高中排列组合解题方法和典型例题

排列组合公式

复习排列与组合

考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。

考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。

2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。 重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。

难点：不重不漏。

知识要点及典型例题分析：

1．加法原理和乘法原理

两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。

例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。

（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。

解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。

（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不

典型例题一

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：

如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．

如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．

如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．

解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3

3个来排列，故有A9个；

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一

11个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有A4． ?A8?A82（个）

∴ 没有重复数字的四位偶数有

311 A9?A4?A8?A82?504?179?2229个．6

3 解法2：当个位数上排“0”时，同解一有A9个；当个位数上排2

排列组合

一．基本原理

1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

m

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为An. 1.公式：1.Anm n n 1 n 2

n m 1

n!

n m!

2. 规定：0! 1

(1)n! n (n 1)!,(n 1) n! (n 1)! (2) n n! [(n 1) 1] n! (n 1) n! n! (n 1)! n!； (3)n n 1 1 n 1 1 1 1

(n 1)!

(n 1)!

(n 1)!(n 1)!

n!(n 1)!

三．组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

n n 1 n m 1 Amn!

1. 公式： C n

m!m!

n m!Amm

m

n

规定：Cn 1

01n

2.组合数性质： Cnm Cnn m，Cnm Cnm 1 Cnm 1，C

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数学运算中排列组合解题思路梳理

吉林分校 郭小芳

排列组合问题在国家公务员考试中是一个重点考察的内容，这部分所涉及到的题型比较多，所以这类问题我们需要完整的梳理出体系，在应对考试的时候就可以得心应手了。

排列组合问题的核心是：2个原理+2个方法。

这2个原理是：加法原理和乘法原理。区别加法原理和乘法原理的核心就在于完成一个题目的时候是采用分类计算还是分步计算，如果是分类计算就采用加法，如果是分步计算则采用乘法即可。

这2个方法是：排列与组合，区别排列与组合的核心是在于题目要求的计数是有无顺序之分，若是有顺序的那么就采用排列，计算是使用A，若是没有顺序则采用组合，计算是采用C。

那么在排列组合问题中所涉及到的核心方法有插空法、捆绑法、隔板法。 （一）插空法

插空法是用在当要求元素绝对不能相邻的时候采用的。比如：5个学生站成一排，要求甲乙两人绝对不能挨着，一共有多少种站的方式？

解决这个题目，甲乙不能挨着所以甲乙只能站在其余三个人形成的空当中，所以结果为：

3第一步：其余三个人的排列A3；第二步：甲乙排列在三个人形成的4个空之中A4，因此结

232果为A3A4?72。

（二）捆绑法

捆绑法是用在当要求元素必须相邻的时候采

1．分类计数原理: 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法， ，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= n1+n2+n3+ +nM种不同的方法．

2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法, ,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1·n2·n3· nM 种不同的方法．

注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。

3. 排列的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元．．．．．．素的一个排列.

排列数的定义: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不

高中数学排列组合问题常用的解题方法

一、相邻问题捆绑法

题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．

例1:五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有 种。

二、相离问题插空法

元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．

例2：七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是 。

三、定序问题缩倍法

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．

例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有 。

四、标号排位问题分步法

把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．

例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。

五、有序分配问题逐分法

有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用

科技信息

高校理科研究

排列组合解题技巧的研究

曲靖师范学院数学与信息科学学院徐应仙

［摘要］排列组合问题联系实际,应用广泛,题型多变，思维抽象,不易理解。近年来,排列组合问题已逐渐成为高考的热点,于是排列组合问题的解题技巧就成了研究者们主要讨论的问题。本文就排列组合问题的解题技巧做进一步探讨。［关键词］排列组合问题解题技巧

引言

每年高考排列组合问题的实质是考察以两个基本原理——分类计数原理和分步计数原理为出发点，主要考察解题思想和解题技巧，但排列组合题型多样，解法不一，是导致考生丢分的主要原因，因而掌握好解题技巧是解决排列组合问题的关键。最常见的特殊优先法、捆绑法、插空法就不一一介绍了，可参见文献[1、2]。

一、用“总体淘汰法”巧解排列组合问题对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减。

例1用0，1，2，3，4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？

3

解：5个数字组成三位数的全排列有A5个，排好后发现0不能在首位，1，3不能在末尾，这两种不符合题意的排法要除去，故有30个偶数。

二、用“除法”巧解排列组合问题

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素进行排列，然后用总的排

排列组合问题的若干解题策略

排列组合问题的若干解题策略

排列组合问题的若干解题策略

排列组合问题的若干解题策略

排列组合问题的若干解题策略

排列组合问题的若干解题策略

排列组合问题的若干解题策略

排列组合问题的若干解题策略

排列组合问题的若干解题策略

排列组合问题的若干解题策略

行测数量关系中排列组合问题的七大解题策略

排列组合问题是历年公务员考试行测的必考题型，并且随着近年公务员考试越来越热门，国考中这部分题型的难度也在逐渐的加大，解题方法也趋于多样化。解答排列组合问题，必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题；同时要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，还要注意讲究一些策略和方法技巧。

一、排列和组合的概念

排列：从n个不同元素中，任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

组合：从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。

二、七大解题策略

1.特殊优先法

特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。

例：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）

（A） 280种 （B）240种 （C）180种（D）96种

正确答案：【B】

解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作

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行测数量关系中排列组合问题的七大解题策略

排列组合问题是历年公务员考试行测的必考题型，并且随着近年公务员考试越来越热门，国考中这部分题型的难度也在逐渐的加大，解题方法也趋于多样化。解答排列组合问题，必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题；同时要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，还要注意讲究一些策略和方法技巧。

一、排列和组合的概念

排列：从n个不同元素中，任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

组合：从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。

二、七