一元二次函数最值教案

二次函数最值

内容讲解： 二次函数的最值问题，包括三方面的内容： 自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值

b24ac?b2b的求法．二次函数y=ax+bx+c=a（x+）+．当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-时，

2a2a4a2

bb4ac?b2y随x增大而减小；当x>-时，y随x?增大而增大；当x=-时，y取最小值．当a<0时，

2a2a4a抛物线开口向下，此时当x<-

bbb时，y随x增大而增大；当x>-时，y随x增大而减小；当x=-时，

2a2a2a4ac?b2y取最大值．

4a 2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，?要结合图象和增减性来综合考虑． （1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值； （2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．

3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先建模后求解． 例题剖析

例1 （2003年武汉选拔赛试题）若x-1= （A）3 （B）

y?1z?2?，则x2+y2+z2可取得的最小值为（ ）． 23599 （C） （D）6

214y?1z?2? 分析：设x-1==t，则x2+y2+

求二次函数的最值

教学目标： 1.知识与技能：

（1）掌握运用分类讨论和数形结合思想求二次函数的最值。 （2）会利用转化化归思想求解含参数二次函数的最值。 2.过程与方法：

（1）经历由轴定区间定到轴定区间动的类比推理，培养学生类比推理能力。

（2）结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解二次函数的最值问题，提高学生的综合能力。 3.情感、态度与价值观：

（1）有机地渗透数形结合、化归等数学思想方法，培养学生良好的思维习惯。

（2）了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。 教学重点：运用分类讨论和数形结合思想求二次函数最值 教学难点：求解含参数的二次函数最值 教学过程： 【考纲考情】

二次函数在高考中占有重要的地位，尤其利用二次函数处理最值问题在历年高考中都有不同程度的考查，因此在学习中应给予足够重视。本节课我们主要研究如何借助二次函数的图像和性质求最值。

【知识梳理】

二次函数的图像与性质 2y?ax?bx?c(a?0) （1）

y

对称轴x??b 2ab4ac?b2) 顶点坐标(?,2a4a 在????,??b??上单调递减， 2a?o x 在???b?,???上单调递增。 ?2a?y

求二次函数的最值

教学目标： 1.知识与技能：

（1）掌握运用分类讨论和数形结合思想求二次函数的最值。 （2）会利用转化化归思想求解含参数二次函数的最值。 2.过程与方法：

（1）经历由轴定区间定到轴定区间动的类比推理，培养学生类比推理能力。

（2）结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解二次函数的最值问题，提高学生的综合能力。 3.情感、态度与价值观：

（1）有机地渗透数形结合、化归等数学思想方法，培养学生良好的思维习惯。

（2）了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。 教学重点：运用分类讨论和数形结合思想求二次函数最值 教学难点：求解含参数的二次函数最值 教学过程： 【考纲考情】

二次函数在高考中占有重要的地位，尤其利用二次函数处理最值问题在历年高考中都有不同程度的考查，因此在学习中应给予足够重视。本节课我们主要研究如何借助二次函数的图像和性质求最值。

【知识梳理】

二次函数的图像与性质 2y?ax?bx?c(a?0) （1）

y

对称轴x??b 2ab4ac?b2) 顶点坐标(?,2a4a 在????,??b??上单调递减， 2a?o x 在???b?,???上单调递增。 ?2a?y

课题：2.5.2二次函数与一元二次方程

教学目标：

1．复习巩固用函数y＝ax+bx+c的图象求方程ax+bx+c＝0的解．

222．让学生体验一元二次方程ax+bx+c =h的根就是二次函数y=ax+bx+c 与直线y=h（h是

2实数）图象交点的横坐标的探索过程，掌握用图象交点的方法求一元二次方程ax+bx+c =h的近似根．

3．利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想. 教学重点与难点：

重点：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程. 难点：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根并且估算. 教学过程：

一、复习回顾，开辟道路

二次函数y=ax+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax+bx+c=0的根有什么关系?

2

2

22

1．若方程ax+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交点坐标是 .

2．抛物线y=0.5x-x+3与x轴的交点情况是（ ）

A、两个交点 B、一个交点 C、没有交点 D

..

二次函数的最值问题

二次函数y ax2bx c ( a 0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基

础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当a0 时，

函数在 x b处取得最小值4ac b2，无最大值；当 a0时，函数在 x b

处取得

2a4a2a 4ac b2

，无最小值．

最大值

4a

本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．

二次函数求最值（一般范围类）

例 1．当 2 x 2时，求函数

y x22x 3 的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．

解：作出函数的图象．当x 1时，

y min4，当 x 2 时，y max5．

例 2．当1 x 2时，求函数yx2x 1 的最大值和最小值．

解：作出函数的图象．当 x 1时，y min 1 ，当x 2时， y max5 ．

由上述两例可以看到，二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高

二次函数最值问题 专题 第 4 讲

一、兴趣导入（Topic-in）: 二、学前测试(Testing):

重点梳理： 1、二次函数一般形式为：y?ax2?bx?c (a?0) 顶点式为： 。 2、结合二次函数y?ax2?bx?c (a?0)的图像可知： 当x满足 时，y随着x的增大而增大； 当x满足 时，y随着x的增大而减小。

3、数形结合讨论最值问题， 1）在X取任意实数时有： ?当a?0时，图像开口 ，函数在x?处取得最小值为，无最大值；

?当a?0时，图像开口 ，函数在x?处取得最大值为，无最小值．

2）函数中m?x?n时有： ?当a?0时，数形结合分类讨论函数的最值问题： 1）当m??

最大值为 。 2）当?

最大值为 。 3）当n??

最大值为

一元二次函数综合练习题

1、二次函数y ax2

bx c(a 0)的图象如图所示，对称轴是直线x 1，则下列四个结论错误．．的是A．c 0 B．2a b 0 C．b2 4ac 0 D．a b c 0

2、已知二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，有以下结论：①a b c 0；②a b c 1；③

abc 0；④4a 2b c 0；⑤c a 1其中所有正确结论的序号是（ ）

A．①② B． ①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤

第2题 第3题 第4题

3、二次函数y ax2

bx c(a 0)的图象如图，下列判断错误的是（ ） A．a 0

B．b 0 C．c 0

D．b2 4ac 0

4、二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（ ） A．a＜0 B．c＞0 C．b2 4ac＞0 D．a b c＞0

5、某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高

与水平的距离

，则该运动员的成绩是( )

A. 6m B. 10m C. 8m D. 12m

《<二次函数与一元二次方程>第一课时》说课稿

付家堰中小学 刘家付

各位领导、专家：

大家好！我今天的说课内容是人教版九年级上册第22章第二节《二次函数与一元二次方程》的第一课时的教学内容，现就我对本节课的教学安排和教学思路向各位领导和专家汇报如下： 一、教材分析

本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。 二、学情分析

1、知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系，因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。

2、学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想。

3、心理上，老师应抓住一元二次方程的求解方法很多，在学习了因式分解法、配方法、求根公式法等的基

北京市西城区(南区)2011——2012

1． 抛物线y＝－2x2－x＋1的顶点在第_____象限( )

A．一 B．二 C．三 D．四 2． 如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( )

A．6 B．8 C．10 D．

12

2

4． 用配方法解方程x 2x 5 0时，原方程应变形为

A．(x 1)2 6 B．(x 2)2 9 C．(x 1)2 6 D．(x 2)2 9 6． 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为

x，则下面所列方程中正确的是( ) A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289 C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289

7． 如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴

影部分的面积为( ) A．17 B．32

D．80

8． 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x的图象

被⊙P的弦AB的长为a的值是 A．

B．2

C．

D．212．二次函数y ax2 bx c的图象的一部分如图所

北京市西城区(南区)2011——2012

1． 抛物线y＝－2x2－x＋1的顶点在第_____象限( )

A．一 B．二 C．三 D．四 2． 如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( )

A．6 B．8 C．10 D．

12

2

4． 用配方法解方程x 2x 5 0时，原方程应变形为

A．(x 1)2 6 B．(x 2)2 9 C．(x 1)2 6 D．(x 2)2 9 6． 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为

x，则下面所列方程中正确的是( ) A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289 C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289

7． 如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴

影部分的面积为( ) A．17 B．32

D．80

8． 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x的图象

被⊙P的弦AB的长为a的值是 A．

B．2

C．

D．212．二次函数y ax2 bx c的图象的一部分如图所