行列式的发展史及应用

行列式发展历史

我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。

行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。

行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。

1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。

1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer，1704～1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730～1783) 将确定行列式每一项符号的方法

第一章 行列式

行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。

§1.1 n阶行列式定义和性质

1.二阶行列式

定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）

a11a21a12?a11a22?a12a21 a22称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数aij称为行列式的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标, 表明该元素位于第

2j列.位于第i行第j列的元素称为行列式的(i,j)元。2阶行列式由2个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!?2项，且正负项的各数相同。

应用：解线性方程

例1：二阶线性方程组

?a11x1?a12x2?b1??a21x1?a22x2?b2 且a11a22?a12a21?0. 解：D?

a11a21a11a12a22b1D1,D?a11a22?a12a21，D1??a11b2?b1a21

x2?D2. Db1b2a12a22?b1a22?a12b2，

D2

行列式发展历史

我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。

行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。

行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。

1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。

1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer，1704～1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖 (E.Bezout,1730～1783) 将确定行列式每一项符号的方法

矩阵

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。

英国数学家凯莱,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转

范德蒙德行列式的几点应用

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用

我们知道，n阶范德蒙德行列式

1x1

Vn

1x2

1xn

x12 x1n 1

2n 1x2 x2

1≤j i≤n

x x ，

i

j

2n 1xn xn

当这些xi两两互异时，Vn 0．这个事实有助于我们理解不少结果．

例1 证明一个n次多项式之多有n个互异根．

证 设f x a0 a1x a2x anx有n 1个互异的零点x1,x2, ,xn 1，则有

2

n

f xi a0 a1xi a2xi2 anxin 0，1 ≤ i ≤ n 1．

即

a0 x1a1 x12a2 x1nan 0,

2n

a0 x2a2 x2a2 x2an 0,

a xa x2a xna 0.

n 1n 0n 1nn 12

这个关于a0,a1, ,an的齐次线性方程组的系数行列式

x1x2

x12

2

x2

x1n

nx2

1≤j i≤n 1

x x 0，

i

j

xn 1

2nxn xn 1 1

因此a0 a1 a2 an 0．这个矛盾表明f x 至多有n个互异根．

例2 设a1,a2, ,an是n个两两互异的数．证明对任意n个数b1,b2, ,bn，存在惟一的次数小于n的多项式L x ：

L x bi

i 1

j i

n

x a

范德蒙行列式及其应用

摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.

关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换 一．

范德蒙行列式定义及性质

1.范德蒙行列式的定义

定义1 关于变元x1,x2?xn的n阶行列式

1x1Dn?x121x2x2?x2n?12?????1xnxn?xnn?12 (1)

?x1n?1叫做x1，x2?xn的n阶范德蒙行列式，记作Vn（x1,x2,…xn）. 2.我们用定理证明范德蒙德行列式

已知在错误！未找到引用源。级行列式

中，第错误！未找到引用源。行（或第错误！未找到引用源。列）的元素除错误！未找到引用源。外都是零，那么这个行列式等于错误！未找到引用源。与它的代数余子式错误！未找到引用源。的乘积错误！未找到引用源。 ，在

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的错误！未找到引用源。倍得

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

根据上述定理

错误！未找到引用

我们知道，n阶范德蒙德行列式

1x11x2Vn???1xnx12?x1n?12n?1x2?x2???xi?xj?，

??1≤j?i≤n2n?1xn?xn当这些xi两两互异时，Vn?0．这个事实有助于我们理解不少结果．

例1 证明一个n次多项式之多有n个互异根．

证 设f?x??a0?a1x?a2x2???anxn有n?1个互异的零点x1,x2,?,xn?1，则有

f?xi??a0?a1xi?a2xi2???anxin?0，1 ≤ i ≤ n?1．

即

?a0?x1a1?x12a2???x1nan?0,?2n?a0?x2a2?x2a2???x2an?0, ? ???a?xa?x2a???xna?0.n?1n?0n?1nn?12这个关于a0,a1,?,an的齐次线性方程组的系数行列式

11?x1x2?x122x2???x1nnx2???xi?xj??0， ?1≤j?i≤n?11xn?12nxn?xn?1?1因此a0?a1?a2???an?0．这个矛盾表明f?x?至多有n个互异根．

例2 设a1,a2,?,an是n个两两互异的数．证明对任意n个数b1,b2,?,bn，存在惟一的次数小于n的多项式L?x?：

第一章 行列式试题及答案

一 选择题 (每小题3分，共30分)

⑴ n元排列 i1 i2… in经过相邻对换，变为in … i2 i1，则相邻对换的次数为( )

(A) n (B) n/2 (C) 2n

(D) n(n-1)/2

2x1?1⑵ 在函数f?x???2x?x4x中，x3的系数是( )

12x (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4

⑶ 若Dn=det(aij)=1，则det(－aij) = ( )

(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n

(D) (-1)

n(n-1)/2

?1?1⑷ 设

?2???2?，则n不可取下面的值是( )

?n?n(A)7 (B) 2k

+1(k2) (C) 2k

(k

2) (D) 17

⑸ 下列行列式等于零的是( )

3210030?103?16(A)?321 (B) 0?10 (C) 300 (D) 224

001130001162⑹ 行列式D非零的充分条件是( ) (A) D的所有元素非零 (B) D至少有n个元素非零 (C) D的任何两行元素不成比例

(D)以D为系数矩阵的非齐次线性方程组

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、 几类特殊行列式

1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式

a11a21anna12a220n(n?1)2a1n00000?0an1an100an?1,2an20a2,n?1a1na2n?000an10a2,n?100a1n00 0an?1,n?1an?1,nan,n?1ann?(?1)a1na2,n?13. 分块行列式（教材P14例10）

一般化结果：

An0m?n0n?mBmCn?mBmAnCm?n??AnCm?nAn0n?mBm?An?Bm

Cn?mBm0m?n?(?1)mnAn?Bm

4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】

1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、 几类特殊行列式

1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式

a11a21?ann?(?1)a12?a1na22??0n(n?1)20000?an2????0a2,n?1?an,n?1a1na2n?an?1,nann?000??000a1n00 0?0???00an10?a2,n?1an?1,2?an?1,n?1an1?a1na2,n?1?an13. 分块行列式（教材P14例10）

一般化结果：

An0m?n0n?mBmAnCm?nCn?mBm??AnCm?nAn0m?n0n?mBm?An?Bm

Cn?mBm?(?1)mnAn?Bm

4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】

1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

——适用于