湖南大学2005数学分析解答

1、 求lim(n??1n2?2n2??n?1n2).

n解 解法1 利用几何平均与算术平均不等式，及n!?n2，

1?2??nnnnn?n12?n?(n!)2?(n2)2?n4，

nlim1?2??nn??n???.

解法2 利用Stolz定理， 原式?lim1?2??n?1n

n?? ?limnn??(n?1)?n ?ln?i?mn???.

2 、求limlnn!.

n??nlnn解 利用Stolz定理， 原式?limln(n?1)(n?1)ln(n?1)?nlnn

n???limln(n?1)

n??ln(1?11n)n??n?limln(n?1)1

n??ln(1?n)n?1?lnn?lim1n??

ln(1?1n)n?1ln(n?1)?lnnln(n?1)?1.

3 求lim1nn???0x(1?x)xdx.

解 0??10xn(1?x)xdx??1n02xdx?1n?1，lim1nxn???0x(1?x)dx?0.

1

x??1?1?x,1?x4 设g(x)??2，求limn??n?x?x?2,x??1n?i?1g(x?i(1?x)n).

解 原式??121?x0g(x?y)dy，

n??n??3?445

1、 求lim(n??1n2?2n2??n?1n2).

n解 解法1 利用几何平均与算术平均不等式，及n!?n2，

1?2??nnnnn?n12?n?(n!)2?(n2)2?n4，

nlim1?2??nn??n???.

解法2 利用Stolz定理， 原式?lim1?2??n?1n

n?? ?limnn??(n?1)?n ?ln?i?mn???.

2 、求limlnn!.

n??nlnn解 利用Stolz定理， 原式?limln(n?1)(n?1)ln(n?1)?nlnn

n???limln(n?1)

n??ln(1?11n)n??n?limln(n?1)1

n??ln(1?n)n?1?lnn?lim1n??

ln(1?1n)n?1ln(n?1)?lnnln(n?1)?1.

3 求lim1nn???0x(1?x)xdx.

解 0??10xn(1?x)xdx??1n02xdx?1n?1，lim1nxn???0x(1?x)dx?0.

1

x??1?1?x,1?x4 设g(x)??2，求limn??n?x?x?2,x??1n?i?1g(x?i(1?x)n).

解 原式??121?x0g(x?y)dy，

n??n??3?445

一、计算 （1）lim[x x2ln(1 x 1x )] （3） min(e

0 x,)dx 2

2222 u x 2y z z z z（2）设变换方程 可把62 =0简化为 0，求常数a。 2v x ay x y x y u v

二、将函数 x 2f(x)

0

x

a220 x 2 2z22展开正弦级数，并指出该正弦级数的和函数。 x 三、求在椭球面 yb22 c 1(a,b,c R)内嵌入的有最大体积的各棱平行于坐标

轴的直角平行六面体的体积 四、证明曲线积分 (1

Lyx22cosyx)dx (sinyx_yxcosyx)dy在右半平面内与积分路径无

关，并当L的起点为(1, )，终点为(2, )时计算此积分。

五、求积分

y azxdy d2yzzdz d(1x z)dxd,y其中 为yoz2面上的曲线z e(0 y a)绕z轴旋转所得的曲面的下侧。

dsinx

( f(x,y)dy)x 0 dxx六、设函数f(x,y)在R2上有连续的偏导数，问函数g(x) d xtsint( edt)x 0 dxt0

在哪些间断点处连续？若有间断点，请指出其类型并说明理由。

七、设f(x)为[0. ]上恒

取正值的连续

▇ ▇ 数学分析

《数学分析Ⅰ》第2讲 教学内容：实数系的连续性

第二章 数列极限

§2.1实数系的连续性

一． 实数系的产生（历史沿革）

从人类历史的开始，人类就逐步认识了自然数，1，2，3，?，n，?

自然数集 整数集 有理数集 实数集

解决的减法解决对除法?????????? ? 的封闭性的封闭性解决对开方?????的封闭性? ? ?

对加法封闭 对加减乘封闭 对加减乘除封闭 对减法不封闭 对除法不封闭 对开方不封闭

2000多年前，毕达哥拉斯学派认为：有理数集是最完美的数集；世界上的万事万物都可以用有理数表示。

但是，毕达哥拉斯的一个“叛逆”的学生，发现了边界为1的正方形的对角线长度不是一个有理数，即

数轴上点c不是一个有理数点。

例2.1.1设c?2，试证明：c不是一个有理数。

2p，则q222p2?c2q2?2q2，所以2|p，不妨设p?2p1，故(2p1)?2q，所以2p1?q， 所以2|q，记q?2q1，即p?2p1，q?2q1，这与 (p,q)

《数学分析Ⅱ》期中考试题

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、曲线2x2 +3y2 + z2 =9, z2 =3x2 + y2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ）

A、8x+10y+7z-12=0； B、8x+10y+7z+12=0；C、8x -10y+7z-12=0； D、8x+10y+7z+12=0 2、L为单位圆周，则

??Lyds?（ 4 ）

A、1 B、2 C、3 D、4 3、L为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则

?Lzdx?xdz= （ 3 ）

A、3 B、5 C、7 D、9 4、

??x?y?13?x?y?dxdy=（ 2 ）

A、2 B、4 C、6 D、8 5、

?0?12dy?21?y1?x0f(x,y)dx，改变积分顺序得（ 1 ） f(x,y)dy B、?dx?121?x?11?x?1A、C、

??12dx?dx?f(x,y)dy f(x,y)dy

1?x01f(x,y)dy D、?dx?126、V=[-2, 5]?[

第十三章 函数项级数 应用题

第十三章

函数项级数 计算题

1．设S(x)=?ne?nx x>0，计算积分?ln3ln2S(t)dt

2．.判断级数?(?1)nxnn1?xn(x>0)的敛散性.

第十三章 函数项级数 计算题答案

1．?ne?nx在[ln2,ln3]上连续且一致收敛

?它在[ln2,ln3]可逐积分 (得4分)

??ln3?s(t)dt?ln3ne?nxdxln2?? (得6分)

n?1ln2? =?[(1)n?(1)n23]?1?1?1 (得8分)

n?11?121?12 32． 对交错级数?(?1)nn 由莱布尼兹判别法知它收敛 (得3分)

而

xn1?xn 当x>1时,单增有界 ; x=1时,值为

12 ; 当x<1时,单降为界 (得6分)

故由阿贝尔判别法知?(?1)nxnnn收敛

第2，3，11章 习题解答

习题2-1

1. 若自然数n不是完全平方数.证明n是无理数. 证明 反证法. 假若n?pq(p,q?N,且p,q互质)，于是由nq2?p2可知,q2是

p2的因子，从而得q2?1即p2?n,这与假设矛盾.

2. 设a,b是两个不同实数.证明在a和b之间一定存在有理数.

证明 不妨设a0, 所以存在正整数n,使得0

1

mm综上可得 na

nn3. 设x为无理数.证明存在无穷多个有理数

pq(p,q为整数，q?0)使得x?pq?1q2.

证明 反证法. 假若只有有限个有理数满足不等式,即

x?令

piqi<

1qi2 , (i?1,2,3?,m)

??p??min?x?ii?1,2,3,?,m?

qi??取 N:N?1, 且选取整数p,q(0?q?N), 使得 ?p111, x??N?2

qqqNp1??N???, qqq qx?p?但因q是正整数，故又有x?从而可知

习题2-2

ppi? (i?1,2,3,?m), 这与假设矛盾. qqi1．求下列数集的上、下确界. （1）?1???1??1? n?N?, （2）?(1?)nn?N?,

第14章 稳恒电流的磁场

14.1 充满εr = 2.1电介质的平行板电容器，由于电介质漏电，在3min内漏失一半电量，求电介质的电阻率．

解：设电容器的面积为S，两板间的距离为l，则电介质的电阻为R??l．设t时刻电容S器带电量为q，则电荷面密度为ζ = q/S，两板间的场强为E = ζ/ε =q/εrε0S，电势差为 U = El =ql/εrε0S，介质中的电流强度为

q -q dqU1???q，负号表示电容器上的电荷减少．

S dtR?0?r?微分方程可变为

tdq1??dt，积分得 lnq???C，

?0?r?q?0?r?εr l 设t = 0时，q = qm，则得C = lnqm，因此电介质的电阻率的公式为

t． ???0?rln(qm/q) 当t = 180s时，q = qm/2，电阻率为??180 =1.4×1013(Ω·m)． ?128.842?10?2.1?ln2

14.2 有一导线电阻R = 6Ω，其中通有电流，在下列两种情况下，通过总电量都是30C，求导线所产生的热量．

（1）在24s内有稳恒电流通过导线； （2）在24s内电流均匀地减少到零．

解：（1）稳恒电流为 I = q/t = 1.25(A)，导线产生

大连理工大学2009年数学分析考试试题 数学分析试题解答 一、 计算题 1、 求极限：lim解：

lima1?2a2?...?nann2a1?2a2?...?nann2n??,其中liman?an??

n???lim(n?1)an?1(n?1)?n22n???lim(n?1)an2n?1n???a2(利用Stolz公式)

2、求极限：limex???x(1?1x)x2

解：

limex???x(1?1xx1)xx2(1??lim(x??1x)xe(1?1x)xx(1??limx??1)?e?limx??)(ln(1??1x21x)?1x?1)x?elimxx??(1?12x2?o(?12x12))?1x?1??e21xe

x?limex???x(1?1x)x2(1??lim(x??)xe?)?lim(x??xe2x)x?1ee

3、证明区间（0，1）和（0，+?）具有相同的势。 证明：构造一一对应y=arctanx。

4、计算积分??D1y?x2dxdy，其中D是x=0,y=1,y=x围成的区域

解：

??D1y?x210dxdy???01y021y?xdxdy??10ln(x?y)|0dy2y??ln(1?y)dy??10lnydy

第14章 稳恒电流的磁场

14.1 充满εr = 2.1电介质的平行板电容器，由于电介质漏电，在3min内漏失一半电量，求电介质的电阻率．

解：设电容器的面积为S，两板间的距离为l，则电介质的电阻为R??l．设t时刻电容S器带电量为q，则电荷面密度为ζ = q/S，两板间的场强为E = ζ/ε =q/εrε0S，电势差为 U = El =ql/εrε0S，介质中的电流强度为

q -q dqU1???q，负号表示电容器上的电荷减少．

S dtR?0?r?微分方程可变为

tdq1??dt，积分得 lnq???C，

?0?r?q?0?r?εr l 设t = 0时，q = qm，则得C = lnqm，因此电介质的电阻率的公式为

t． ???0?rln(qm/q) 当t = 180s时，q = qm/2，电阻率为??180 =1.4×1013(Ω·m)． ?128.842?10?2.1?ln2

14.2 有一导线电阻R = 6Ω，其中通有电流，在下列两种情况下，通过总电量都是30C，求导线所产生的热量．

（1）在24s内有稳恒电流通过导线； （2）在24s内电流均匀地减少到零．

解：（1）稳恒电流为 I = q/t = 1.25(A)，导线产生