初中数学63个几何模型

初中数学几何模型 中点模型 【模型1】倍长 1、 倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交 AABDCBEDCFE ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、 直接连接中点；2、连对角线取中点再相连 【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF的中点，连接GC、GE． （1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10，BF=4，求GE的长； （2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明； （3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明. DGFEABAGGFBABECDCDCE图1图2图3F 1 【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE=AF，?DAE??BAF． (1)求证：CE=CF； (2)若?ABC?

中点模型 授课日期 主 题 时 间 中点模型 教学内容 学习过中位线之后，你能否总结一下，目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关？ 直角三角形中点你想到了什么，等腰三角形中点你想到了什么，一般三角形中点你又想到了什么？ 1. 直角三角形斜边中线定理： 如图，在Rt?ABC中，?ACB?90?，D为AB中点，则有：CD?AD?BD?C1AB。 2BDA 2. 三线合一： 在?ABC中:（1）AC?BC；（2）CD平分?ACB；（3）AD?BD，（4）CD?AB. “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出余下两条。 CADB 3. 中位线定理：如图，在?ABC中，若AD?BD，AE?CE，则DE//BC且DE?A1BC。 2DEBC 4. 中线倍长(倍长中线)： 如图（左图），在?ABC中，D为BC中点，延长AD到E使DE?AD，联结BE，则有：?ADC≌?EDB。 作用：转移线段和角。 AABMBDEC CD 例1： 如图所示，已知D为BC中点，点A在DE上，且AB?CE，求证：?BAD??CED. EABDC 提示：用倍长中线法

中点模型 授课日期 主 题 时 间 中点模型 教学内容 学习过中位线之后，你能否总结一下，目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关？ 直角三角形中点你想到了什么，等腰三角形中点你想到了什么，一般三角形中点你又想到了什么？ 1. 直角三角形斜边中线定理： 如图，在Rt?ABC中，?ACB?90?，D为AB中点，则有：CD?AD?BD?C1AB。 2BDA 2. 三线合一： 在?ABC中:（1）AC?BC；（2）CD平分?ACB；（3）AD?BD，（4）CD?AB. “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出余下两条。 CADB 3. 中位线定理：如图，在?ABC中，若AD?BD，AE?CE，则DE//BC且DE?A1BC。 2DEBC 4. 中线倍长(倍长中线)： 如图（左图），在?ABC中，D为BC中点，延长AD到E使DE?AD，联结BE，则有：?ADC≌?EDB。 作用：转移线段和角。 AABMBDEC CD 例1： 如图所示，已知D为BC中点，点A在DE上，且AB?CE，求证：?BAD??CED. EABDC 提示：用倍长中线法

初中几何模型与解法：等面积法

教学目标

1、学会寻找同一个图形两种计算面积的方法，列出等量关系；

2、学会运用等面积法建立等式求解线段长或证明线段之间的数量关系

3、学会运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积

重、难点重点：运用等面积法建立等式；难点：运用等面积法巧妙求解一些不规则图形的面积

知识导图

知识梳理

方法概述：运用同一图形的两种计算面积的方法，列出等量关系，从而求解线段的长度，或者证明线段之间的等量关系，甚至求解不规则图形的面接！

技巧归纳：

1、当图形中出现两个（或者以上）的垂直关系时，常用此法.

2、计算多边形面积的常用方法：

(1)面积计算公式

(2)对于公式⑤的证明（如右图）：

S= S△ABD+S△CBD

=

=

=

* (3)割补法：将不规则图形“分割或补全’为规则图形.

+

=

又∵ABC= AC AB

∴该直角三角形斜边AB上的高

CD=

导学一：等面积法在直角三角形的应用

知识点讲解1

在直角三角形中，两条直角边、斜边以及斜边上的高，知道任意两个可以运用勾股定理、等面积思想求出剩余两个。

如图：

基本公式: ①勾股定理:

②等面积法：

证明②：

即：,

例题

1.如图，在Rt ABC ,∠C=90°，当直角边AC =4，斜边AB =5时，求该直角三角形斜边AB上的高CD ?

旋转提升专题 知识点一 旋转构造全等 几何变换——旋转?利用旋转思想构造辅助线 ??旋转中的基本图形（一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”) 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化 二利用旋转思想构造辅助线 （1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度 （3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形 三 旋转变换前后具有以下性质： （1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同 （3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角?． 【例题精讲】 例1.在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若SABCD=25，求DP的长。 例2.如图，四边形ABCD是正方形，?ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60?得到BN，连接AM、CM、EN． ⑴求证：?AMB≌?ENB ⑵①当M点在何处时，AM?CM的值最小； ②当M点在何处时，AM?BM?CM的值最小，并说明理由

旋转提升专题 知识点一 旋转构造全等 几何变换——旋转?利用旋转思想构造辅助线 ??旋转中的基本图形（一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”) 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化 二利用旋转思想构造辅助线 （1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度 （3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形 三 旋转变换前后具有以下性质： （1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同 （3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角?． 【例题精讲】 例1.在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若SABCD=25，求DP的长。 例2.如图，四边形ABCD是正方形，?ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60?得到BN，连接AM、CM、EN． ⑴求证：?AMB≌?ENB ⑵①当M点在何处时，AM?CM的值最小； ②当M点在何处时，AM?BM?CM的值最小，并说明理由

旋转提升专题 知识点一 旋转构造全等 几何变换——旋转?利用旋转思想构造辅助线 ??旋转中的基本图形（一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”) 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化 二利用旋转思想构造辅助线 （1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度 （3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形 三 旋转变换前后具有以下性质： （1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同 （3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角?． 【例题精讲】 例1.在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若SABCD=25，求DP的长。 例2.如图，四边形ABCD是正方形，?ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60?得到BN，连接AM、CM、EN． ⑴求证：?AMB≌?ENB ⑵①当M点在何处时，AM?CM的值最小； ②当M点在何处时，AM?BM?CM的值最小，并说明理由

第一讲 注意添加平行线证题

在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.

添加平行线证题,一般有如下四种情况.

1 为了改变角的位置

大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P、Q为线段BC上两点,且BP＝CQ, ADA为BC外一动点(如图1).当点A运动到使 ∠BAP＝∠CAQ时,△ABC是什么三角形？试 证明你的结论. BPQC答： 当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC为等腰三角形. 图1证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.

在△DBP＝∠AQC中,显然 ∠DBP＝∠AQC,∠DPB＝∠C. 由BP＝CQ,可知 △DBP≌△AQC.

有DP＝AC,∠BDP＝∠QAC. 于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP.

则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB＝DP. 所以AB＝AC.

这

第一讲 注意添加平行线证题

在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.

添加平行线证题,一般有如下四种情况.

1 为了改变角的位置

大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P、Q为线段BC上两点,且BP＝CQ, ADA为BC外一动点(如图1).当点A运动到使 ∠BAP＝∠CAQ时,△ABC是什么三角形？试 证明你的结论. BPQC答： 当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC为等腰三角形. 图1证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.

在△DBP＝∠AQC中,显然 ∠DBP＝∠AQC,∠DPB＝∠C. 由BP＝CQ,可知 △DBP≌△AQC.

有DP＝AC,∠BDP＝∠QAC. 于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP.

则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB＝DP. 所以AB＝AC.

这

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立体几何中的一个经典几何模型

由四个直角三角形围成的四面体是一个经典的几何模型i ，俗称“三节棍”模型，如图1四面体A BCD -中，,,ABC ABD ∠∠

,BDC ADC ∠∠均为直角.我们研究它的产生背

景、各面所成的角及其棱所在直线与相关面所成的角的性质，为此，定义BDC ?为底面，ADC ?为斜面，ABC ?为主垂面，ABD ?为副垂面.(主副垂面之分在于BC BD >)AC 为

BDC ?

的主斜线，AD 为BDC ?副斜线，它们在

底面内的摄影BC BD 和也分别称作主射影和副射影.设,ACB α∠=,BCD β∠=.ACD γ∠=

这个模型的几何结构特点决定，在其

中，空间直角坐标系的建立以及相关向量的计算不易直接实现，因此我们有必要探讨在这种模型中如何避开利用空间向量的解析法而用纯几何的手段解决有关角的问题.

1. “三节棍”模型的背景：

①线面角背景：如图1，AB 是平面BCD 的垂线，B 为垂足，AC 是平面BCD 的斜线，C 是斜足，CD 是平面BCD 内另一异于BC 的直线，过B 作BD CD ⊥，垂足为D ，ABC ∠就是斜线AC 与底面B