调和方程的极值原理

调和方程狄利克雷内外问题的唯一性及稳定性。

（1）原理 3.1 （极值原理） 对于不恒等于常数的调和函数u(x,y,z)，其在区域?的任何内点上的值不可能达到它在?上的上界或下界。

推论1 在有限区域?内调和、在???上连续连续的函数必在边界?上取得最大值和最小值；

推论2 设u及v都是区域?内的调和函数，且在???上连续。如果在?的边界?上成立着不等式u?v，那么在?内上述不等式也成立；并且只有在u?v时，在?内才会有等式成立的可能。

（2）调和方程狄利克雷内问题

??2u?2u?2u3.1)??u?2?2?2?0......( ?x?y?z??u??g.......................(3.2)?现在证明解如果存在必是唯一的，而且连续的依赖于所给定的边界条件f.

证：假设有两个调和函数u1(x,y,z)和u2(x,y,z)，它们在有界区域?的边界?上完全相同，则它们的差u?u1?u2在?中也满足方程（3.1），而在?上等于零。于是按照极值原理的推论1，函数u在区域?上最大值及最小值均为零，即u?0.因此u1?u2，即狄利克雷内问题的解是唯一的。

?其次，设在区域?的边界?上给定了函数f和f，而且在?上处处成立f?f??，这里

调和方程狄利克雷内外问题的唯一性及稳定性。

（1）原理 3.1 （极值原理） 对于不恒等于常数的调和函数u(x,y,z)，其在区域?的任何内点上的值不可能达到它在?上的上界或下界。

推论1 在有限区域?内调和、在???上连续连续的函数必在边界?上取得最大值和最小值；

推论2 设u及v都是区域?内的调和函数，且在???上连续。如果在?的边界?上成立着不等式u?v，那么在?内上述不等式也成立；并且只有在u?v时，在?内才会有等式成立的可能。

（2）调和方程狄利克雷内问题

??2u?2u?2u3.1)??u?2?2?2?0......( ?x?y?z??u??g.......................(3.2)?现在证明解如果存在必是唯一的，而且连续的依赖于所给定的边界条件f.

证：假设有两个调和函数u1(x,y,z)和u2(x,y,z)，它们在有界区域?的边界?上完全相同，则它们的差u?u1?u2在?中也满足方程（3.1），而在?上等于零。于是按照极值原理的推论1，函数u在区域?上最大值及最小值均为零，即u?0.因此u1?u2，即狄利克雷内问题的解是唯一的。

?其次，设在区域?的边界?上给定了函数f和f，而且在?上处处成立f?f??，这里

主要研究了Laplace算子△、双重Laplace算子△^2的Navier边界问题的第1和第2Hardy不等式。并由此得出一些推论.同时也讨论了Dirichlet边界问题的情况.

维普资讯

20 0 7年 6月

湛江师范学院学报J OURNAL OF Z ANJ ANG H I NoRM AL COLL EGE

J n。0 7 u . 2 0V o128 N O 3 . .

第 2 8卷第 3期

非线性调和方程 Na e v r问题的 H d a y不等式 r熊辉

(莞理工学院数学教研室，东东莞 53 0 )东广 2 8 8摘要：要研究了 L pae子△、重 L pae子△主 alc算双 al算 c。的 N ve边界问题的第 1和第 2Had ai r ry不等式。并由此得出一些推论 .同时也讨论了 D r h e边界问题的情况 . i c lt i

关键词： ry不等式；和算子；调和算子； Had调双最佳常数中图分类号： 7 . O1 5 8文献标识码： A文章编号：0 6 4 0 ( 0 7 0—0 2— 0 10— 7220)3 03 4

0引言 对于如下半线性椭圆型 Na ir ve问题 (这时同时也是 D r he问题 ) i c l

§4极值原理与最大模估计

4．1弱极值原理

从物理上看,如果物体内部没有“热源”,则在整个热传导的过程中,温度总是趋于平衡,温度最高处热量向其它地方扩散,温度最低处的温度趋于上升,因此物体的最高温度和最低温度总是在初始时刻或物体的边界上达到.如果物体的边界温度及初始温度都不超过某值M,而且物体内部没有热源,则这物体内就不可能产生大于M的温度.物理上这种现象的数学描述就是所谓“极值原理”.

记Q?{(x,t)|0?x?l,0?t?T},Q的侧边与底边统称为Q的抛物边界,记为?或

(x,t):x??,t?0?,Q?{(x,t)|0?x?l,0?t?T}, ?pQ,?????(0,T)??C(Q)?{u?u(x,t)|u(x,t)是Q上的连续函数},

C(Q)?{u?u(x,t)|u(x,t)是Q上的连续函数},

1C2，(Q)?{u|u,ut,ux,uxx?C(Q)},

我们将考虑热传导方程

Lu?ut?a2uxx?f(x,t), （4.1）

从第一节我们知道,如果f(x,t)?0,则称杆内有热源；如果f(x,t)?0,则表示杆内有冷源,或称为热汇.

定理4.1（弱极值原理）设u

色彩的调和教学反思

我想本节课我围绕“让学生学习色彩调和的配色

方法，感受色彩的变化，感受色彩调和的知识，体会色彩调和带来的美感”。色彩的调和是指几种色彩相互之间构成的较为和谐的关系，也就是指画面中色彩的秩序关系和量比关系应 该在视觉上符合审美的心理要求。为了将枯燥的色彩知识转化为有趣的内容，我利用多媒体网络的丰富资源，提供大量优秀作品供学生欣赏，引导学生体验色彩调和 带给人的美感。我通过引导学生分析、动手实验，学习和掌握至少两种调和色彩的方法。并且在教学过程中，我强调以学生为主体的自主学习，激发学生积极思考，从而提高学生的色彩审美的感受能力。在引导学生学习时，我由浅入深，循序渐进从初步感受到了解定义，分析方法，自主研究，到最后的练习色彩调和画，难度逐步加深，让学生掌握了色彩调和的方法。比较好的完成了我的教学任务。

此外，我在课堂上还很注意学生发言后的评价。卡耐基曾说：“使一个人发挥最大的能力的方法是赞美和鼓励。”老师对学生的鼓励的话语，满意的微笑。赞许的眼神，默许的点头，使学生感到老师的器重，

关切和敬佩，体验到成功的喜悦，使整个课堂教学气氛和谐愉悦。让学生在轻松的课堂中学习，培养学生学习美术的兴趣。

回顾整堂课，目标还是有落实的，不足之处

伯努利方程的原理及其应用

摘要：伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，是流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。

关键词：伯努利方程 发展和原理 应用

1.伯努利方程的发展及其原理：

伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体做稳定流动时的基本方程，流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。伯努利方程的原理，要用到无黏性流体的运动微分方程。

无黏性流体的运动微分方程：

无黏性元流的伯努利方程：

实际恒定总流的伯努利方程：

p1?1v21p2?2v22z1++=z2+++hw

2g2g?g?g

总

流

伯

努

利

方

程

的

物

理

意

义

和

几

何

意

义

：

Z----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的位能，位置高度或高度水头；

p----总流过流断面上某点（所取计算点）单位重量流体的压能，测压管高

函数极值的几种求法

──针对高中生所学知识

摘 要：函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，以及指数函数、对数函数、三角函数的学习，这些足以说明函数在数学教学中的地位。极值作为函数的一个重要性质，无论是在历年高考试题中，还是在实际生活运用中都占有不可或缺的地位。本文主要阐述了初高中常见的几种函数，通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的求解方法。

关键词：函数；单调性；导数；图像；极值

Abstract: Function is an important part of mathematics teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, t

伯努利方程

流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。

方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：

Pu2Zg+?＝常数

ρ2式中Z为距离基准面的高度;P为静压力;u为流体速度;ρ为流体密度;g为重力加速度。方程中

的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N·m/kg，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。当流体在水平管道中流动时Z不变，上式可简化为：

u2P?＝常数

2ρ此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。 对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：

2P1u12P2u2??Z2?? Z1? ρg2gρg2g式中每一项均为单位重量流体的能

胡

管理中的协调与沟通（一）

大家好，今天我和大家切磋的一个主题是管理中的协调和沟通。为什么要谈这个主题呢？在现实管理过程中，我们确实从量上来看，大剂量的工作是在进行协调沟通，比如我们常说的管理中的两个75%，第一个75%，管理中大剂量工作是在进行什么呢？协调、沟通，比如谈话，谈判，座谈，面谈，发传真、发文件，甚至你对别人的批评、表扬干什么呢？进行协调沟通。第二个管理中的75%，就是我们工作中往往出现摩擦、冲突、矛盾、障碍，其中75%是由于协调沟通不畅引起的，所以协调沟通在现实的管理过程中，确实起着很重要的作用。究竟什么是协调沟通，这样我想和大家从这样几个方面来切磋。

第一，对协调沟通的认识问题。什么是协调沟通。协调能力的认知。第二点，我们重点谈谈对什么进行协调，就是对组织目标进行协调。第三点，我们把组织中人和人之间重要关系，要作为一种重要的资源来对待，那就是人际资源的协调，怎么整合人的资源，为组织的目标去服务的问题，实现组织目标要通过整合资源来达到目的。最后，我们为了在管理中能更好的担当起协调沟通这个职能角色，我们就要从自身的能力开发素质的提升，着眼于对自我协调，领导者的自我协调。 第一个问题，什么叫协调，什么叫沟通。我们来看看，我们所说

板块模型的临界极值问题

1【经典模型】 如图甲所示，M、m两物块叠放在光滑的水平面上，两物块间的动摩擦因数为μ，一个恒力F作用在物块M上．

(1)F至少为多大，可以使M、m之间产生相对滑动？

(2)如图乙所示，假如恒力F作用在m上，则F至少为多大，可以使M、m之间产生相对滑动？

练1、如图所示，物体A、B的质量分别为2kg和1kg，A置于光滑的水平地面上，B叠加在A

上。已知A、B间的动摩擦因数为0.4，水平向右的拉力F作用在B上，A、B一起相对静止开始做匀加速运动。加速度为1.5m/s。（g2 ?10m/s2）求：

（1）力F的大小。

（2）A受到的摩擦力大小和方向。

（3）A、B之间的最大静摩擦力？A能获得的最大加速度？ （4）要想A、B一起加速（相对静止），力F应满足什么条件？ （5）要想A、B分离，力F应满足什么条件？

练2、物体A放在物体B上，物体B放在光滑的水平面上，已知mA?6kg，mB?2kg，A、B间动摩擦因数??0.2，如图所示。现用一水平向右的拉力F作用于物体A上，则下列说法中正确的是（g?10m/s2）（） A．当拉力F<12N时，A静止不动

B．当拉力F=16N时，A对B的摩擦力等于4N C．当拉力F>16N时，A一定相对B滑动 D．无论拉力F