空间几何平行垂直定理

空间几何平行与垂直证明 线面平行

方法一：中点模型法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形， E为PC的中点. 求证：PA//平面BDE P D A

练习：

1.三棱锥P_ABC中，PA?AB?AC，?BAC?120?，PA?平面ABC， 点E、F 分别为线段PC、BC的中点，

（1）判断PB与平面AEF的位置关系并说明理由； （2）求直线PF与平面PAC所成角的正弦值。 B

ECBPEAFC2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD.DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.

(1)证明：PA∥平面BDE； (2)证明：AC⊥平面PBD.

3.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为

A AB,BC,CD,DA的中点.

求证：AC//平面EFG. HE

DG

B FC

4.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点. 求证：EF //平面BGH. A

H E

D G BF

方法二：平行四边形法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，E为P

空间几何平行垂直证明专题训练

? 知识点讲解

一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明

1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质

3) 利用空间平行线的传递性:m//a,m//b?a//b

平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

a∥?a??β

a b

?a∥bα

????b5）利用平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

6）利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

a?? b???a∥b7）利用平面内直线与直线垂直的性质：

a?//???????a??a//b????b??b?在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点

（二）直线与平面平行的证明

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1) 利用直线与平

空间直线

1. 空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面. 2. 公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行. 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.

3．异面直线所成的角

直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．

4．异面直线的距离

和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离． [要点内容]

1．空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面。相交直线和平行直线都是共面直线，异面直线是立体图形。

2．空间两直线的位置关系分类

从有无公共点的角度看，可分为两类：

（1）两条直线有且仅有一个公共点—相交直线；

3．异面直线概念的理解 “不同在

平行与垂直

执教:福建省泉州师范附小 谢玉娓 点评：泉州市普教室 特级教师 卓和平

教学内容: 人教版九年义务教育六年制小学数学第8册第130—134页。(重组教材） 教学目标:

1.让学生结合生活情境,通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。 2.通过讨论交流，培养学生比较、分析、综合的思维能力和合作精神。

3.在对平行与垂直的认识活动中渗透分类的数学思想方法。

4.培养学生学以致用的习惯，体会数学的应用与美感，激发学生学习数学的兴趣，增强自信心。

教学重、难点：通过学生的自主探究活动，初步认识平行线与垂线。

教具准备:多媒体课件、铅笔、小棒、展示板、三角板、直尺、手工纸、挂图等。

[设计理念：本节课以人教版的教材内容为依托，以《数学课程标准》的新理念为指导，遵循学生的认知规律，力求创造性地使用教材。在课堂教学设计和实施中力求体现：1、注意创设生活情境，使数学学习更贴近学生；2、让学生通过动手实践、自主探索与合作交流的学习方式，自主完成对知识的建构；3、努力创设新型的师生关系，让课堂焕发生命活力；4、注重发挥评价的激励性作用，丰富学生的情感体验。]

教学过程:

一、创设情境，引入新课

师：今天，谢老师想向大家介绍一个新

平行与垂直

执教:福建省泉州师范附小 谢玉娓 点评：泉州市普教室 特级教师 卓和平

教学内容: 人教版九年义务教育六年制小学数学第8册第130—134页。(重组教材） 教学目标:

1.让学生结合生活情境,通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。 2.通过讨论交流，培养学生比较、分析、综合的思维能力和合作精神。

3.在对平行与垂直的认识活动中渗透分类的数学思想方法。

4.培养学生学以致用的习惯，体会数学的应用与美感，激发学生学习数学的兴趣，增强自信心。

教学重、难点：通过学生的自主探究活动，初步认识平行线与垂线。

教具准备:多媒体课件、铅笔、小棒、展示板、三角板、直尺、手工纸、挂图等。

[设计理念：本节课以人教版的教材内容为依托，以《数学课程标准》的新理念为指导，遵循学生的认知规律，力求创造性地使用教材。在课堂教学设计和实施中力求体现：1、注意创设生活情境，使数学学习更贴近学生；2、让学生通过动手实践、自主探索与合作交流的学习方式，自主完成对知识的建构；3、努力创设新型的师生关系，让课堂焕发生命活力；4、注重发挥评价的激励性作用，丰富学生的情感体验。]

教学过程:

一、创设情境，引入新课

师：今天，谢老师想向大家介绍一个新

平行与垂直习题

一、判断题

1．从直线外一点到这条直线所画的线段中，以和这条直线垂直的线段为最短。 1．过直线上或直线外一点，画一条直线与已知的直线垂直。

( )

2．两条平行线间所作的所有垂线相等。 ( )

二、选择题

1．两条直线互相垂直，可以组成几个直角，正确的是：[ ] A．2 B．1 C．4

2．过直线外一点，画已知直线的垂线，这样的垂线可以画 [ ] A．1条 B．2条 C．无数条

3．下面图中有几组垂线？正确的是： [ ] A．6组 B．10组 C．12组

三、填空题

1．从直线外一点画一条已知直线的垂线，可以画( )条。 2．两条直线相交成直角时，这两条直线叫做( )。 3．课桌面相邻的两条边是互相( )的。

4．( )叫做互相垂直，( )垂线，( )垂足。

5．过直线外一点画这条直线的垂线，这样的直线可以画( )条。

6．两条直线相交能组成（ ）个角．如果相交成直角时，这两条直线叫做（

四、作图题

2．过直线上或直线外一点，画一条直线与已知的直线垂直。

3．过直线外一点或过直线上一点画一条和这条直线垂直的直线。

4．过直线上或直线外一点，

《垂直与平行》说课稿

上海小学 谭芙蓉

一、说教材。 １、教材分析：

《垂直与平行》是人教版义务教育课程标准实验教科书四年级上册第四单元第一课时的教学内容。它是在学生认识了直线、线段、射线的性质、学习了角及角的度量等知识的基础上学习的。本课是本单元的第一课时，主要解决平行和垂直的概念问题，在“空间与图形”的领域中，垂直与平行是学生以后认识平行四边形、梯形以及长方体、正方体等几何形体的基础，也为培养学生空间观念提供了一个很好的载体。

“垂直” 和“平行”的现象在生活中经常看到，但是从实物抽象到同一平面，并理解其中的含义，对于空间观念尚不完善的四年级的学生来说，是比较困难的。另外要了解两条直线的相互关系，是思维层次的一次提高，在教学过程中，需要帮助学生建立表象，培养空间的想象能力。基于以上的认识，我制定了本课的教学目标： ２、教学目标：

（１）知识：引导学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，初步认识垂线和平行线。

（２）技能：培养学生亲自动手操作，合作探究新知的能力；培养空间观念和空间想象能力。

（３）情感：使学生进一步认识和体会学习数学的乐趣和数学的重要作用，感受数学与生活的密

星火教育学生个性化辅导授课案

填写时间 2014年 月 日 教 学生姓名 师 年高一 学科 数学 上课时间 2014年 月 日 级 阶基础（ √） 提高（ ） 强化（ ） 课时计划 第（ ）次课 共（ 2 ）次课 段 教 学 目标 教学 难点 知识梳理 集合的语言 我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A在直线l上，记作：A?l；点A不在直线l上，记作A?l； 点A在平面?内，记作：A??；点A不在平面?内，记作A??； 教 学 过 程 直线l在平面?内（即直线上每一个点都在平面?内），记作l??； 直线l不在平面?内（即直线上存在不在平面?内的点），记作l??； 直线l和m相交于点A，记作lm?{A}，简记为lm?A； 平面?与平面?相交于直线a，记作? ??a． 平面的三个公理 ⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所 有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图： 1

星火教育学生个性化辅导授课案

高中数学立体几何平行与垂直练习题

立体几何-平行与垂直练习题

1. 空间四边形SABC中，SO 平面ABC，O为 ABC的垂心， 求证：（1）AB 平面SOC（2）平面SOC 平面SAB

A

C

2. 如图所示，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，E，M分别为BB1，A1C的中点，求证： （1） EM 平面A A1C1C; （2）平面A1EC 平面AA1C1C；

A

C

M

B

E

A1

B1

C1

3. 如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,BE=BC,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,G为

AC与BD的交点.(1)求证:AE⊥平面BCE.(2)求证:AE∥平面BFD.

4. 设P,Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D,面A1B1C1D1的中心,如图, （1）证明PQ∥平面AA1B1B

；（2）求线段PQ的长.

高中数学立体几何平行与垂直练习题

5. 如图,在四棱锥P-ABCD中，AB//DC，AB AD，BC 5，DC 3，PD 面ABCD，

（Ⅰ）当主视图方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥AD 4， PAD 60．

P ABCD的三视图.(要求标出尺寸);（Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM//面PBC．

6. 已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠

课题：平行与垂直

教学内容：教科书第56、57页例1及相关内容。

教学目标：

1.通过自主探究活动，理解平行与垂直这两种特殊的直线间的位置关系，初步认识平行线和垂线。

2.通过观察、操作、讨论、归纳等活动，积累操作和思考的活动经验，发展学生的空间观念，初步渗透分类的数学思想。

3.在他人的鼓励和引导下，体验克服困难、解决问题的过程，初步养成乐于思考、言必有据的良好品质。

教学重点：正确理解相交、互相平行、互相垂直的概念。

教学难点：理解平行与垂直概念的本质特征。

教学过程：

课前谈话

师：同学们谁能用我们学过的方位词来描述A同学和B同学的位置关系？

生：A同学在B同学的某方向。

追问：那么B同学在A同学的哪个方向呢？

师：我们再来看看讲台上的粉笔盒和黑板擦又存在着什么位置关系呢？

师：可见，在我们生活中，任何两件物品都存在某种位置关系。

师：在数学中，关于两个物体位置关系的研究同样很重要（板书位置关系）。

开始上课

（一）提出问题

师：同学们前面我们已经学习了直线，谁能说说直线有哪些特征？

生：直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的。

评价：你回答的真完整。给你们组在思考和倾听这两项分别加上1分。

师：今天这节课我们要来研究两条直线的位置关系（板书两条直线）。让我们