非线性泛函分析及其应用

§4 柯西点列和完备度量空间 教学内容(或课题)：

目的要求： 掌握柯西点列、完备度量空间的概念，学会使用概念和完备度量空间的充要条件判别完备度量空间. 教学过程：

? 设?xn?n?1是R1中的点列，若???0，?N?N?????，s.t.当m,n?N时，有d?xn,xm?=xn?xm??，则称?xn?n?1是R1中的柯西点列.

? Def 1 设X=(X，d)是度量空间，?xn?n?1是X中的点列. 若

????0,?N?N?????，s.t.当m,n?N时，有d?xn,xm???，则称?xn?n?1?是X中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(X，d)中每个柯西点列都收敛，则称(X，d)是完备的度量空间.

有理数的全体按绝对值距离构成的空间不完备，如点列1, 1.4, 1,41,

1.412,? 在R1中收敛于2，在有理数集中不收敛.

但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.

实因若xn?x，则???0, ?N?N?????，s.t.当m,n?N时，都有d?xn,x???2.因此当n，m?N时，有

d?xn,xm??d?xn,x?+d?x,xm???2+

?2. 所以?

第二章 度量空间

§2.1 度量空间的进一步例子 教学内容(或课题)：

目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程：

一 复习度量空间的概念

设X是个集合，若对于?x,y?X，都有唯一确定的实数d?x,y?与之对应，且满足

10 d?x,y??0，d?x,y?=0?x?y;

20 d?x,y??d?x,z?+d?y,z?对?x,y,z??都成立， 则称(?，d)为度

量空间或距离空间，?中的元素称为点，条件20称为三点不等式. 欧氏空间Rn 对Rn中任意两点x??x1,x2,?,xn?和

?2?y??y1,y2,?,yn?，规定距离为 d?x,y?=???xi?yi??.

?i?1? C?a,b?空间 C?a,b?表闭区间?a,b?上实值(或复值)连续函数的全体.对C?a,b?中任意两点x,y，定义d?x,y?=maxx?t??y?t?.

a?t?bn12?? l（1?p???)空间 记l=?x??xk?k?1?pp?xk?1??pk????.

?p???设x??xk?k?

第二章 度量空间

§2.1 度量空间的进一步例子 教学内容(或课题)：

目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程：

一 复习度量空间的概念

设X是个集合，若对于?x,y?X，都有唯一确定的实数d?x,y?与之对应，且满足

10 d?x,y??0，d?x,y?=0?x?y;

20 d?x,y??d?x,z?+d?y,z?对?x,y,z??都成立， 则称(?，d)为度

量空间或距离空间，?中的元素称为点，条件20称为三点不等式. 欧氏空间Rn 对Rn中任意两点x??x1,x2,?,xn?和

?2?y??y1,y2,?,yn?，规定距离为 d?x,y?=???xi?yi??.

?i?1? C?a,b?空间 C?a,b?表闭区间?a,b?上实值(或复值)连续函数的全体.对C?a,b?中任意两点x,y，定义d?x,y?=maxx?t??y?t?.

a?t?bn12?? l（1?p???)空间 记l=?x??xk?k?1?pp?xk?1??pk????.

?p???设x??xk?k?

泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章

证明：设x,y?C，则有?x??y?C。令ek?(0,?0,1,0,?0)，?,??C，

nn第k项???????共n项第 一 节

3．设{xk}是赋范空间?中的Cauchy列，证明{xk}有界，即supxk??。

k??则对任意的x?(x1,x2,?xn)，必有x?的基，则dimC?n。

n?xekk?1nk，因此{e1,e2,?,en}是空间Cn证明：???0，?N0，当m,n?N0时，有xn?xm???xn?xm??，不妨设xn?xm，则xn???xm, m,n?N0。取m?N0，则有

当视C为实线性空间时，可令基为{e1,?,en,ie1,?,ien}，则对任意的

nxn???xN0, n?N0，令c?maxx1{,x2,?,xN0,xN0??}，则

x?(x1,x2,?xn)ndiCm?2n。

，有

x??Re(xk)ek??Img(xk)(iek)k?1k?1nn，所以

xn?c, n?1。

6．设?是Banach空间，?中的点列满足敛），证明存在x??，使x?lim证明：令yn??xk?1?k??（此时称级数?xk绝对收

k?1?

10．证明dimC[a,b]??，这里a?b。

k证明：取xk(

1

浅谈Hahn-Banach 泛函延拓定理及其应用

1 引言

在函数论中，我们曾经考虑把一些函数从原来的定义域括充出去的问题，例如解析函数的解析开拓，在代数上有域的扩张等等.在泛函分析中，为了使得对于任意的线性空间E ，其上存在非零的有界线性泛函，其简化的方法自然使我们想到了前面所说的“延拓”的方法，既在E 内某一子空间上定义一个有界线性泛函，而且还能够使其延拓为整个E 上的有界线性泛函.

引理 设f 是复赋范线性空间E 上的有界线性泛函，令))((Re )(E x x f x ∈=?，则?是E 上的有界实线性泛函.

（注意：所谓实线性，是指可加性以及对任何实数α，有)()(x x α?α?=且)()()(ix i x x f ??-=） 2 Hahn-Banach 泛函延拓定理

2.1 Hahn-Banach 泛函延拓定理的几种形式

定理1[1](168)P （赋范线性空间上的Hahn-Banach 泛函延拓定理）

设G 是赋范线性空间E 的子空间，f 是定义在G 上的有界线性泛函，则f 可以延拓到整个E 上且保持范数不变，即存在定义在E 上的有界线性泛函0F ，使下列性质成立：

（1）对任一x G ∈，有0()()F x f x =；

（2）0G F f

第七章 度量空间和赋范线性空间

复习题：

1.设(X,d)为一度量空间，令

U(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},S(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},

问U(x0,?)的闭包是否等于S(x0,?)？

2.设C?[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数的全体，定义

?d(f,g)??r?012rmaxa?t?b|f(r)(t)?g(r)(t)|(t)|1?|f(r)(t)?g(r).

证明C?[a,b]按d(f,g)成度量空间.

3.设B是度量空间X中闭集，证明必有一列开集O1,O2,?,On,?包含B，而且?Onn?1??B.

4.设d(x,y)为空间X上的距离，证明

?(x,y)?dd(x,y)1?d(x,y)

也是X上的距离.

5.证明点列{fn}按题2中距离收敛于f?C[a,b]的充要条件为fn?的

各阶导数在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数.

6.设B?[a,b]，证明度量空间C[a,b]中的集

{f|当t?B时, f(t)=0}

为C[a,b]中的闭集，而集

A?{f|当t?时B,|f(t)?|a}(

泛函分析题1_4线性赋范空间20070502

泛函分析题1_4线性赋范空间p39

1.4.1 在2维空间?2中，对每一点z = (x, y)，令

|| z ||1 = | x | + | y |；|| z ||2 = ( x 2 + y 2 )1/2；|| z ||3 = max(| x |, | y |)；|| z ||4 = ( x 4 + y 4 )1/4； (1) 求证|| · ||i ( i = 1, 2, 3, 4 )都是?2的范数．

(2) 画出(?2, || · ||i ) ( i = 1, 2, 3, 4 )各空间中单位球面图形．

(3) 在?2中取定三点O = (0, 0)，A = (1, 0)，B = (0, 1)．试在上述四种不同的范数下求出?OAB三边的长度．

证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式． 设z = (x, y), w = (u, v)??2，s = z + w = (x + u, y + v )，

|| z ||1 + || w ||1 = (| x | + | y |) + (| u | + | v |) = (| x | + | u |) + (| y | + | v |)

2012泛函分析复习资料 一、定义

1. Page1 线性空间 2. Page2 Hamel基

3. Page3 凸集，凸包coE 4. Page4 度量空间

5. Page10 范数，线性赋范空间 6. Page12 内积，内积空间 7. Page14 平行四边形公式

8. Page23 Cauchy列，完备空间，Banach空间，Hilbert空间 9. Page27 稠密，无处稠密，第一纲集，第二纲集 10. page30 线性算子，线性泛函，N（T） 11. Page31 压缩映射，不动点

12. Page34同构映射，Page35 等距同构

13. page37 紧集，相对紧集，ε网，完全有界集 二、课后习题

1解答：当p?0时，d(x,y)?x?y不满足正定性，R在d下不是度量空间， 当p?1时，d(x,y)?x?y满足正定性，对称性，不满足三角不等式，故R在d下不是度量空间，

当0?p?1时，d(x,y)?x?y满足正定性，对称性和三角不等式，故R在d下是度量空间，

若令x?y?d(x,y)，仅当p?1时，?满足范数的正定性，正齐次性和三角不等式，故此时R在?下是赋范空间。

2证明：

第七章 度量空间和赋范线性空间

复习题：

1.设(X,d)为一度量空间，令

U(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},S(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},

问U(x0,?)的闭包是否等于S(x0,?)？

2.设C?[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数的全体，定义

?d(f,g)??r?012rmaxa?t?b|f(r)(t)?g(r)(t)|(t)|1?|f(r)(t)?g(r).

证明C?[a,b]按d(f,g)成度量空间.

3.设B是度量空间X中闭集，证明必有一列开集O1,O2,?,On,?包含B，而且?Onn?1??B.

4.设d(x,y)为空间X上的距离，证明

?(x,y)?dd(x,y)1?d(x,y)

也是X上的距离.

5.证明点列{fn}按题2中距离收敛于f?C[a,b]的充要条件为fn?的

各阶导数在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数.

6.设B?[a,b]，证明度量空间C[a,b]中的集

{f|当t?B时, f(t)=0}

为C[a,b]中的闭集，而集

A?{f|当t?时B,|f(t)?|a}(

泛函分析知识点小结及应用

§1 度量空间的进一步例子

设X是任一非空集合，若对于?x,y?且满足 1．非负性：dX，都有唯一确定的实数d?x,y?与之对应，

?x,y??0，d?x,y?=0?x?y;

?x,y??d?x,z?+d?y,z?， 则称(?，d)

2. 对称性：d(x,y)=d(y,x);

3．三角不等式：对?x,y,z??，都有d为度量空间，?中的元素称为点。

1x 欧氏空间nR 对R中任意两点2nn?2?d?x,y?=???xi?yi??.

1??i??表示闭区间?a,b?上实值(或复值)连续函数的全体.对C?a,b? C?a,b空间 C?a,b?中任意两点x,y，定义d?x,y?=maxx?t??y?t?. ?a?t?b??1p?pp???. l（1?p???)空间 记l=?x??xk?k?1??xk??1p?p??pk??. 设x??xk?k?1，y??yk?k?1?l，定义 d?x,y?=???xi?yi??i?1??例1 序列空间S

??x?y?(或复数列?????x?xy?y令S表示实数列)的全体，对，，令 kkkk1k?1k?1. d?x,y?=k1?x?ykkk?