定积分的近似计算矩形法

数学实验的课件

数学实验

实验二 定积分的近似计算

数学实验的课件

实验二、 实验二、定积分的近似计算问题背景和实验目的定积分计算的基本公式是牛顿-莱布尼兹公式。但当 被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利 用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至 没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散 的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、 梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关 函数。

数学实验的课件

实验二、 实验二、定积分的近似计算矩形法定积分的定义：

∫

b

a

f ( x )dx = nlim →∞ x1 x2LL

x →0 i =1

∑ f (ξ ) x ,i i

n

ξi ∈ [ xi 1 , xi ]

xi xi

LL LLi

xn xn 1 = xn

x0 =

x1

x2

L L xi 1

xi = xi xi 1 ,

x = max xi

数学实验的课件

矩形法 矩形法定积分的近似：

∫

b

a

f ( x )dx ≈ ∑ f ( ξi ) xi , n 充分大，△x 充分小i =1

n

通常我们取 x1 = x2 = L = xn

h = b a n

点 ξi ∈ [

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数学实验

实验二 定积分的近似计算

数学实验的课件

实验二、 实验二、定积分的近似计算问题背景和实验目的定积分计算的基本公式是牛顿-莱布尼兹公式。但当 被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利 用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至 没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散 的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、 梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关 函数。

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实验二、 实验二、定积分的近似计算矩形法定积分的定义：

∫

b

a

f ( x )dx = nlim →∞ x1 x2LL

x →0 i =1

∑ f (ξ ) x ,i i

n

ξi ∈ [ xi 1 , xi ]

xi xi

LL LLi

xn xn 1 = xn

x0 =

x1

x2

L L xi 1

xi = xi xi 1 ,

x = max xi

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矩形法 矩形法定积分的近似：

∫

b

a

f ( x )dx ≈ ∑ f ( ξi ) xi , n 充分大，△x 充分小i =1

n

通常我们取 x1 = x2 = L = xn

h = b a n

点 ξi ∈ [

圆周率π的近似计算方法

班级 学号 姓名

众所周知，圆周率π是平面上圆的周长与直径之比，它等于3.141 592 6…。古代人把3作为它的近似值。π是一个非常重要的常数.一位德国数学家评论道:\历史上一个

国家所算得的圆周率的准确程度,可以做为衡量这个这家当时数学发展水平的重要标志.\古

今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过π值的计算方法.

古人计算圆周率，一般是用割圆法（不断地利用勾股定理，来计算正N边形的边长）。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。公元263年，刘徽通过提出著名的割圆术，得出 π ＝3.14，通常称为\徽率\，他指出这是不足近似值。割圆术用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率 π ＝3927/1250 ＝3.1416。而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。后来祖冲之通过割圆法求得圆周率3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 ，得到 π 的两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。他算出的 π 的8位可靠数字，不但在当时是最精

定积分的计算方法

摘要

定积分是积分学中的一个基本问题，计算方法有很多，常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法，并在系统总结中简化计算方法！并注重在解题中用的方法和技巧。

关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法

Calculation method of definite integral

Abstract

the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system o

安庆师范学院数学与计算科学学院2015届毕业论文

近似计算在数学分析中的应用

作者：石结军 指导老师：张玮玮

摘要 近似计算是一个比较特殊的解决问题的方法，它是解决数学中复杂繁琐问题的重要工具，

是获得结果且影响极小的有力工具.在数学分析中，这种方法的运用尤为突出，如在定积分中的应用、微分中的应用、函数幂级数的应用等，其中函数幂级数中的应用主要体现在泰勒展开式中的应用.本文主要研究在数学分析中用具体实例来说明对这种方法的运用.

关键词 近似计算 数学分析 微分 函数幂级数 定积分

1 引言

近似计算是一种对计算结果影响不大,但能大大简化计算的过程,被广泛用于各个领域.在数学分析中,本文从在微分中、在定积分中、在求方程的解以及函数幂级数中的应用出发,然后分别简单介绍这几方面的一些有关内容及有关概念,并且针对近似计算在这些方面的应用列举出实例来加以解释说明这种方法的实用性,并且说明其与精确结果之间产生的误差.

2 近似计算在数学分析中的应用 1.1 在微分中的应用

在科学和工程问题中遇到的数值问题往往很复杂,在许多情况下都不可能求出数值解的精确值,另一方面，在许多实际问题中,并不需要解的精确值,而仅仅需要获得解在若干点上

洛阳师范学院 数学科学学院 《数学分析》教案

第十章 定积分的应用

在上一章引入定积分概念时，曾把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程表示为积分和的极限，即要用定积分来加以度量。事实上，在科学技术中采用“分割、作和、取极限”的方法去度量实际量得到了广泛的应用。本章意在建立度量实际量的积分表达式的一种常用方法——微元法，然后用微元法去阐述定积分在某些几何、物理问题中的应用。

§1平面图形的面积

教学目标：掌握平面图形面积的计算公式． 教学内容：平面图形面积的计算公式．

(1) 基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式．

(2) 较高要求：提出微元法的要领． 教学建议：

(1) 本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握．

(2) 领会微元法的要领． 教学过程：

1、微元法

bI?众所周知，定积分

?f?x?dxa是由积分区间

?a,b?及被积函数f(x)所决定

的，而定积分对积分区间具有可加性，即如果把积分区间作为任意划分

?:x0?a?x1?x2???xn?1?xn?b

记

?Ik??xkxk?1f(x)dx k?1,2

高等数学同济六版(上)

第三节 定积分的换元法和 分部积分法不定积分

第五章

换元积分法分部积分法

定积分

换元积分法分部积分法

一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法43

高等数学

●

戴本忠

高等数学同济六版(上)

学习指导1.教学目的：掌握运用换元公式求解定积分问题的方法；掌 握用分部积分法公式计算定积分的方法。 2.基本练习： (1) 用换元法计算定积分； (2) 被积函数具有奇偶性或周期性的定积分计算； (3) 利用换元法和被积函数的奇偶性及周期性来证明某些 定积分公式。 (4) 用分部积分法计算定积分。 3.注意事项： (1)换元法的目的是将复杂的或者抽象的被积函数变量代 换为常见的积分形式，所以基本的积分公式一定要熟记， 要掌握换元法所遵循的几个原则以正确地应用换元法。 (2)运用分部积分公式的关键是正确地选取u(x) 和v(x) 。熟 练掌握运用分部积分法的几种常用类型可帮助对u(x) ,v(x) 的选取。43

高等数学

●

戴本忠

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定积分的换元积分法根据

a f ( x )dx F (b) F (a ).微积分基本公式

b

不定积分法

定积分法，

且使用方法与相应的不定积分法类似。

43

高等数学

●

戴本忠

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定理 假

第四节 广义积分

在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分，因此，我们需要对定积分作两种推广，从而形成了广义积分的概念. 一. 无穷区间上的广义积分

1.引例1.求下述广义曲边梯形的面积.

（1）由曲线y?e?x，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?limb????b0?x?b??1 edx?lim?1?e?b????（2）由曲线y?ex，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?lima????0axa??1. edx?lim?1?e?a????2．定义1.设函数f?x?在区间?a,???上连续，取b?a.如果极限 lim存在，则称此极限为函数f?x?在区间?a,???上的广义积分，记作?即：???a??b????f?x?dxab

af?x?dx.

f?x?dx?lim??b????f?x?dxab ————（1）

这时，也称广义积分?惯上称为广义积分???aaf?x?dx收敛；如果上述极限不存在，函数f?x?在区间?a,???上的广义积分就没有意义，习

f?x?dx发散.

定义2.设函数f?x?在区间???,b?上连续，取a

基础实验二 定积分数值计算

一、实验目的

学习定积分的数值计算方法，理解定积分的定义，掌握牛顿-莱布尼兹公式。

二、实验材料

2.1定积分的数值计算

计算定积分?abbf(x)dxn的近似值，可将积分区间n等分而得矩形公式

b?ab?a]nn

或

?af(x)dx??i?1f[a?(i?1)n?af(x)dx??i?1f[a?in]n

bb?ab?a也可用梯形公式近似计算

?baf(x)dx?[?i?1f(a?in?1b?af(a)?f(b)b?a)?] n2n 如果要准确些，可用辛普森公式

n?1n?af(x)dx?[2?i?1f(a?in)?4?i?1f(a?(i?2)2)?f(a)?f(b)]6n

bb?a1b?ab?asinxdx 对于?0，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica程序为

a=0;b=1;k=10;

1 f[x_]:=Sin[x];

d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];（计算精确值）

s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,

基础实验二 定积分数值计算

一、实验目的

学习定积分的数值计算方法，理解定积分的定义，掌握牛顿-莱布尼兹公式。

二、实验材料

2.1定积分的数值计算

计算定积分?abbf(x)dxn的近似值，可将积分区间n等分而得矩形公式

b?ab?a]nn

或

?af(x)dx??i?1f[a?(i?1)n?af(x)dx??i?1f[a?in]n

bb?ab?a也可用梯形公式近似计算

?baf(x)dx?[?i?1f(a?in?1b?af(a)?f(b)b?a)?] n2n 如果要准确些，可用辛普森公式

n?1n?af(x)dx?[2?i?1f(a?in)?4?i?1f(a?(i?2)2)?f(a)?f(b)]6n

bb?a1b?ab?asinxdx 对于?0，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica程序为

a=0;b=1;k=10;

1 f[x_]:=Sin[x];

d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];（计算精确值）

s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,