九年级数学二次函数动点问题

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

第二十六章 二次函数

[本章知识要点]

1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．

2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．

6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决

简单的实际问题．

26．1 二次函数

[本课知识要点]

通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM及创新思维]

（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？

（2）矩形的长是4厘米，宽

第 1 页 共 10 页 二次函数 知识点总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，

叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数

0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数自变量x 的取值范围是全体实数．

2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

二、二次函数的基本形式

1.顶点式 ()2y a x h k =-+的性质：

2.一般式

2y ax bx c =++的性质 三、二次函数图象的平移

第 2 页 共 10 页 1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．

二次函数的图象 同步练习

1.函数y=2(x+1)2是由y=2x向 平移 单位得到的.

2

2.函数y=-3(x-1)2+1是由y—3x向 平移 单位，再向 平移 单位得到的. 3.函数y=3(x-2)2的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图像开口向 ，当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，函数y有最 值，是 .

4.函数y=-(x+5)2+7的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图象开口向 ，当x 时， y随x 的增大而减小，当 时，函数y有最 值，是 .

6.在同一坐标系内，画出函数y=2x2和y=2(x-1)2+1的图象，并说出它们的相同点和不同点． 7. 二次函数y=(x-1)2-2的顶点坐标是（ ）

A.(-1,-2) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(1,2) 8. 把y= -x2-4x+2化成y= a (x+m)2 +n的形式是（ ）

二次函数的图象 同步练习

1.函数y=2(x+1)2是由y=2x向 平移 单位得到的.

2

2.函数y=-3(x-1)2+1是由y—3x向 平移 单位，再向 平移 单位得到的. 3.函数y=3(x-2)2的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图像开口向 ，当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，函数y有最 值，是 .

4.函数y=-(x+5)2+7的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图象开口向 ，当x 时， y随x 的增大而减小，当 时，函数y有最 值，是 .

6.在同一坐标系内，画出函数y=2x2和y=2(x-1)2+1的图象，并说出它们的相同点和不同点． 7. 二次函数y=(x-1)2-2的顶点坐标是（ ）

A.(-1,-2) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(1,2) 8. 把y= -x2-4x+2化成y= a (x+m)2 +n的形式是（ ）

二次函数与反比例函数试卷

注意事项：本卷共三大题，计24小题，满分150分．考试时间120分钟．

一、 选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）

1、下列函数中，一定是二次函数的是 （ ）

x2A、y?? ； B、y?x(x2?2x?1) ；

π C、y?x?2

21； D、y?ax2?bx?c(a、、均是常数bc) . 2xB、对称轴为y＝3

D、当x＞3时y随x增大而减小

2、对于y＝5(x-3)＋2的图象下列叙述正确的是 （ ）

A、顶点坐标为（-3，2） C、当x＞3时y随x增大而增大

3、函数y?x2?4x?1的图象顶点是 （ ）

A 、(-2,3) B、(2,-3) C、(-2,-3) D、(-3,2) .

4、已知函数y?ax?c的图象如下，则函数y?ax+2

26.3 实际问题与二次函数(3)

探究3 图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2m, 水面宽4m,水面下降1m时，水面宽度增加了多少？

解一解二 解三

继续

解一 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y轴，建立平 面直角坐标系，如图所示. ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:

y ax

2

当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即抛物线过点(2,-2) a 0.5

2 a 2 2

∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5 x 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-3,这时有:

这时水面宽度为 2 6m∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m 返回

3 0.5 x 2 x 6

解二 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线 的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:

y ax2 2当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)

0 a 22 2 a 0.5

∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5 x 2 2 当水面下降1m时,

二次函数的动态问题（动点）

1.如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(?4，0)，B(?2，0)，E(0，8)． （1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式； （2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形

MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位

的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值； （4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

[解] （1）点A(?40，)，点B(?20，)，点E(08，)关于原点的对称点分别为D(4，0)，C(2，0)，

F(0，?8)．

设抛物线C2的解析式是

y?ax2?bx?c(a?0)，

?16a?4b?c?0，?则?4a?2b?c?0， ?c??8．?，?a??1?解得?b?6，

?c??8．?所以所求抛物线的解析式是y??x?6x?8．

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二次函数

一、填空题：

y (m 1)x1、当m＝____时，函数

向_____。

m 1

是二次函数．

2

12

y x 2 5

2、抛物线的顶点坐标是______，对称轴是_____，开口2

y ax h k y 3x 6x 33、把化为的形式，y=_________。

2

2

4、将抛物线

y 2(x 3) 3向右平移2个单位后，在向下平移5个单

1

2

位后所得抛物线顶点坐标为_______。

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5、抛物线

y ax

2

2

经过点（3，5），则

a = ；

6、抛物线y

x 2x m，若其顶点在x轴上，则m ．

2

7、已知二次函数y (m 1)x 2mx 3m 2，则当

大值为0．

8、抛物线如图所示：当x=_______时，y=0， 当x_____时，y>0；当x_____时，y<0；

9、如图：在一幅长80cm，宽50cm的矩形风 景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形

2

挂画，设整个挂画总面积为ｙcm，金色纸 边的宽为ｘcm，则ｙ与ｘ的关系式 是___________________．

m 2

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二、选择题

1、下列函数中，图象一定经过原点的函数是 （ ） 2

A. y

3x 2 B.y 1

X C.

y x

二次函数与圆综合动 点问题 1．在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD． （1）求b的值和点D的坐标；

（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；

y

y＝x＋b

D M 4 C

3 2 1

A B

x ?1 O 1

2．如图，射线OA⊥射线OB，半径r＝2cm的动圆M与OB相切于点Q（圆M与OA?没有公共点），P是OA上的动点，且PM＝3cm，设OP＝xcm，OQ＝ycm． （1）求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围． （2）当△MOP为等腰三角形时，求相应的x的值． B

M Q

O P A

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)，⊙M是△ABC的外接圆，M为圆心． （1）求抛物线的解析式； （2）求阴影部分的面积；

（3）在x轴的正半轴上有一点P，作PQ⊥x轴交BC于Q，设PQ＝k，△CP

人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结

? 相关概念及定义

b，c是常数，a?0）? 二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项

c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 系数a?0，而b，? 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，? 二次函数各种形式之间的变换

2? 二次函数y?ax2?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其

b4ac?b2中h??，k?.

2a4a? 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax2；

②y?ax2?k；③y?a?x?h?；④y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c.

? 二次函数解析式的表示方法

? 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； ? 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；

? 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐

标）. ? 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点