空间几何体的表面积与体积公式

空间几何体的表面积与体积 适用学科 适用区域 知 识 点 数学 新课标 几何体的表面积 几何体的体积 几何体的三视图与体积、表面积问题 考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大． 柱、锥、台的表面积和体积的求法。 柱体、锥体和台全的全积，台体与术体和锥体之间的转换关系。 适用年级 高二 课时时长（分钟） 60 考情分析 教学重点 教学难点 教学过程

一、复习预习

教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容

二、知识讲解

考点/易错点1 柱、锥、台和球的侧面积和体积

圆柱 面 积 S侧＝2πrh 体 积 V＝Sh＝πr2h 111V＝3Sh＝3πr2h＝3πr2l2－r2 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l S侧＝Ch 1S侧＝2Ch′[来源:Z。xx。k.Com]圆锥 S侧＝πrl 11V＝3(S上＋S下＋S上S下)h＝32π(r21＋r2＋r1r2)h 直棱柱 正棱锥 正棱台 球 V＝Sh 1V＝3Sh 1V＝3(S上＋S下＋S上S下)h 4V＝3πR3 1S侧＝2(C＋C′)h′ S球面＝4πR2 1 / 13

考点/易错点2 几何体的表面积

(1)棱柱、

教案_空间几何体的表面积和体积_

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

空间几何体的表面积和体积

【学习目标】

1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；

2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；

3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；

4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积.

【要点梳理】

【高清课堂：空间几何体的表面积和体积 395219 空间几何体的表面积】

要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积

棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：

项目

名称

底面侧面

棱柱平面多边形平行四边形面积=底·高

棱锥平面多边形三角形面积=

1

2

·底·高

棱台平面多边形梯形面积=

1

2

·（上底+下底）·高

要点诠释：

求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．

要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积

圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它

简单几何体的表面积与体积的计算

一、四种常见几何体的平面展开图

1.正方体

沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。

图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

2.长方体

沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图6—3就是圆柱的平面展开图。

4.（直）圆锥体

沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见图6—4。

二、四种常见几何体表面积与体积公式

1.长方体

长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）

长方体的体积

xxx学校2012-2013学年度2月月考卷

1.已知三棱锥S?ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上， 球心O在AB上，SO?底面ABC，

AC?2r，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）

Ａ．π Ｂ．2π

Ｃ．3π Ｄ．4π

答案：D

如图，?AB?2r,?ACB?90?,BC?2r,

1111?V三棱锥??SO?S?ABC??r??2r?2r?r3,3323441V球??r3,?V球:V三棱锥??r3:r3?4?.

333

2.已知正方形APP12P3的边长为4，点B,C位边PP12,P2P3的中点，沿AB,BC,CA折叠成

P）一个三棱锥P?ABC（使P，则三棱锥P?ABC的外接球表面积为 1,P2,P3重合于点

A.24? B.12? C.8? D.4?

答案：A

略

3.三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1?底面ABC，其正视图

是边长为2的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为 A．3 B．23 C．22 D．4

答案：B

略

4.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其底面的三个顶点在该球

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图

是什么？如何计算它们的表面积？

③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并

且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r ,r,母线长为I,你

能计算出它的表面积吗？

⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？

活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式

②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和?

③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状

④学生思考圆台的侧面展开图的形状?

⑤提示学生用动态的观点看待这个问题?

讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和?因此，我们可以把它们展成平面图形，利

用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积

②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和

③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求

空间与图形教师辅导讲义——立体图形的知识与应用

知识要点

长方体、正方体、圆柱体、圆锥体的表面积及体积

1．表面积：物体表面面积的总和，叫做物体的表面积。表面积通常用S表示。常用面积单位是平方千米、平方

米、平方分米、平方厘米。 2．体积：物体所占空间的大小，叫做物体的体积。体积通常用V表示。常用体积单位是立方米、立方分米、立方厘米。

3．容积：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，叫做它们的容积或容量。常用容积单位是升、毫升。 4．体积与容积单位之间的换算：1立方分米=l升，1立方厘米=l毫升。 5．体积和容积的异同点 容积的计算方法跟体积的计算方法相同，但要从容器的里面量长、宽、高，而计算体积要从物体的外面量长、

宽、高。计量体积用

第1讲：空间几何体，及其表面积和体积，平面的基本性质

【知识整合】

一、柱、锥、台、球的结构特征 1. 柱体

（1）棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫棱柱。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

（2）圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。

2. 锥体

（1）棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一点时，得到的几何体叫做棱锥。

正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的正射影为底面正多边形的中心。 （2）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

3. 台体

（1）棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。 正棱台：用一个平行于底面的平面去截正棱锥，底面和截面之间的部分叫做正棱台。

（2）圆台：以直角梯形的垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体叫做圆台。

（4）球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体。

二、空间几何体的表面积，体积。 1. 棱柱，棱锥，棱台表面积：

S正棱柱侧?ch????S正棱台侧

'c'?c11'c'?0

第二节 空间几何体的表面积和体积

【考纲下载】

了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 侧面 展开图 侧面积 公式 2．多面体的侧面积和表面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．

3．空间几何体的表面积和体积公式 名称 表面积 体积 几何体 柱体 S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh (棱柱和圆柱) 1锥体 S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 3(棱锥和圆锥) 1V＝(S上＋S下＋ 台体 S表面积＝S侧＋ 3(棱台和圆台) S上＋S下 S上S下)h 4球 S＝4πR2 V＝πR3 3

将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿任意一条母线剪开铺平，分别得到什么图形？ 提示：分别得到矩形、扇形、扇环．

1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 ( ) A．8π B．6π C．4π D．π

解析：选C 设正方体的棱长为a，则a3＝8，即a＝2. 故该正方体的内切球的半径r＝1，

所以该正方体的内切球的表面积S＝4πr2＝4π.

2．直角三角形

空间几何体的三视图、表面积和体积

1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算. 2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.

热点一 三视图与直观图 1．一个物体的三视图的排列规则

俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”． 2．由三视图还原几何体的步骤

一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体．

例1 (1)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )

答案 D

解析 所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧(左)视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的体对角线，在侧(左)视图中体现为矩形的自左下至右上的一条对角线，因不可见，故用虚线表示，由以上分析可知，故选D.

(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________． 答案 2＋2 2

解析 如图，在直观图中，过点A作AE⊥

高考数学大一轮复习 8.1空间几何体的表面积

和体积学案理苏教版

1、了解球、柱、锥、台的表面积及体积的计算公式(不要求记忆)、

2、培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行计算、自主梳理

1、柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝

________V＝____＝________圆锥S侧＝________V＝________＝________＝πr2圆台S侧＝________V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h直棱柱S侧＝____V＝____正棱锥S侧＝________V＝________正棱台S侧＝________V＝(S上＋S下＋)h球S球面＝________V＝________

2、几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是

________________、(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于

________________________________、自我检测

1、一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的对角线长为________、

2、(教材改编)表面积为

3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________、