判断级数敛散性的经典例题

第一章 级数基本概念

1.1 级数的定义

其定义如下：设un?R,n?1,2,3?，记所有无限项加起来的和为

?un?1?n?u1?u2?u3???an??

而?un则称为级数。

n?1?注：数项级数或无穷级数也常简称级数。

1.2 级数的分类

级数的种类繁多，并没有很详细的分类标准，本文考虑从通项的内容来看，主要分成两大类：数项级数和函数项级数。 数项级数：通项没有含有函数的的级数。 等比级数：（又称几何级数）形如

u?uq?uq2?uq3???uq4??

其中q?0 ，称为等比级数。

调和级数：形如

11111???????? 234n称为等比级数。

正项级数：若数项级数的各项的符号都相同，则称为同号级数。对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数——称为正项级数。

交错级数:若级数的各项符号正负相间，即：

u1?u2?u3?u4?????1?n?1un???????un?0,n?1,2,3??

称为交错级数。

2

第一章 级数基本概念

一般项级数：没有以上特点的数项级数。

函数项级数：如果级数的每一项依赖于一个连续变量x，un?un?x?,x在一个区a?x?b上变化，这个级数就成为一个函数项级数，简称函数级数，记为?un。

n?1

摘 要

级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。

基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。

本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。

最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。

关键词 ： 级数 敛散性

无穷级数的敛散性及其应用

摘要：无穷级数贯穿于高等数学的各个分支，是数学分析中的重要组成部分。本文简单讨论了一个级数的敛散性的判别，并会应用其解决问题。着重强调了无穷级数在求极限中以及在数值计算中的近似计算中的应用。 关键词： 级数 敛散 极限 判别 近似计算

The Convergence And Divergence Of Infinite Series And Its

Application

Abstract: Infinite series throughout the higher the various branches of mathematics, mathematical

analysis is an important part in. This paper discusses a series of distinguishing the convergence and divergence, and will apply the solution to the problem. Emphasizes the infinite series in the limit as well as in the

级数敛散性判别方法的归纳

（西北师大）

摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。

关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散

一. 级数收敛的概念和基本性质

给定一个数列｛un｝，形如

u1?u2???un? ①

称为无穷级数(常简称级数),用?un表示。无穷级数①的前n项之和，记为

n?1?sn??un=u?u???u ②

12nn?1n称它为无穷级数的第n个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛s｝收敛于s.则称无穷级数?un收敛，若级数的部分和发散则称级数?vn发

nn?1散。

研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：

定理1 若级数?un和?vn都收敛，则对任意的常数c和d，级数?(cun?dv

第六讲 数项级数的敛散性判别法

§1 柯西判别法及其推广

比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I：设

?u，?vnn?1n?1??n都是正项级数，存在c?0，使

?un?cvn(n?1,2,3,...)

n

（i） 若

?vn?1收敛，则

?un?1?n也收敛；（ii） 若

??un?1?n发散，则

?vn?1?n也发散．

比较原理II（极限形式）设

?u，?vnn?1n?1?n均为正项级数，若

limun?l?(0,??)

n??vn

则

?u、?vnn?1n?1??n同敛散．

根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设

?un?1?n为正项级数，

（i）若从某一项起（即存在N，当n?N时）有nun?q?1（q为常数），

则

?un?1?n收敛；

?（ii）若从某项起，nun?1，则?un发散．

n?1证（i）若当n?N时，有nun?q?1，即un?qn，而级数

?qn?1?n收敛，

根据比较

数学与计算机科学学院毕业论文

毕 业 论 文

论文题目: 数项级数和函数项级数敛散性的判别

学 院:数学与计算机科学学院 专 业:信息与计算科学 年 级:07级 姓 名:唐婷 指导教师:廖莉 职 称:讲师

（ 2011 年 6 月） 宜春学院教务处制

数学与计算机科学学院毕业论文

目 录

毕业设计（论文）任务书.......................................................................................................Ⅰ 毕业设计（论文）开题报告...................................................................................................Ⅱ 资格审查表...............................................................................................................................Ⅲ

无穷限反常积分敛散性及审敛法则

一、教学目标分析

在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。让学生反常积分在一些实际问题中的应运。

二、学情/学习者特征分析

学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。

三、学习内容分析

1.本节的作用和地位

通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。

2．本节主要内容

1. 无穷限反常积分的定义与计算方法 2. 无穷限反常积分的性质 3. 无穷限反常积分的比较审敛法则

4. 条件收敛与绝对收敛

3.重点难点分析

教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则； 教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。

4.课时要求：2课时

四、教学理念

学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节

专题十九

基础知识

常数项级数

?un?1?n?u1?u2???un??的部分和数列{sn}，sn?u1?u2???un。

定义1 若limsn?s，常数项级数

n???un?1?n收敛，且

?un?1??n?s； 若limsn不存在，常数项级

n??数

?un?1?n发散。（常数项级数

?un?1?n是否收敛取决于

?un?1n的部分和数列{sn}是否存在极限）

常数项级数的基本性质： 性质1若级数

?un?1?n、

?vn?1??n收敛，其和分别为u、v，k、l是常数，则级数

?(kun?1?n?lvn)亦收敛，且其和为ku?lv，亦即

?(kun?1n?lvn)?k?un?l?vn?ku?lv

n?1?n?1??推论1若级数

?un?1??n收敛，

??vn?1n?n发散，则

??(kun?1nn?lvn)发散，其中l是不为零的常数。

思考：若级数

?un?1n、

?vn?1发散，级数

??(un?1n?vn)是否一定发散？

性质2（级数收敛的必要条件）级数

?un?1收敛的必要条件是limun?0

n??推论2若limun不存在或limun?0，级数

n??n???un?1?n发散。（常用此推论证明级数发散）

常数项级数

?un?1?n?u1?u2???un??实际上是由

摘 要

本文给出瑕积分收敛性的判断方法，并将其运用到瑕积分的解题之中．判断瑕积分收敛的方法主要有定义法、比较法和柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，被积函数的原函数已知或易求的用定义法；满足狄利克雷判别法条件的函数用狄利克雷判别法；满足阿贝尔判别法条件的函数用阿贝尔判别法；含有正弦、余弦等有界函数或绝对收敛的函数可考虑用比较法来判断.依据两类含参量反常积分可以互化的关系，从含参量无穷限积分的一致收敛的判定定理出发，给出了含参量瑕积分一致收敛性的判定定理及其证明．最后给出了瑕积分计算可简化的两种形式,以便能够更方便更准确的计算出瑕积分的值.

关键词：瑕积分；收敛；含参量瑕积分；含参量无穷限积分；一致收敛

I

Abstract

In this paper, we give the flaw integral convergence judgment method, and apply to solving of flaw integral. Judging method of flaw integral convergence are mainly definition method, comparative m

第十二章数项级数

1 讨论几何级数?qn的敛散性.

n?0?1?qn1解当|q|?1时, Sn??q?? , ( n?? ). 级数收敛;

1?q1?qk?0nk当|q|?1时, Sn??,级数发散 ;

当q?1时, Sn?n?1??? , ( n?? ), 级数发散 ; 当q??1时, Sn??11?(?1)n, ( n?? ), 级数发散 . 2??综上, 几何级数

?qn当且仅当|q|?1时收敛, 且和为

n?0?1 ( 注意n从0开始 ). 1?q2

1?讨论级数n?1n(n?1)的敛散性. n?n讨论级数n?12n?

解用链锁消去法求.

3

的敛散性.

解设Sn?k123n?1n???????n, ?k23n?1222222k?11123n?1nSn?2?3?4 ? ? ?n?n?1, 222222111111nSn?Sn?Sn??2?3???n?n?1 22222221?1?1?n22??11?2????n?1, ( n?? ). n?12?Sn?2, ( n?? ).

因此, 该级数收敛.