数论二元一次不定方程知识点

探究二元一次不定方程

（Inquires into the dual indefinite equation）

冯晓梁（XiaoLiang Feng） （江西科技师范学院 数计学院 数一班 330031）

【摘 要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次

不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。

The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.

【关键字】：二元一次不定方程 初等数论 整数解

（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）

二元一次方程的概念：含有两个未知

七年级数学《二元一次方程组》辅导材料1

一、知识点总结 1、二元一次方程：

含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax?by?c(a?0,b?0). 2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】 3、二元一次方程组：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组. 4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一

?次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：?x?y?1?x?y?x?y?6，

??1?2x?2y?6；??x?y?1?x?y?1②有且只有一组解，例如：?2x?y?2；③有无数组解，例如：??2x?2y?2】

5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。

6、三元一次方程组及其解法：方程组中一共含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。解三元一次方程组的关键也是“消元”：三元→二元→一元 7、列二元一

人教版数学教材七年级下

8.1二元一次方程组

交通路中学

王晓萍

引 言 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.如果某队为了争取 较好名次，想在全部22场比赛中得40分，那么这 个队胜负场数应分别是多少? 用学过的一元一次方 程能解决此问题吗？ 这可是两个 未知数呀？

议一议篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队 胜一场得2分，负一场得1分.如果某队为了争取较 好名次，想在全部22场比赛中得40分，那么这个 队胜负场数应分别是多少? 那么，能设两个未知数吗？比如设胜x场， 负y场；你能根据题意列出方程吗？ 依题意有：场数 积分胜 负 合计

x 2x

y y

22 40两个耶！

x y 22 用方程表示为： 2 x y 40

<<孙子算经>>今有鸡兔同笼，上有三十五头，<<孙子算经>>是我国古代较为普及的算 书,许多问题浅显有趣.其中下卷第31题“鸡 兔同笼”问题流传尤为广泛,飘洋过海传到 了日本等国.

下有九十四足，问鸡兔各几何？

鸡兔同笼著名的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同 笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各 几何？” 设鸡有x只，兔y只，根据题意，得鸡 兔 合计

头

教案

8.1 二元一次方程组

教学目标

1. 能说出二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念，会检验所给的一组未知数的值是否二元一次方程、二元一次方程组的解．

2. 让学生学会用数学思想解决实际问题．

3. 体会实际问题中常会遇到的有关多个未知量间互相依赖、影响的问题，懂得二元一次方程组是反映现实世界多个量之间相等关系的一种有效的数学模型，能感受方程的作用．

教学重点

二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解 教学难点

弄清二元一次方程组的解的概念，进一步理解二元一次方程有无数个解，以及二元一次方程组（未知数的个数与独立等量关系个数相等）有唯一确定的解.

教学过程

一、创设情境

篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？

思考：设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？ 由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件： 胜的场数＋负的场数＝总场数， 胜场积分＋负场积分＝总积分. 这两个条件可以用方程

x＋y＝10 2x＋y＝16.

表示.

上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.

把两个方程合在一

初一奥赛培训17：二元一次不定方程的解法

一、解答题（共15小题，满分150分）

1、小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？ 2、求不定方程x﹣y=2的正整数解．

3、求证：如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①，有一组整数解x0，y0，则此方程的一切整数解可以表示为

，其中t=0，±1，±2，±3，…．

4、求11x+15y=7的整数解．

5、求方程6x+22y=90的非负整数解． 6、求方程7x+19y=213的所有正整数解． 7、求方程37x+107y=25的整数解．

8、某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？ 9、求方程9x+24y﹣5z=1000的整数解．

10、今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？

11、求下列不定方程的整数解： （1）72x+157y=1； （2）9x+21y=144； （3）103x﹣91y=5．

12、求下列不定方程的正整数解： （1）3x﹣5y=19； （2）12x+5y=125．

13、求下列不定方程的整数解： （1

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总

把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。 有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。

二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。 二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 消元的方法有两种：

代入消元法

例：解方程组x+y=5①

6x+13y=89②

解：由①得 x=5-y③

把③带入②，得 6(5-y)+13y=89

y=59/7

把y=59/7带入③，

x=5-59/7

即x=-24/7

∴x=-24/7

y=59/7 为方程组的解

我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。

加减消元法

例：

《二元一次方程组》说课稿

各位评委老师们：

大家上午好！今天我说课的内容是人教版数学七年级下册第八章第一节二元一次方程组。围绕学生学什么，怎么学这样一个主题，我主要从教材分析、教法、学法、教学过程四个方面说明我对这节课的认识和理解。

一、说教材分析

1．教材的地位和作用

二元一次方程组是初中数学的重点内容之一，是一元一次方程知识的延续和提高，期中包含了方程的解和方程的变形。本节课是在学生学习了一元一次方程的基础上，继续学习方程及方程组，这一内容的学习为接下来解二元一次方程组打下基础。因此他在初中阶段有很重要的作用。

2．教学目标

知识与技能目标目标：通过实例了解二元一次方程和它的解，二元一次方程组和它的解。

：会判断一组未知数的值是否为二元一次方程及方程组的解。会在实际问题中列二元一次方程组。

情感态度与价值观目标：使学生通过交流、合作、讨论获取成功体验，激发学生学习新知识的兴趣，增强学生的自信心。

3．重点、 难点

重点：二元一次方程和二元一次方程的解，二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念。

难点:根据问题中的数量关系，恰当设出未知数，列出方程或方程组

二、教法

在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动以强调学生的主动性、积极性为

10.1 二元一次方程教案

教学目标 ：

知识与技能：了解二元一次方程的概念，并会判断一组数是否是某个二元一次方程的解。 过程与方法：通过类比一元一次方程的相关概念，学生通过自我探究和小组讨论得到二元一次方程的相关概念。

情感态度与价值观：经历分析实际问题中数量关系的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效的数学模型，发现学习二元一次方程的必要性。

学习重点：了解二元一次方程的概念，并会判断一组数是否是某个二元一次方程的解。 学习难点：判断一组数是否是某个二元一次方程的解。 教学过程 一、复习旧知：

学校举行环保知识竞赛，规则如下：答对1题得4分，答错1题扣1分。

（1）小亮在这次竞赛中共回答了10个问题，答对5题，答错5题，小亮得了多少分? （2）小明在这次竞赛中也回答了10道题，共得25分，小明答对了多少题？答错了多少题？ 借此过渡到一元一次方程的概念和一元一次方程解的概念。 解的概念学生极有可能遗忘，可举例让学生判断哪一个是方程的解。 一、情境引入：

引例1：根据篮球的比赛规则，赢一场得2分，输一场得1分，在某次中学生比赛中，一支球队赛了若干场后积20分，问该队赢了多少 场？输了多少场？

你用一元一次方程怎么解决？（按照用一元一次方程解

组解的情况：①无解，例如：? x + y = 1 ， ? ；②有且只有一组解，例如：? x + y =1 ；③有无数组解，例如： ?2x +2y =6 ?x + y = 6 ?2x + y = 2 ? x + y =1 .】 ?2x +2y =2

?3n -2=1 ? n = 1

例 4、若 ?x = 2 是方程组 ? 2x - 3m = 1 的解，求 m 、n 的值. ?nx - my = -5 解：∵ ?x = 2 是方程组 ? 2x - 3m = 1 的解 ∴ ?? 解得 ? m = 1 ?2n -3m =-5 ? y = 3 ?nx - my = -5 ?n = -1 ? ? ? ? ?n = -1 人教版七年级下册第八章第一课时认识二元一次方程组

一、二元一次方程及其解

（1）二元一次方程：含有两个未知数（x 和 y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元 一次方程，它的一般形式是 ax + by = c(a ≠ 0, b ≠ 0) .

（2）二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等

一次函数与二元一次方程专题

一．选择题（共10小题）

1．如图，两个一次函数图象的交点坐标为（2，4），则关于x，y的方程组的解为（ ）

A． B． C． D．

2．如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组A．

B．

C．

的解是（ ）

D．

3．已知直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，a），则方程组A．

B．

C．

D．

的解为（ ）

4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组

的解为（ ）

A． B． C． D．

5．直线l是以二元一次方程8x﹣4y=5的解为坐标所构成的直线，则该直线不经过的象限是（ ）

1

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．用图象法解方程组时，下图中正确的是（ ）

A． B． C． D．

7．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是（ ）

A． B．C． D．的解是

8．若关于x，y的二元一次方程组﹣x+5的交点坐标为（ ）

，则直线与y=

A．（4，1） B．（1，4） C．（﹣4，1）