高二数学排列组合解题技巧

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高校理科研究

排列组合解题技巧的研究

曲靖师范学院数学与信息科学学院徐应仙

［摘要］排列组合问题联系实际,应用广泛,题型多变，思维抽象,不易理解。近年来,排列组合问题已逐渐成为高考的热点,于是排列组合问题的解题技巧就成了研究者们主要讨论的问题。本文就排列组合问题的解题技巧做进一步探讨。［关键词］排列组合问题解题技巧

引言

每年高考排列组合问题的实质是考察以两个基本原理——分类计数原理和分步计数原理为出发点，主要考察解题思想和解题技巧，但排列组合题型多样，解法不一，是导致考生丢分的主要原因，因而掌握好解题技巧是解决排列组合问题的关键。最常见的特殊优先法、捆绑法、插空法就不一一介绍了，可参见文献[1、2]。

一、用“总体淘汰法”巧解排列组合问题对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减。

例1用0，1，2，3，4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？

3

解：5个数字组成三位数的全排列有A5个，排好后发现0不能在首位，1，3不能在末尾，这两种不符合题意的排法要除去，故有30个偶数。

二、用“除法”巧解排列组合问题

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素进行排列，然后用总的排

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数学运算中排列组合解题思路梳理

吉林分校 郭小芳

排列组合问题在国家公务员考试中是一个重点考察的内容，这部分所涉及到的题型比较多，所以这类问题我们需要完整的梳理出体系，在应对考试的时候就可以得心应手了。

排列组合问题的核心是：2个原理+2个方法。

这2个原理是：加法原理和乘法原理。区别加法原理和乘法原理的核心就在于完成一个题目的时候是采用分类计算还是分步计算，如果是分类计算就采用加法，如果是分步计算则采用乘法即可。

这2个方法是：排列与组合，区别排列与组合的核心是在于题目要求的计数是有无顺序之分，若是有顺序的那么就采用排列，计算是使用A，若是没有顺序则采用组合，计算是采用C。

那么在排列组合问题中所涉及到的核心方法有插空法、捆绑法、隔板法。 （一）插空法

插空法是用在当要求元素绝对不能相邻的时候采用的。比如：5个学生站成一排，要求甲乙两人绝对不能挨着，一共有多少种站的方式？

解决这个题目，甲乙不能挨着所以甲乙只能站在其余三个人形成的空当中，所以结果为：

3第一步：其余三个人的排列A3；第二步：甲乙排列在三个人形成的4个空之中A4，因此结

232果为A3A4?72。

（二）捆绑法

捆绑法是用在当要求元素必须相邻的时候采

排列组合问题的若干解题策略

排列组合问题的若干解题策略

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排列组合问题的若干解题策略

排列组合问题的若干解题策略

排列组合及二项式定理检测题

一、选择题：本大题共10小题，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

a8)展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是（ ） x8888A.2 B. 3 C. 1或3 D.1或2

2.(3x?32)100展开所得关于x的多项式中，系数为有理数的共有（ ）项 A.50 B.17 C.16 D. 15

3.若(2x?3)4?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4，则(a0?a2?a4)2?(a1?a3)2的值为( )

1.已知(x?A.1 B.-1 C.0 D.2

1?x3)n(n?N?)，四位同学作了四种判断，其中正确的是( ) x（1）存在n?N?，展开式中有常数项； （2）对任意n?N?,展开式中没有常数项； （3）对任意n?N?,展开式中没有x的一次项； （4）存在n?N?,展开式中有x的一次项。

4.对于二项式(A. (1)(3) B.(2)(3)

排列,组合练习题

一、选择题

1、在一个盒子里有6只不同的圆珠笔，从中任意抽取3枝，则有多少种不同的取法

（ ）

A 15 B 20 C 120 D 6 2、现有4件不同款式的上衣与3件不同颜色的长裤，如果一条长裤和一件上衣配成

一套，则不同选法是（ ）

A 7 B 64 C 12 D 81 3、集合M???1,0,1,2?中任取两个不同元素构成点的坐标，则共有不同点的个数是（ ）

A 4 B 6 C 9 D 12 4、五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工

程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有( )

141444A C4种 D A4种 C4种 B C4A4种 C C410、100件产品中恰好有

高中数学排列组合问题常用的解题方法

一、相邻问题捆绑法

题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．

例1:五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有 种。

二、相离问题插空法

元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．

例2：七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是 。

三、定序问题缩倍法

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．

例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有 。

四、标号排位问题分步法

把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．

例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。

五、有序分配问题逐分法

有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用

模块九 排列与组合、二项式定理 第一部分：排列、组合 一。计数原理

加法计数原理：如果完成一件事情可以分为m类，每一类的方法数分别是：N1，N2，N3，…..Nm,则完成这件事情共有N1+N2+N3+…..+Nm种方法。（又称分类计数原理）

乘法计数原理：如果完成一件事情须分为m步，每一步的方法数分别是：N1，N2，N3，…..Nm,则完成这件事情共有N1?N2?N3?…..?Nm种方法。（又称分类计数原理） 分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决。正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成. 二。排列数、组合数的定义

①排列数：从n个元素中取出m个排成一列（即排入m个位置），共有An种排法。

Am（n－2）?（n－m+1）.特别的：An?n! n=n（n－1）

②组合数：从n个元素中取出m个形成一个组合，共有Cn种取法。 Cmn=

mnmn!0n特别地：Cn?1,Cn?1

(n?m)!m!组合数的两个性质：

n?mmm?1（1）Cm； （2）Cmn?1=C

高二数学集体备课学案与教学设计

章节标题 选修2-3 排列组合专题 计划学时 1 学案作者 杨得生 学案审核 张爱敏 高考目标 掌握排列、组合问题的解题策略 一、知识与技能 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 三维目标 二、过程与方法 通过问题的探究，体会知识的类比迁移。以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法 三、情感态度与价值观 通过师生互动，生生互动的数学活动，形成学生的体验认识，并体验成功的喜悦。提高学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。 教学重点 重点：排列、组合综合题的解法． 教学难点难点：正确的分类、分步． 及 解决措施 教学要点 经 一、邮信问题：把4封信投入3个邮箱有多少种方法。 解析：这类问题首先分清哪个有限制条件，以有限制条件的为主体研究。（即典 指数形式， 例 有条件的为指数在上边无条件的在下边）如本题中的信有条件，即一封信只能投入一个信箱，所以，3种，3种，3种，3种。共34种。 题 练习：若A=｛a,b,

小升初计数重点考查内容———— 排列组合

1．排列组合的意义与计算方法

2．排列组合三宝：捆绑法、插空法、挡板法

(★★☆)

8月26日晚上师资组刚到蜜桃仙谷，大家都很兴奋。王雨洁、夏川、杨秀情、谷运增、崔兆玉、刘丽娜、兰海等高年级的七位老师想站在一块儿合个影，这个时候争执出现了： ⑴雨洁觉得：7个人随便站成一排，她认为这样简单公平；

⑵夏川认为：7个人可以站成两排，前3后4，这样看起来比较美观；

⑶兰海固执：自己必须站在正中间，因为自己的脑瓜长的比别人更圆一些； ⑷兆玉发言：自己和丽娜站两端，“我们俩宽度一样，这样比较对称” ⑸秀情老师：“我和阿增不站两端，其余的随便排，快点，不要磨叽！”

(★★☆)

高年级组的7位老师继续照相，这次排队有了新的讲究：雨洁、夏川、丽娜三位美女老师强烈要求必须相邻，任谁劝都不听，这时候只见摄像师老段拿着一根绳子嘿嘿阴笑着就走过来了：我能很快解决你们这样一共有几种排队方式的问题。

(★★☆)

刚才的事儿影响了照相的进度。嘿，在这段时间里老杨和谷老师打起来了，还把谷老师的耳朵给咬了……海哥在劝架的过程由于处理不当和老杨、谷老师同时起了矛盾，3人带着情绪照相，强烈要求：互不相邻(

典型例题一

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：

如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．

如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．

如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．

解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3

3个来排列，故有A9个；

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一

11个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有A4． ?A8?A82（个）

∴ 没有重复数字的四位偶数有

311 A9?A4?A8?A82?504?179?2229个．6

3 解法2：当个位数上排“0”时，同解一有A9个；当个位数上排2