基本不等式教案第一课时

3.4 基本不等式第1课时(熟悉基本结构)a b ab 2

ICM2002会标

赵爽：弦图

D b G A H

D

a 2 b2FE a a C A E(FGH) b C

B

B

基本不等式1: 一般地，对于任意实数a、b,我们有 2 2

a b 2ab

当且仅当a=b时，等号成立。

基本不等式2:

a b ab (a 0, b 0) 2当且仅当a=b时，等号成立。注意：

(1)一正(整数)、二定(定值)、三取等(a=b)( 2)

aba b 2

称为正数a、b的几何平均数

称为它们的算术平均数。

基本不等式的几何解释：

D

A

a

C

b

B

半弦CD不大于半径

E

范例讲解例1 已知x、y都是正数，求证： 证明: x 0, y 0 y x (1) 2 y x 0, 0 x y x yy x y x 2 2 x y x y

巩固练习：3 1.若x>0,当x= 3 时,函数 y x 的最小值是 2 3 . x 2 4 2.若x>0,当x= 时,函数 y 9 x 有最 小 值 . 12 x 3

基本不等式2:

a b ab (a 0, b 0) 2当且仅当a=b时，等号成立。

注意： 一正(

基本不等式

【教学目标】

1、掌握基本不等式，能正确应用基本不等式的方法解决最值问题

2、用易错问题引入要研究的课题，通过实践让同学对基本不等式应用的二个条件有进一步的理解

3、会应用数形结合的数学思想研究问题 【教学重点难点】

教学重点: 基本不等式应用的条件和等号成立的条件 教学难点：基本不等式等号成立的条件 【教学过程】

一、设置情景，引发探究 问题一：x?1有最小值吗？ x2问题二：x?3?1x?32?2正确吗？

二、合作交流，研究课题

R中，a+b≥2ab，a+b≥?2ab，当且仅当a=b时取到等号。

2

2

2

2

a2?b2a?b2 R中，当且仅当a=b时取到等号。 ??ab?，1122?ab?注意：1、公式应用的条件 2、等号成立的条件 三、实例分析，深化理解 例1、求所给下列各式的最小值 （1）y?a?

1(a?3) a?31(a?3)?3?2?3?5,a?3

1当且仅当a?3??a?3?1?a?4时，ymin?5。a?3x2?2x?2(?1?x?1) （2）y?2x?2y?a?3?(x?1)2?1x?11 y???2(x?1)22(x?1)在(-1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增， 当且仅当

x?11

第三课时 基本不等式

高二数学 陈晓娟

【教学目标】

理解基本不等式的几何意义，掌握定理中的不等号取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.

【教学重点难点】

教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式a?b?ab的多种解释. 2教学难点：发现并对基本不等式给出几何解释. 教学过程：

基本知识准备：（由各班的第二小组数学学科小组长回答，检查预习情况） 1.如果a，b都是非负数，那么_____________?____________，当且仅当_________时，等号成立.我们称上述不等式为基本不等式，其中________称为a,b的算术平均数，_________称为a,b的几何平均数因此，基本不等式又被称为.____________.

2.重要不等式：若a,b?R，则a2?b2?________,当且仅当_______时取等号；讨论交流展示：

ba1.设a,b为正数，证明??2

ab（由各班第一小组讨论并完成展示在相应区域，注意要分析

ba，都大于0，然ab后利用基本不等式得出结论，要有等号成立的条件）

b?ca?ca?b2.若a,b,c?0则???_________

abc（由各班第二小组讨论并完成展示在相应区域，注意要

基本不等式

【教学目标】

1、掌握基本不等式，能正确应用基本不等式的方法解决最值问题

2、用易错问题引入要研究的课题，通过实践让同学对基本不等式应用的二个条件有进一步的理解

3、会应用数形结合的数学思想研究问题 【教学重点难点】

教学重点: 基本不等式应用的条件和等号成立的条件 教学难点：基本不等式等号成立的条件 【教学过程】

一、设置情景，引发探究 问题一：x?1有最小值吗？ x2问题二：x?3?1x?32?2正确吗？

二、合作交流，研究课题

R中，a+b≥2ab，a+b≥?2ab，当且仅当a=b时取到等号。

2

2

2

2

a2?b2a?b2 R中，当且仅当a=b时取到等号。 ??ab?，1122?ab?注意：1、公式应用的条件 2、等号成立的条件 三、实例分析，深化理解 例1、求所给下列各式的最小值 （1）y?a?

1(a?3) a?31(a?3)?3?2?3?5,a?3

1当且仅当a?3??a?3?1?a?4时，ymin?5。a?3x2?2x?2(?1?x?1) （2）y?2x?2y?a?3?(x?1)2?1x?11 y???2(x?1)22(x?1)在(-1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增， 当且仅当

x?11

3.4 基本不等式（1）

【教学目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，

并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 a b2

的证明过程；

a b2

等号成立条件

【学习探究】

【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第97页～第99页） 1．在如右图赵爽的弦图中，正方形ABCD的面积为四个直角三角形的面积为 ；由这两个面积的大小关系可得基本不等式 ，其中等号成立的条件为 ．

【感悟】数学中的对称美完美体现出来. 2.如果a 0,b 0，用 代替 ，a2

b2

2ab

可得基本不等式 （当且仅当，等号成立）.

3．分析法证明a b a b a b 0， 即证 0,当且仅当 时，等号成立．

【感悟】注意等号成立的前提及条件.

4．a b ab （a 0,b 0）（1）a 0,b 0；（2）积或和为定值；（3）当且仅当a b 即记为“一正，二定，三相等” ．

5.正数a,b

3.4 基本不等式（1）

【教学目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，

并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 a b2

的证明过程；

a b2

等号成立条件

【学习探究】

【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第97页～第99页） 1．在如右图赵爽的弦图中，正方形ABCD的面积为四个直角三角形的面积为 ；由这两个面积的大小关系可得基本不等式 ，其中等号成立的条件为 ．

【感悟】数学中的对称美完美体现出来. 2.如果a 0,b 0，用 代替 ，a2

b2

2ab

可得基本不等式 （当且仅当，等号成立）.

3．分析法证明a b a b a b 0， 即证 0,当且仅当 时，等号成立．

【感悟】注意等号成立的前提及条件.

4．a b ab （a 0,b 0）（1）a 0,b 0；（2）积或和为定值；（3）当且仅当a b 即记为“一正，二定，三相等” ．

5.正数a,b

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一. 教材分析

1、教材地位和作用

本节是选自人教社普通高中课程实验标准 数学（必修5）《不等式》一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．同时也是为了以后学习（选修4—5）《不等式选讲》中的几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用。

本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力，是学数学用数学的好素材。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质。

“基本不等式”在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值是高考的热点。它在科学研究、经济管理、工程设计上都有广泛的作用。

2、教学目标 A．知识目标：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的

不等号“≥”取等号的条件.

B．能力目标：通过实例探究基本不等式；

C．情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

3、教学重点、难点： a?b重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab?的证明过程；

2a?b难点：用基本不等式求最大最小值，

《一元二次不等式解法》(第一课时)的教学设计

浚县一中 范景霞

一、教学目标

(一)知识目标 理解一元二次方程，一元二次不等式、二次函数之间的关系；掌握看图象找解集的方法，熟悉一元二次不等式的解法。

(二)能力目标 通过看图象找解集，培养学生从“从形到数”的转化力，“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。

(三)情感目标 创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。

二、教学分析

教学重点：一元二次不等式的解法。

教学难点：一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。 教学方法：诱思引探教学法 教学用具：多媒体

三、课堂设计

(一)创设情景，引出“三个一次”的关系 师：请同学们解一元二次方程：x2-x-6=0 生：解（略）

师：若将上述方程中的“=”改为“>”，就得到一元二次不等式x2-x-6>0，怎样求解一元二次不等式呢？这就是我们本节课学

1

习的内容（板书课题）

师：初中已经学过一元一次方程和一元一次不等式的解法，如：

2x-7=0?x=3.5

2x-7>0?x>3.5 （学生口答，教师板书） 2x-7<0?x<3.5

师：其实两个一元一次不等式的解是通过不等式的基本性质得到的，但是我们很

《一元二次不等式解法》(第一课时)的教学设计

浚县一中 范景霞

一、教学目标

(一)知识目标 理解一元二次方程，一元二次不等式、二次函数之间的关系；掌握看图象找解集的方法，熟悉一元二次不等式的解法。

(二)能力目标 通过看图象找解集，培养学生从“从形到数”的转化力，“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。

(三)情感目标 创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。

二、教学分析

教学重点：一元二次不等式的解法。

教学难点：一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。 教学方法：诱思引探教学法 教学用具：多媒体

三、课堂设计

(一)创设情景，引出“三个一次”的关系 师：请同学们解一元二次方程：x2-x-6=0 生：解（略）

师：若将上述方程中的“=”改为“>”，就得到一元二次不等式x2-x-6>0，怎样求解一元二次不等式呢？这就是我们本节课学

1

习的内容（板书课题）

师：初中已经学过一元一次方程和一元一次不等式的解法，如：

2x-7=0?x=3.5

2x-7>0?x>3.5 （学生口答，教师板书） 2x-7<0?x<3.5

师：其实两个一元一次不等式的解是通过不等式的基本性质得到的，但是我们很

篇一：获奖说课稿-基本不等式

《基本不等式》说课稿

各位评委老师，大家好，我说课的题目是《基本不等式》，本节课选自人教A版数学

必修5第三章第四节第一课时，我将从以下五个方面阐述我对这节课的设计： 一、教材分析

作为高中阶段必修的最后一部分内容，基本不等式具有丰富的实际背景．不但可以用来求某些函数的最值，同时也是证明不等式的理论依据，是高考考查的重点内容之一. 二、目标分析

教学目标：（1）探索基本不等式的证明过程；

（2）应用基本不等式解决简单最大（小）值问题

依据教学目标确定如下的重点、难点

重点: 应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

难点:利用基本不等式求最大值和最小值。 三、教学设计

1.引用2002年北京国际数学家大会会标并介绍弦图背景资料 设计意图：激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性

探究1：图中有哪些相等关系和不等关系？

正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=_,Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形，它们的面积之和是S’=＿

从图形中易得，s>s’,即 a?b?2ab

问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？（学