二维正态分布的随机变量X+Y方差为

第三节 二维随机变量函数的分布

在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示这个人的血压，并且已知Z与X，Y的函数关系式

Z?g(X,Y), 现希望通过(X,Y)的分布来确定Z的分布. 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.

在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: (i) Z?X?Y;

(ii) Z?max{X,Y}和Z?min{X,Y}，其中X与Y相互独立.

注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到n个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.

内容分布图示

★ 引言

★ 离散型随机向量的函数的分布

★ 例1 ★ 例2

★ 连续型随机向量的函数的分布 ★ 连续型随机向量函数的联合概率密度 ★ 和的分布 ★ 例6 ★ 正态随机变量的线性组合

★ 例8 ★ 例9 ★ 商的分布 ★ 例11 ★ 积的分布 ★ 最大、最小

2012届安吉高级中学高三数学（理）计数原理与概率统计复习导学案（主备人：鲍利人 ）

10．8 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

班级 姓名

一、学习目标：

1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 二、学习建议：

1．把握基本题型； 2．强化方法选择．

三、自主预习：（请用7分钟左右的时间完成，如若困难可先解决知识链接再解题） 1．某学习小组的一次数学考试成绩为： 分 数 频 数 频 率 分数×频率 95 2 96 4 97 3 98 1 填写表格的三、四两行，并求出①该学习小组这次考试的平均分；②表格的第四行的4个数据之和。 根据你的结果，解析你的发现。

知识链接1．

1．离散型随机变量的均值与方差的概念

若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn (1)期望：称E(X)＝_____________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离

一、 填空题（每空3分，共计30分）

1. 设X1X2X3相互独立, 其中X1服从[0,6]上的均匀分布, X2服从正态分布N(0,22),X3服从参数为3的泊松分布,记Y?X1?2X2?3X3,则EY= ， DY= 。 2. 已知X服从参数为?`的泊松分布,且E[(X?1)(X?2)]?1, Y?5X?2，则EY= ，

DY? ，?XY? 。

223. 设X~N(0,?1),Y~N(0,?2)且X,Y相互独立, 则?2X??1Y~N(,).那么概率P{0??2X??1Y?2?1?2}= .

4. 设随机变量X,Y的方差D(X)?4,D(Y)?1，相关系数?XY?0.6,则协方差

Cov(X,Y)? ，方差D(3X?2Y) .

二、单项选择：（每题2分，共14分） 1． 下列叙述中错误的是( )

A.联合分布决定边缘分布； B.边缘分布不能决定联合分布； C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同； D.边

微积分 线性代数

微积分 线性代数

一、联合分布列设二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的所有可能取值为 ( xi , y j ) , 二维离散型随机变量 离散型

称

P{ X = xi , Y = yj } = pi j , X Yi , j = 1,2, L

y1

y2 L y j L

为(X,Y)的联合分布列. , ) 联合分布列. 简称分布列 简称分布列. 分布 用三维表表示： 用三维表表示： 表示

x1 x2

p11 p12 L p1 j L p21 p22 L p2 j L

Mxi

M M M M

M M

pi 1 pi 2 L pi j L

M

微积分 线性代数

Y X

y1

y2 L y j L

x1 x2

p11 p12 L p1 j L p21 p22 L p2 j L

Mxi

M M M M

M M

pi 1 pi 2 L pi j L

M

定 理 3.3 联 合 分 布 列 具 有 以 下 性 质 :(1) 非负性(2) 正 则 性

pi j ≥ 0 , i, j = 1,2,L

∑∑ pi j

ij

= 1.

微积分 线性代数

例3.3 设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能 地取一个值, 另一个随机变量Y 在 1 ~ X中等可能 地取一个值 地取一整数值. 地

概率论课件

第三节 二维随机变量条件分布 3.3.1 二维离散型随机变量的条件分布律 3.3.2 二维连续型随机变量的条件分布律

概率论课件

在第一章中， 在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件 发生的条件概率 在事件 发生的条件下事件A发生的条件概率 发生的条件下事件

P(AB) P(A| B) = P(B)推广到随机变量 设有两个r.v 在给定Y取某个或某 设有两个 X,Y , 在给定 取某个或某 些值的条件下， 的概率分布. 些值的条件下，求X的概率分布 的概率分布 这个分布就是条件分布. 这个分布就是条件分布

概率论课件

例如，考虑某大学的全体学生， 例如，考虑某大学的全体学生，从其中随 机抽取一个学生，分别以X和 机抽取一个学生，分别以 和Y 表示其体重和 都是随机变量， 身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定 和 都是随机变量 的概率分布. 的概率分布 身高Y 身高 体重X 体重的分布

身高Y 身高 的分布

体重X 体重

概率论课件

现在若限制1.7

一、单项选择题

1 设离散型随机变量X的概率分布为 X 0 P 0.25 则c?（ ）. A.

1 0.5 2 c 1111 B. C. D. 84322．某学习小组有4名男生2名女生共6个同学，从中任选2人作为学习小组长，设随机变

量X为2人中的女生数，则X的分布列为 （ ） A. X 1 2 B. X 0 1 C. X 0 1 2 D. X 0 1 2 81 28 281 111 P P P P 151551551515333

3．下列各函数可作为随机变量分布函数的是 （ ）

?0x?0??1x??1?0x?0?2x0?x?1??? A.F1(x)?? B.F2(x)??x0?x?1 C.F3(x)??x?1?x?1 D.F4(x)??2x0?x?1

?0其他?1x?1?1?2x?1x?1???4．设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使F(x)?aF1(x)?b

第三章 多维随机变量及其分布

随机向量的定义：

随机试验的样本空间为S={?}，若随机变量X1(?),X2(?),…,Xn(?)定义在S上，则称（X1(?),X2(?),…,Xn(?)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,Xn）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint

2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；

marginal

3．X与Y的相互关系；

4．（X,Y）函数的分布。

§ 3.1 二维随机变量的分布

一．离散型随机变量 1．联合分布律

定义3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(xi,yj), i，j=1,2…,取这些值的概率为

pij=P{(X,Y)=(xi,yi)}=p{X=xi,Y=yi}i,j=1,2,…

概率论

★第一节 随机变量

★第二节 离散型随机变量★第三节 连续型随机变量 ★第四节 随机变量函数的分布

返回

第二章 一维随机变量及其分布

基本要求1.掌握随机变量的概念,熟悉一维离散型和连续型随机变量; 2.会求简单的一维离散型随机变量的分布律; 3.熟记并能应用分布律和分布密度的性质; 4.深刻理解分布函数的定义和性质; 5.在已知分布律或分布密度的条件下,能熟练地求出分布函数和 有关的概率; 6.记住几个常用分布, 熟悉它们的特性.

重 难

点 点

分布律和分布密度. 分布函数的求法 8返回

学时数

第二章 一维随机变量及其分布

第一节 随机变量与分布函数一、一维随机变量的定义定义1 设 { }为随机试验E的样本空间, ( )(或X ( ))是 定义在 上的单值实函数, 如果对任意实数x,{ ( ) x}是 一随机事件, 则称 ( )为随机变量.记为 或X .

例2.1 E为" 抛硬币" , 正面记1, 反面记0, 则

1 ( ) 0

出现正面 出现反面返回

第二章 一维随机变量及其分布

例2.2 各面涂漆的正方体,将每条棱10等分,锯成1000个 小正方体,观察每个小正方体涂漆的面

1-7-2 随机变量分布列、期望、方差

1．在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如下表所示：

学生 数学(x分) 物理(y分) A1 89 87 A2 91 89 A3 93 89 A4 95 92 A5 97 93 (1)根据表中数据，求物理分y对数学分x的回归方程； (2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．

n

?xi－x??yi－y?^^^^^i∑^－＝1附：回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝y－bx，其中x，y为样本平n∑ ?xi－x?2＝

i1

均数．

2．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1,2,3三个问题，每位参赛者按问题1,2,3的顺序做答，竞赛规则如下：

①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1,2,3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；

②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．

311

已知甲同学回答1,2,3三个问题正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相

共21页

11．2 离散型随机变量的期望与方差

高考试题

1．（2005年江苏）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，

9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（D）

A．9.4,0.484 B．9.4,0.016 C．9.5,0.04 D．9.5,0.016 提示：本题考查了统计数据中平均数、方差有关概念、公式及有关计算等：

7个数据中去掉一个最高分和一个最低分后，余下的5个数为：9.4，9.4，9.6，9.4， 9.5，则平均数为：x?s29.4?9.4?9.6?9.4?9.5522?9.46?9.5，即x?9.5，方差为：

2?15[(9.4?9.5)?(9.4?9.5)?????(9.5?9.5)]?0.016，即 s2?0.016，故

选D.

2．（2005年全国卷三）设l为平面上过点（0，1）的直线，l的斜率等可能地取?22,?3，

5252?,0,,3,22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望

Eξ= .

[答案]

47

13提示：原点到过点（0，1）且斜率为?22、2