初中数学辅导

2014年4月18日星期五

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它 与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方 程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要 的基本技能.

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的 提取公因式法和公式法 ( 平方差公式和完全平方公 式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相 乘法、分组分解法、配方法、拆(添)项法等等.

2014年4月18日星期五

一、公式法(立方和、立方差公式)

a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ) a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 )

两个数的立方和 ( 差 ) ,等于这两个数的和 (差 )乘 以它们的平方和与它们积的差(和).【例1】因式分解：(1) 8 x 3 (2) 0.125 27b 3 解 : (1) 8 x 3 23 x 3 ( 2 x )( 4 2 x x 2 ).

( 2) 0.125 27b3 0.53 (3b)3 (0.5 3b)[0.52 0.5 3b (3b)2 ] (0.5 3b)(0.25 1.5b 9b 2 ).

20

..

初中数学竞赛辅导讲义（初三）

第一讲 分式的运算

[知识点击]

1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。

[例题选讲]

111 + + 222x?3x?2x?5x?6x?7x?12111解：原式= + +

(x?1)(x?2)(x?2)(x?3)(x?3)(x?4)111111= - + - + - x?1x?2x?2x?3x?3x?43 =

(x?1)(x?4)x?y?z(x?y)(y?z)(z?x)x?y?z?x?y?z例2． 已知 = = ，且xyz?0，求分式的值。

yxyzzx例1．化简

..

.. ?x?y?kz(1)x?zx?yy?z?解：易知： = = =ｋ 则?x?z?ky(2) （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0

yzx?y?z?kx(3)?若ｋ=2则原式= k = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k =

初中数学竞赛辅导资料20

第二十课乘法公式的应用

例1计算： （1）（1+2）（1+22）（1+24）…（1+232）+1；（2）（19924+19923+19922+1993）×1991+1 解：（1）原式=（1+2）（1+22）（1+24）…（1+232）×（1-2）÷（1-2）+1

=-（1+22）（1+23）（1+24）…（1+232）+1… …=1-+264+1=264

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（2）设x=1992，原式=（x+x+x+x+1）（x-1）+1=x=1992。

例2（1988年上海市初中数学竞赛试题）已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2。 解1：由x3+y3=（x+y）3-3xy×10，?xy=30。x2+y2=（x+y）2-2xy=102-2×30=40 解2：由x+y=10，得x2+2xy +y2=100，……①由x3+y3=100，得x2+y2- xy=10……②

①-②，得3xy=90，?xy=30，∴x2+y2=10+xy=40

想一想 例2的两个分析，哪个用的是分析法，哪个用的是综合法。

例3设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2，n=c2+d2。试将mn表示成两个整数的平方和的形式。

解：mn=（a

浅析初中数学“学困生”的心理辅导

我校地处城郊结合部，生源较为复杂，学生初中阶段数学成绩分化现象较为突出，并出现较多的学困生，到初二、初三尤为严重，学困生约占20%以上，经过调查，在许多农村学校，比例还要高于这个数字。这些学生学习基础差，他们对学习失去信心对前途感到暗淡。如何进行心理辅导，激发他们的学习动机，帮助他们克服消极心理，提高学习积极性主动性，进而提高数学学科成绩，是一个重要课题，本文将在这些方面，作些粗浅的探讨，以期抛砖引玉。

一、对“学困生”的界定

数学“学困生”是指那些感官和智力正常，但数学学习成绩低于其智力的潜能期望水平，远未达到教学目标的要求的那部分学生。

数学“学困生”是一个相对性的概念，数学“学困生”身上的欠缺、不足，就其实质而言，是由于在认知方面（如记忆、理解、思维等）、情绪方面（如师生关系、同伴关系等）存在一定的障碍而形成的，具有过渡性、不确定性、暂时性。

二、初中“学困生”的类型和特点

1、 智力型学困生

这部分学生智力迟钝、智商偏低。在思维活动中，神经系统的灵活性、深刻性、广阔性和敏捷性可以影响观察、分析、比较、概括、综合等心理活动的进行速度。他们的观察肤浅、抽象概括能力差、记忆力差、注意力不稳定、理解缓慢、表述混乱，对知识

浅析初中数学“学困生”的心理辅导

我校地处城郊结合部，生源较为复杂，学生初中阶段数学成绩分化现象较为突出，并出现较多的学困生，到初二、初三尤为严重，学困生约占20%以上，经过调查，在许多农村学校，比例还要高于这个数字。这些学生学习基础差，他们对学习失去信心对前途感到暗淡。如何进行心理辅导，激发他们的学习动机，帮助他们克服消极心理，提高学习积极性主动性，进而提高数学学科成绩，是一个重要课题，本文将在这些方面，作些粗浅的探讨，以期抛砖引玉。

一、对“学困生”的界定

数学“学困生”是指那些感官和智力正常，但数学学习成绩低于其智力的潜能期望水平，远未达到教学目标的要求的那部分学生。

数学“学困生”是一个相对性的概念，数学“学困生”身上的欠缺、不足，就其实质而言，是由于在认知方面（如记忆、理解、思维等）、情绪方面（如师生关系、同伴关系等）存在一定的障碍而形成的，具有过渡性、不确定性、暂时性。

二、初中“学困生”的类型和特点

1、 智力型学困生

这部分学生智力迟钝、智商偏低。在思维活动中，神经系统的灵活性、深刻性、广阔性和敏捷性可以影响观察、分析、比较、概括、综合等心理活动的进行速度。他们的观察肤浅、抽象概括能力差、记忆力差、注意力不稳定、理解缓慢、表述混乱，对知识

试卷教案

初中数学培优辅导资料（4）

零的特性

甲内容提要

一，零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数，是整数，是偶数。

1， 零是表示具有相反意义的量的基准数。

例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高

收支衡可记作结存0元。 2， 零是判定正、负数的界限。

若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a＞0 记作 a＞0 ? a是正数 读作a＞0等价于a是正数 b<0 ? b 是负数

c≥0 ? c是非负数（即c不是负数，而是正数或0） d?0 ? d是非正数 (即d不是正数，而是负数或0) e?0 ? e不是0 （即e不是0，而是负数或正数） 3， 在一切非负数中有一个最小值是0。

例如 绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。 记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，

a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。

4， 在一切非正数中有一个最大值是0。

例如 －|X|≤0，当X＝0时，－|X|值最大，是0，（∵X≠0时都是负数）， －（X－2）2?0，当X＝2时，－（X－2）2的值最大，是0。 二，零具有独特的运算性质

1， 乘方：零的正整数次幂都是零。

本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 全国初中（初二）数学竞赛辅导

第十五讲 相似三角形(一)

两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形．对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比为1的两个相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处．因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法．当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用．

关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述．本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用．

例1 如图2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．

分析 由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求EF． 解 在△ABC中，因为EF∥AB，所以

同样，在△DBC中有

①＋②得

设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得

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初中数学专项训练：一次函数（五）

一、选择题

1．一列货运火车从郑州站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，那么可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）

A． B． C． 2．若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为 A．? B．－2 C．D．

1 D．2新 课 标 第 一 网 212

3．给出下列命题及函数y=x，y=x和y= x1①如果>a>a2，那么0＜a＜1；

a1②如果a2>a>，那么a＞1；

a1③如果>a2>a，那么－1＜a＜0；

a1④如果a2>>a时，那么a＜－1．

a则

12

A．正确的命题是①④ B．错误的命题是②③④ C．正确的命题是①② D．错误的命题只有③

4．一条直线y=kx+b，其中k+b=﹣5、kb=6，那么该直线经过 A．第二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、三、四象限

5．梅凯种子公

2018年初中数学竞赛辅导专题讲义

第16章几何变换

§16.1对称和平移

16．1．1★设M是边长为2的正三角形ABC的边AB的中点．P是边BC上的任意一点，求PA?PM的最小值．

CPM'A'AMB

解析作正三角形ABC关于BC的对称图形△A?BC．M?是M的对称点，故M是A?B的中 点．PM?PM?，如图所示，则 PA?PM?PA?PM?≥AM?.

连结CM?，易知?ACM??90?，所以AM??AC2?CM?2?4?3?7． 所以，PA?PM的最小值是7．

16．1．2★★已知△ABC中，?A?60?．试在△ABC的边AB、AC上分别找出一点P、Q，使BQ?QP?PC最小．

解析作B关于直线AC的对称点B?，C关于直线AB的对称点C?，连B?C?与AB、AC分别交于点P、Q，则P、Q即为所求，如图所示．

CPM'A'AMB

事实上，对于AB、AC上的任意点P?，Q?， BQ??Q?P??P?C?B?Q??Q?P??P?C? ≥B?C??B?Q?QP?PC? ?BQ?QP?PC．

评注因为?A?60?，所以所作线段B?C?必与线段AB、AC相交．

16．1．3★★求证：直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上高的两倍．

解析如图所示，设

初中数学竞赛辅导资料（19）

因式分解

甲内容提要 和例题

我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法

1． 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x4+x2+1 ②a3+b3+c3－3abc

①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式

解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x) ②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2 解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)

例2因式分解：①x3－11x+20 ② a5+a+1

① 分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数）

② 解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－1