如何计算抛物线的距离

用物理方法计算抛物线某点处的曲率和曲率半径

对于一般的弧来说，各点处曲率可能不同，但当弧上点A处的曲率不为零时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点A相切（即与弧有公切线），这样的圆就称为弧上A点处的曲率圆。

对于函数图形某点的曲率和曲率半径，在数学上我们需要用到求二阶导数的方法。 今天我想简单说一种有趣的方法，将该问题用物理的思维来解决，无需求导便能够知道抛物线某点处的曲率和曲率半径。这种方法不属于主流方法，因此不能用它代替常规方法。介绍此方法的目的，只是为了让大家对抛物线及抛体运动和圆周运动乃至整个曲线运动本质上的联系有更加深刻的认识。

2

举一个最简单的例子：y=-x，我们作出它的图像

设图像上存在一点A（a，-a），求该点的曲率和曲率半径。

2

我们假设一质点从顶点O开始做平抛运动，恰经过A（a，-a）。

接下来，我们可以算出该点处质点的速度大小：先得到下落时间，接着算出水平速度和

2

竖直速度分量，再合成。质点在该点处速度大小为v=√(g/2+2ag）。

接下来，我们利用角度关系，将A处的加速度（即重力加速度g）沿速度方向和垂直于速度方向分解，如下图：

2

令A点处质点速度方向与水平方向的夹角为θ，可得垂直于速度方向的加速度分量

江夏一中2013届文科数学一轮复习专题讲座

抛物线焦点弦问题

抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下： 一.弦长问题：

2

例1 斜率为1的直线经过抛物线y 4x的焦点，与抛物线相交AB两点，求线段AB的长。

二.通径最短问题：

2

例2：已知抛物线的标准方程为y 2px，直线l过焦点，和抛物线交与A.B两点，求AB的最小值并

求直线方程。

三．两个定值问题：

2

例3：过抛物线y 2px的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为x1、x2、y1、y2，

p22

求证：x1y1 ，y1y2 p。

4

四．一个特殊直角问题：

2

例4：过抛物线y 2px(P 0)的焦点F的直线与抛物线交与A、B两点，若点A、B在抛物线的准

线上的射影分别是A1，B1求证： A1FB1 90。

五．线段AB为定长中点到y轴的最小距离问题

2

例5：定长为3的线段AB的两端点在抛物线y x上移动，设点M为线段AB的中点，求点M到y 轴

的最小距离。

六．一条特殊的平行线

例6：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P、Q,经过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。

七．一个特殊圆

例7：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。

八．

与抛物线有结论

抛物线中有一些常见、常?y?k(x?p?)用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题2??y2?2px?时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

p2结论一：若AB是抛物线y?2px(p?0)的焦点弦（过焦点的弦），且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：x1x2?，

42y1y2??p2。

证明：因为焦点坐标为F(

22pp,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为： y?k(x?)， 222y12y22p4p2由得: ky?2py?kp?0 ∴y1y2??p，x1x2?。 ???2p2p4p24当AB⊥x轴时，直线AB方程为x?p2x1x2?。

4p，则y1?p，y2??p，∴y1y2??p2，同上也有：2例：已知直线AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F，求证：

11?AFBF为定值。

pp，BF?x2?，又22证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由抛物线的定义知：AF?x1?p2。 AF+BF=AB，所以x1+x2=AB-p，且由结论一知：x1x2?4则：1?1?AF?BF?AFBFAF?BFABABAB2 =?（常数） ?222ppppp

选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质

普通高中课程标准实验教材选修( ) 普通高中课程标准实验教材选修(2-1)

抛物线习题课( ) 抛物线习题课(1)

选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质

复习

一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线 平面内与一个定点 和一条定直线l 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 抛物线. 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点 定点 叫做抛物线的焦点 叫做抛物线的焦点. 定直线l 叫做抛物线的准线 准线. 定直线 叫做抛物线的准线N lM

· ·F

即:

MF ︳ ︳ , 则点 M 的轨迹是抛物线。 若 =1 MN ︳ ︳

注意：定点不在定直线上。 注意：定点不在定直线上。

选修2-1 第二章 圆锥曲线 2.4抛物线 2.4.2抛物线的简单几何性质

练习4.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹 4.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹 到定点(3,5)与定直线2x+3y 是( A.圆 A.圆 C.线段 C.线段

D)B.抛物线 B

篇一：抛物线定义及标准方程

一、 复习预习

复习双曲线的基本性质，标准方程以及方程的求法、应用

二、知识讲解

(一)导出课题

我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．

请大家思考两个问题：

问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？

问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．

引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．

(二)抛物线的定义

1．回顾

平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用

抛物线的定义和标准方程

抛物线的定义和标准方程

教学目标：

1、使学生掌握抛物线的定义，开口向右的抛物线的标准方程的推导过程。进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程。

2、熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系；

3、能根据已知条件熟练地求出抛物线的标准方程,进一步培养学生在解决数学问题时进行观察、类比、猜想、分析、计算的能力。 教学重点和难点：

重点：抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。

难点：抛物线的标准方程的推导。 教学过程： 一、复习提问：

1、已知轨迹条件，怎样建立轨迹方程？ （答：已知曲线，求方程的一般步骤如下：

（1）建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； （2）写出曲线上的点M所要适合的条件 ；

（3）用点M的坐标表示这个条件，得出方程f (x,y)=0; （4）把方程f (x,y)=0化简；

（5）证明化简后的方程就是所求的曲线方程。

如果方程化简的每一步都同解，那么最后一步证明可以省略。）

2、在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数e 的点的轨迹， 当e < 1时是什么图形？（椭圆） 当e > 1时是什么图形？

第二章 圆锥曲线与方程

2.4.1 抛物线及其标准方程

生活中存在着各种形式的抛物线

我们对抛物线已有了哪些认识？

二次函数是开口向上或向下的抛物线。y

o

x

问题探究： 当|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么？

探 究 ？

H

M

·

C

·F

l

e=1

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是 曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

抛物线的定义:在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,H

d M

·

C焦 点

·F

准线

l

直线l 叫抛物线的准线

e=1

d 为 M 到 l 的距离

想一想

如果点F在直线l上，满足条件的点的 轨迹是抛物线吗？

注：若F L,则满足到定点F和定直线L的距离相等的点的 轨迹是过点F且垂直于直线L的一条直线.

1.抛物线的定义 距离相等的 平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)_________ 焦点 ，直线l叫做 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的_____ 准线 . 抛物线的_____ 试一试：在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”,点的 轨迹还

抛物线的定义和标准方程

抛物线的定义和标准方程

教学目标：

1、使学生掌握抛物线的定义，开口向右的抛物线的标准方程的推导过程。进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程。

2、熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系；

3、能根据已知条件熟练地求出抛物线的标准方程,进一步培养学生在解决数学问题时进行观察、类比、猜想、分析、计算的能力。 教学重点和难点：

重点：抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。

难点：抛物线的标准方程的推导。 教学过程： 一、复习提问：

1、已知轨迹条件，怎样建立轨迹方程？ （答：已知曲线，求方程的一般步骤如下：

（1）建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任一点M的坐标； （2）写出曲线上的点M所要适合的条件 ；

（3）用点M的坐标表示这个条件，得出方程f (x,y)=0; （4）把方程f (x,y)=0化简；

（5）证明化简后的方程就是所求的曲线方程。

如果方程化简的每一步都同解，那么最后一步证明可以省略。）

2、在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数e 的点的轨迹， 当e < 1时是什么图形？（椭圆） 当e > 1时是什么图形？

关于抛物线焦点弦的弦长公式补充

(1)已知：抛物线的方程为

y2?2px(p?0)，过焦点F的弦AB交抛物线于A B两点，

且弦AB的倾斜角为?，求弦AB的长。 解：由题意可设直线AB的方程为y?k(x?p?)(??)将其代入抛物线方程整理得：

224k2x2?(4pk?8p)x?12pk122?0 ，且k?tan?

?pk?2p，

x2设A,B两点的坐标为(x,y),(x,y) 则：x?x2212k21x2?p42

|AB|?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?2p(sin?)2

当???2时，斜率不存在，sin??1，|AB|=2p.即为通径

而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。

(2)已知：抛物线的方程为

x2?2py(p?0)，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，

直线AB倾斜角为?，求弦AB的长。

解：设A,B的坐标为(故AB的方程为y?x1,y),(x2,y)，斜率为k(k?tan?)，而焦点坐标为(0,)，

12p2p?kx，将其代入抛物线的方程整理得： 22x2?2pkx?p?0,从而x1?x2?2pk,x1x2??p，

22弦长为：|

怎样把握好“人生的抛物线”

本文是关于初中作文的怎样把握好“人生的抛物线”，感谢您的阅读！ “做功不同，人生将给出不同的抛物线。”一位科学家这样说。诚然，一个人的成功与他在人生道路上做的有用功是成正比的。那么，我们该怎样做才能做出更多的有用功呢？有用功的多少决定于两个方面：做功的方向和我们做的总功。因此，在人生的道路上，我们应该找对要努力的方向并且朝着那个方向不断努力。 找对方向是至关重要的，因为如果你向反方向做功，你努力越多结果却是你离目标越来越远。

正确的方向应包含两个方面：其一，要符合人类进步的方向。没人能让人类历史前进的脚步停下，更不可能历史倒退。希特勒领导的纳粹德国的失败；袁世凯复辟的失败都很好的证明了这点。他们的失败告诉我们：努力的方向应与人类历史进步的方向一致。其二，做功的方向应于我们的长处相一致，这样更容易成功。

假若他们都没能发现自己的才能究竟在何处，而是按照他们最初的方向努力，恐怕世界上将不会出现令人惊叹的微软帝国；2004年也不会有令国人振奋的12秒91，2006年也不会有令世界惊叹的12秒88了。可见，找到我所长，朝我们能做好的事情去努力，我们会离成功更近。

方向确定好了以后，接下来惟一我们