方差的运算性质和公式

数学期望与方差的运算性质

教程

一：复习公式

离散随机变量(),(,)(,)(,)(,)i j ij i j ij i j

P X Y a b p Eh X Y h a b p ==→=∑

连续随机变量()()()2

,~,(,)(,),R f x y Eg g x y f x y dxdy ξηξη→=??

二：期望运算性质

()E aX bY c aEX bEY c ++=++

应用例题、袋中装有m 个不同色小球，有返回取球n 次，出现X 种不同颜色，求EX 解答：用i X ?=??

１第ｉ颜色球在n次取球中出现０第ｉ颜色球在n次取球中没出现，则 m X X X ++= 1

由于()()1101,111,n n

i i P X P X m m ????==-==-- ? ????? ()111/n

i EX m =--，

()??????????? ??--==++=∑=n m i i m m m EX X X E EX 11111

三、协方差：若,EX EY θμ==，()()cov(,)X Y E X Y θμ=--????称为随机变量X 、Y 的协方差.covariance

()()cov(,)X Y E X Y θμ=--????

()()()()()

()()(

1.

方差的简化运算公式：

如果一组数据x1,x2,...,xn中，各数据的平均数是x，那么，它们的方差可用下面的公式计算：

（1）

21222s?[(x1?x2?...?xn)?nx]，

n2或写成

s221222?(x1?x2?...?xn)?x.

n请看老师的证明过程：

（2）

21222s?[(x1'?x2'?...?xn')?nx']，

n2其中x1'?x1?a,x2'?x2?a,...,xn'?xn?a. ，

a是接近这组数据平均数的一个常数.

2. 平均数、方差的运算性质

（1） 如果一组数据

x1,x2,...,xn的平均数是x，方差是s2，那么一组新数据x1?b,x2?b,...xn?b的平均数是

x?b，方差仍是s2。

请看老师的证明过程：

（2） 如果一组数据

x1,x2,...,xn的平均数是x，方差是

s2，那么一组新数据

ax1,ax2,...axn的平均数是ax,方差是a2s2,标准差是as。

请看老师的证明过程：

（3） 如果一组数据

x1,x2,...,xn的平均数是x，方差是s2，那么一组新数据ax1?b,ax2?b,...,axn?b的平均

22数是ax?b，方差是as，标准差是as，其中a,b是常数。

请看老师的证

11月16日

1. 计算：（a+2b）﹣（a﹣2b）（a+2b） 2. 计算：（7ab+2）．

3.（a﹣2b）﹣（b﹣a）（a+b） 4.（2a﹣b）?（2a+b）．

5.计算：4（x+1）﹣（2x﹣5）（2x+5） 6.计算：（2x﹣y+3）．

7.化简：（a+b﹣3）（a﹣b+3）． 8. 运用乘法公式简便计算98﹣101×99

9运用乘法公式简便计算.2014﹣2014×4026+2013

2

2

2

2

2 10.

2

2

2

2

2

2

2

2

运用乘法公式简便计算2010﹣2009×2011

2

11.已知（a+b）=25，（a﹣b）=9，求ab与a+b的值．

12.已知：x+y=﹣3，x﹣y=7．求：①xy的值； ②x+y的值．

13.（1）比较a+b与2ab的大小（用“＞”、“＜”或“=”填空）：

22

①当a=3，b=2时，a+b 2ab，

22

②当

兰州外语职业学院教案专用纸

专业： 科目：《经济数学基础》 第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫

29

1.4 极限的性质与运算法则

教学目标: 1.掌握极限的性质及四则运算法则。

2.会应用极限的性质及运算法则求解极限

教学重点：极限的性质及四则运算法则；

教学难点：几种极限的种类及求解方法的归纳

教学课时：2学时

教学方法：讲授法、归纳法、练习法

教学过程：

1.4.1 极限的性质

性质1.5（唯一性） 若极限)(lim x f 存在，则极限值唯一． 性质1.6（有界性） 若极限)(lim 0

x f x x →存在，则函数)(x f 在0x 的某个空心邻域内有界．

性质1.7（保号性） 若A x f x x =→)(lim 0

，且0>A （或0<A ），

则在0x 的某空心领域内恒有0)(>x f （或0)(<x f ）．

若A x f x x =→)(lim 0

，且在0x 的某空心邻域内恒有0)(≥x f （或

0)(≤x f ）,则0≥A （或0≤A ）． 1.4.2 极限的四则运算法则

定理1.3 若A x u =)(lim ，B x v =)(lim ，则

篇一：初中平方差公式

平方差公式

一、学习目标

熟练掌握平方差公式，完全平方公式，立方和与立方差公式，并能灵活地应用它们进行计算

二、学习要求

1、知道乘法公式是一种特殊形式的乘法，是通过多项式的乘法，把特殊多项式相乘的结果写成公式形式并加以运用。

2、理解五个乘法公式，掌握这五个公式的结构特征，并会用这五个公式进行运算。

3、会用这五个公式使计算简便，会简捷地计算某些数的积。

4、能够灵活运用公式进行计算，提高运算能力。

三、例题分析

第一阶梯

[例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a-ab+ab-b=a-b,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：

(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a) (3)(2x+5y)(2x-5y) (4)(-a-b)(b-a) 323222222222

提示：

刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（ ）2-（ ），第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。 2

参考答案：

(1)（2x+3y）(

各位评委，各位老师，您们好！

今天我将要为大家讲的课题是：乘法公式——平方差公式。 首先，我对本节教材进行一些分析

一、说教材

本节内容在全书及章节的地位：《平方差公式》是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“15.2乘法公式”的第一课时。《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有很重要地位.

作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中我力图使学生通过观察比较探索发现进而得出结论并能利用结论进行解题。

二、 教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征 ，制定如下教学目标：

1 基础知识目标：理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进 行计算。

这个目标的确定

减法的运算性质

教学设计以及反思

教学内容：

减法的运算性质

教材第21页的内容及第22页练习六的第5~9题。 教学目标：

1.通过观察、猜想、验证等数学活动,让学生探究、发现、归纳减法的运算性质,提高学生理性思考、推理和抽象概括的能力。

2.掌握一个数连续减去两个数,可以用这个数减去两个减数的和,会用减法的运算性质进行一些简便计算。

3.提高学生根据具体情况选择算法的意识和能力,发展思维的灵活性,渗透“从特殊到一般,从一般到特殊”的数学思想。 教学重难点：重点:正确理解减法的运算性质。

难点:应用减法的性质,灵活、熟练地进行计算。 教具学具：

多媒体课件。 教学过程： 一、情景导入

师:同学们喜欢看书吗?李叔叔也喜欢看,李叔叔读的这本书共234页,他第一天看了66页,第二天看了34页,还剩多少页没有看? (课件出示教材情景图)

师:给出一共的页数和两天分别读的页数求剩下的页数,用什么方法计算?

生1:减法。

生2:不对,减法中的连减。

师:好,这就是我们今天要研究的减法的运算性质。(板书:减法的运算性质)

【设计意图:直接给出教材中的情景图,引出本节课的教学内容

——减法的运算性质】 二、自主探究

1.师:通过读题,你了解到什么信息?要解决的

典型例题

例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？ （1）

； （2）

；

（3） （5）

； （4）

．

分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式． 解：（1）两个二项式的两项分别是 ，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式． （2）这两个二项式的两项分别是 ，完全相同的项，所以不能用平方差公式． （3） 与

，

与 ， 与

和

，

两部分的符号都不相同，

和 ， ，所含字母不相同，没有

，没有完全相同的项，不能用平方差公式．

（4）两个二项式中， 完全相同，但的指数不同，所以不能用平方差公式． （5） 与用平方差公式． 例2 计算： （1） （2） （3） （4）

； ； ；

．

，

与

与 除去符号不同外，相同字母

，只有符号不同， 完全相同，所以可以用平方差公式．可

分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这几个题目都可以应用平方差公式进行计算． 解：（1）原

课题：14.2.1 平方差公式

学生姓名学习目标：

1．理解平方差公式，能运用公式进行计算；

2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想．

学习重点：

平方差公式及其运用.

学习难点：

平方差公式的结构特点及其灵活运用.

学习过程：

一、激情导入,明确目标

灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他对

慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,再继续租给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大

家一听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃惊 同学们,你能告诉慢羊羊这是为

什么吗?

二、复习回顾

1.多项式与多项式的乘法法则： ， ， , .

2.多项式与多项式的乘法法则字母表达式为 .

三、自主预习

请大家阅读P107页，完成下列问题

1.计算下列各式：

习题精选

一、选择题

1．下列各式能用平方差公式计算的是：（）

A． B．

C． D．

2．下列式子中，不成立的是：（）

A．

B．

C．

D．

3．，括号内应填入下式中的（）．

A． B． C． D．

4．对于任意整数n，能整除代数式的整数是（）．A．4 B．3 C．5 D．2

5．在的计算中，第一步正确的是（）．

A． B．

C． D．

6．计算的结果是（）．

A．B．C．D．

7．的结果是（）．

A．B．C．D．

二、填空题

1．．

2．．

3．．

4．．

5．．

6．．

7．．

8．．

9．，则

10．．

11．（1）如图（1），可以求出阴影部分的面积是_________．（写成两数平方差的形式）

12．如图（2），若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是________，长是________，面积是___________．（写成多项式乘法的形式）

13．比较两个图阴影部分的面积，可以得到乘法公式__________．（用式子表达）

三、判断题

1．．（）

2．．（）

3．．（）

4．．（）

5．．（）

6．．（）

7．．（）

四、解答题

1．用平方差公式计算：

（1）；（2）；

（3）；

（4）；

（5）；（6）．

2．计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）．

3．先化简，再求值，