二次函数与一元二次方程

课题：2.5.2二次函数与一元二次方程

教学目标：

1．复习巩固用函数y＝ax+bx+c的图象求方程ax+bx+c＝0的解．

222．让学生体验一元二次方程ax+bx+c =h的根就是二次函数y=ax+bx+c 与直线y=h（h是

2实数）图象交点的横坐标的探索过程，掌握用图象交点的方法求一元二次方程ax+bx+c =h的近似根．

3．利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想. 教学重点与难点：

重点：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程. 难点：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根并且估算. 教学过程：

一、复习回顾，开辟道路

二次函数y=ax+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax+bx+c=0的根有什么关系?

2

2

22

1．若方程ax+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交点坐标是 .

2．抛物线y=0.5x-x+3与x轴的交点情况是（ ）

A、两个交点 B、一个交点 C、没有交点 D

《<二次函数与一元二次方程>第一课时》说课稿

付家堰中小学 刘家付

各位领导、专家：

大家好！我今天的说课内容是人教版九年级上册第22章第二节《二次函数与一元二次方程》的第一课时的教学内容，现就我对本节课的教学安排和教学思路向各位领导和专家汇报如下： 一、教材分析

本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。 二、学情分析

1、知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系，因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。

2、学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想。

3、心理上，老师应抓住一元二次方程的求解方法很多，在学习了因式分解法、配方法、求根公式法等的基

二次函数与一元二次方程间的关系

一，证明二次函数的图象与X轴有无交点，只要证明相应的一元二次方程有无实数根 例1， 求证：不论m取什么失数，二次函数y?x2?mx?m?2的图象与x轴

相急哦啊于两个不同的交点。

例2， 设二次函数y?x2?2x?2?a 的图象与X轴只有一个公共点，求a。

二，求二次函数的图象与X轴交点的横坐标，就是求相应的一元二次方程的根 例3， 已知：抛物线y?x2?(m?4)x?2(m?6)，当m为何值时，抛物线X轴

的两个交点都位于点（1，0）的右侧？

例4， 二次函数y?x2?2(m?1)x?2m?3，如果函数图象与X轴负半轴有两

个不同的交点，求m的取值范围。

三，利用一元二次方程根与系数的关系，求相应的二次函数的解析式

例5， 如图：二次函数

1y??x2?(5?m2)x?m?3的图象与X轴

2有两个交点A、B，点A在X轴的正半轴上，点

B Y C O A X B在X轴的负半轴上，且OA=OB，求该二次函数的解析式。

例6， 如图：已知：抛物线y?x2?bx?c经过点（2，-4），与X轴交于P、Q

两点，且

PO2?，求此抛物线的解析式

初三重要章节练习题

二次函数与一元二次方程

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（）51加速度学习网 整理

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列哪一个函数，其图形与x轴有两个交点？ （ ）

22

A. y=17(x 83) 2274 B. y=17(x 83) 2274

22

C. y= 17(x 83) 2274 D. y= 17(x 83) 2274 2．已知二次函数y ax2 bx c的y与x的部分对应值如下表：

A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴

C．当x＝4时，y＞0 D．方程ax bx c 0的正根在3与4之间

2

3. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护

栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A．50m B．100m C．160m D

学大教育个性化辅导教案

等于 0,得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. (3)配方法： 例 3

x2 6 x 4 0

解：x 2 6 x 4 x 2 6 x 32 4 32 ( x 3) 2 5 x 3 5 x1 5 3, x2 5 3.就是把一元二次方程转化为可以直接直接开平方的方法。 教师提问三：那同学们又能说说步骤吗？ 用配方法解一元二次方程

ax 2 bx c 0 a 0

的一般步骤是： ①化二次项系数为 1, 即方程两边同时除以二次

项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的 平方；④化原方程为 ( x m) n 的形式；⑤如果 n 0 ,就可以用直接开平方求出方程的解，如果 n<0,则原方2

程无解. (4)公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后公式计算。 一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的求根公式是：2

x

b b 2 4ac 2 (b 4ac 0). 2a

例4 解：

x2 x

二次函数与一元二次方程的综合

函数与一元二次方程

知识考点：

1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；

2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x 轴的交点情况；

3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。 跟踪训练： 一、选择题：

1、已知抛物线m x m x y +-+=)1(52与x 轴两交点在y 轴同侧，它们的距离的平方等于25

49，则m 的值

为（ ）

A 、－2

B 、12

C 、24

D 、－2或24

2、已知二次函数c bx ax y ++=21（a ≠0）与一次函数m kx y +=2（k ≠0）的图像交于点A （－2，4），B （8，2），如图所示，则能使21y y >成立的x 的取值范围是（ ）

A 、2-<x

B 、8>x

C 、82<<-x

D 、2-<x 或8>x

第2题图

第4题图

3、如图，抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A 、B 、E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系：①0=+c a ；②0=b ；③1-=ac ；④2c S ABE =?其中正确的有（ ） A 、4个 B 、

用于期末复习

杨家中学2010-2011年度九年级上之一元二次方程复习

一、选择题 1．（2010江苏苏州）下列四个说法中，正确的是 A

．一元二次方程x2 4x 5

2有实数根；

B

．一元二次方程x2 4x 5 2 C

．一元二次方程x2 4x 5 3

有实数根；

D．一元二次方程x2+4x+5=a(a≥1)有实数根．

3．（2010安徽芜湖）关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ）

A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 4．

5．（10湖南益阳）一元二次方程ax2

bx c 0(a 0)有两个不相等．．．

的实数根，则b2

4ac满足的条件是

Ａ．b2 4ac＝0 Ｂ．b2 4ac＞0 Ｃ．b2 4ac＜0 Ｄ．b2 4ac≥0

6．（2010山东日照）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是

（A）－3，2 （B）3，-2 （C）2，－3 （D）2，3 7．(2010四川眉山）已知方程x2 5x 2 0的两个解分别为x1、x

北京市西城区(南区)2011——2012

1． 抛物线y＝－2x2－x＋1的顶点在第_____象限( )

A．一 B．二 C．三 D．四 2． 如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( )

A．6 B．8 C．10 D．

12

2

4． 用配方法解方程x 2x 5 0时，原方程应变形为

A．(x 1)2 6 B．(x 2)2 9 C．(x 1)2 6 D．(x 2)2 9 6． 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为

x，则下面所列方程中正确的是( ) A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289 C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289

7． 如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴

影部分的面积为( ) A．17 B．32

D．80

8． 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x的图象

被⊙P的弦AB的长为a的值是 A．

B．2

C．

D．212．二次函数y ax2 bx c的图象的一部分如图所

北京市西城区(南区)2011——2012

1． 抛物线y＝－2x2－x＋1的顶点在第_____象限( )

A．一 B．二 C．三 D．四 2． 如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( )

A．6 B．8 C．10 D．

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2

4． 用配方法解方程x 2x 5 0时，原方程应变形为

A．(x 1)2 6 B．(x 2)2 9 C．(x 1)2 6 D．(x 2)2 9 6． 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为

x，则下面所列方程中正确的是( ) A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289 C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289

7． 如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴

影部分的面积为( ) A．17 B．32

D．80

8． 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x的图象

被⊙P的弦AB的长为a的值是 A．

B．2

C．

D．212．二次函数y ax2 bx c的图象的一部分如图所

九（下）数学学案 用函数观点看一元二次方程 2014年--- -月--- -日

一、课前准备，学前感知

1、学习目标

1、理解一元二次方程与二次函数与横轴交点的关系

2、理解二次函数与横轴位置关系与一元二次方程判别式的关系 3、灵活运用所学知识解决问题 2、学习重、难点

重点：理解二次函数与横轴位置关系与一元二次方程判别式的关系 难点：同上

二、课中导学

1.如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是_________，因此x=_________就是方程ax2+bx+c=0的一个根. 2.二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：

①没有公共点,这对应着一元二次方程根的情况是_________； ②有一个公共点，这对应着一元二次方程根的情况是_________； ③有两个公共点，这对应着一元二次方程根的情况是_________.

3.y=x2－3x－4与x轴的交点坐标是_________，与y轴交点坐标是_________ 4.二次函数y=x2+2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是( ) A.3