，但与质量等级无关；

B 随厚度的增大而降低，而且随质量等级从A到D（E）逐级提高； C 随厚度增大而降低，并且随质量等级从A到D（E）逐

计算机一级真题题库（二十一）

一、单项选择题

1. 所谓浮点表示法，是指小数点在数中的位置是（ ）的 A 根据不同的数字而言，有的固定，有的可变 B 可变 C 固定

C 以上说法都不对

2. PowerPoint 中创建表格时，从“插入”下拉菜单中选择（ ） A 图表 B 对象

C 影片和声音 D 表格

3在Word中，使用“新建”按钮创建新文件的不同在于（ ） A “新建”按钮只能使用几个模板，“新建”按钮会让你选择不同的模板

B “新建”菜单项命令采用默认模板直接新建文件，而“新建”按钮会让你选择不同的模板

C “新建”按钮可以使用所有的模板，“新建”菜单项命令只能使用几个模板 D “新建”按钮采用默认模板直接新建文件，“新建”菜单项会让你选择不同的模板 4. Windows环境中，鼠标变成沙漏状表示（ ） A 等待用户键入R或Y，以便继续

B Windows正在执行某一处理任务，请用户稍等 C Windows执行的程序出错，中止执行

D 提示用户注意某个事项，而不影响计算机工作 5. 八进制数345.7对应的十进制数是（ ） A 239.7 B 229.875 C 239.875 D 229.7

6. 在Windows文件夹中可以包含

几种求极限方法的总结

摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过sn对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.

关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列

1 用定义求极限?1?

根据极限的定义：数列{xn}收敛??a,??〉0,?N?N?,当n〉N时，有xn-a〈?. 例1 用定义证明limn?1

n??n?111n?1???成立：解得n??1,取N=??1?，于?1=

n?1?n?1???证明：???0,要使不等式

nn?1??1 是???0,? N=??1?，?n?N，有?1??,即limn??n?1?n?1??2利用两边夹定理求极限??

1?1?111? ????例2 求极限lim???2n??n2?2n2?3n2?n??n?1 解：设cn?1n?11n?n1n?1222?1n?21n?n1n?1222??1n?n1?2

nn?nnn?122则有：cn???n?n1n?122

nn?n2同时有：cn???? ，于是 ?cn?nn?12,由n2?n?n2

极限及几种求极限重要方法的探究

王龙科

西北师范大学数学与信息科学学院 甘肃兰州 730070

摘要： 极限理论是高等数学的理论基石，也是研究高等数学的重要方法。高等数学中的微分和积分理论都是建立在极限理论基础之上的，这说明理清极限理论和重要极限求法是非常有必要的。本文主要分两大部分作以探究，第一部分介绍极限理论；第二部分列举求极限的常见方法，并配有相关例题加以说明。 关键词： 极限；高等数学；求极限的方法

一、引言

极限是高等数学中最重要得概念之一，是研究积分和微分的重要工具。极限思想也是研究高等数学的重要思想，掌握极限思想是学习微分和积分的基础。极限是描述数列和函数在无限变换过程中的变化趋势的概念，它是人们从有限认识到无限、从近似认识到精确、从量变认识到质变的一种数学方法。极限理论的出现是微积分发展历史上的一个历程碑，它使微积分理论更加蓬勃法展起来。本文接下来将就极限理论思想和求极限的重要方法进行探究。

二、极限理论 1、数列极限

定义1若函数f的定义域为全体正整数集合N?，则称 f: N?→R 或 f(n),n∈N?

为数列.因为正整数集N?的元素可按由小到大的顺序排列,故数列f(n)也可写作 a1，a2，…，an…

嗡！敬礼圣救度母尊。

敬礼速勇救度母，目如刹那电光闪，三域怙主莲花面，花蕊绽放从中现。

顶礼月色白度母，秋百满月聚集脸，成千群星同汇聚，尽放威光极灿然。2→大智慧

顶礼紫磨金色母，莲花庄严其妙手，布施精进苦行静，安忍禅定行境性。3→福德、寿命、免灾 顶礼如来顶髻母，奉持无边尊胜行，获得无余波罗蜜，一切佛子近依止。

顶礼吽音叱咤母，声遍欲色虚空界，其足压伏七世间，皆能勾招尽无余。→戒贪 顶礼帝梵恭奉母，火神风神自在供，鬼王起尸及寻香，夜叉众会皆赞叹。 顶礼胜伏他方母，札啪尽毁敌惑轮，右屈左伸足压伏，盛燃熊熊烈火焰。7

顶礼大怖救度母，摧毁一切凶猛魔，莲花容颜现颦眉，无余斩尽诸仇怨。→消除恐惧 顶礼三宝严印母，手指当胸露威严，庄严无余诸方轮，自之光芒普萦绕。

顶礼欢悦威德母，顶饰光鬘诚斑斓，喜笑大笑圣咒音，怀柔群魔与世间。→领导能力 顶礼解厄圣度母，能召一切护地神，颦眉竖动发吽光，消除所有诸贫穷。→财神 顶礼月相冠冕母，一切饰品极璀璨，无量光佛髻中现，恒常光芒最耀眼。→吉祥 顶礼烈焰圣度母，如末劫火住光鬘（mán），右伸左屈喜姿态，击毁一切诸敌军。 顶礼颦眉圣度母，手掌压地足踩踏，面露怒容发吽声，击破七重一切处。 顶礼安乐柔善母，寂灭涅槃行境性，