数学几何证明方法

几何证明的基本方法

一．割补法：

1.（全等）如图，点E是BC中点， BAE CDE，求证：AB CD

（相似）如图，点E是BC上一点，BE k EC， BAE CDE，猜想AB、CD的数量关系.

2. （全等）如图，在 ABC中， BAC 90 ，AB AC，CD//BA，点P

是BC上一点，连结AP，过点P做PE AP交CD于E.

探究PE与PA的数量关系.

相似）如图，在 ABC中， BAC 90 ，AB k AC，CD//BA，点P是BC上一点，连结AP，过点P做PE AP交CD于E.

探究PE与PA的数量关系.

--1--

3. （全等）如图，在 ABC中，AB AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD CE，DE交BC于点P.

探究PE与PD的数量关系.

（相似）如图，在 ABC中，AB k AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD CE，DE交BC于点P.

探究PE与PD的数量关系.

4. （全等）如图，在 ABC中， DBC ECB

探究BE与CD的数量关系.

1 A，BD、CE交于点P. 2

（相似）如图，在 ABC中， DBC ECB A，BD、CE交于点P，PB k PC.

探究BE与CD的数量关系.

5．（全等）如图，在 EBC

浅谈初中数学几何证明题解题方法

内容摘要：几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标组成。做几何证明题的一般步骤：审题，寻找证明的思路，书写证明过程

关键词：几何证明 条件 结论 .执因索果 执果索因 辅助线

初中学生正处于自觉形象思维向逻辑思维的过度阶段，几何证明，是学生逻辑思维的起步。这种思维方式学生刚接触，会遇到一些困难。许多学生在几何证明这里“跌倒了”，丧失了信心，以至于几何越学越糟。为此，我根据自己几年的数学教学实践，就初中数学中几何证明题的一般结构，解题思路进行初步探讨。

学好几何证明，起步要稳，要求学生在学习几何时要扎扎实实，一步一个脚印，在掌握好几何基础知识的同时，还要培养学生的逻辑思维能力。 一、几何证明题的一般结构

初中几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标两部分（即前提和结论）组成。已知条件是几何证明的前提，指题目中用文字和符号直接给出的明确条件，也包括所给图形中暗含的条件。求证指题目要求的经过推理最终得出的结论。已知条件是题目既定成立的、毋庸置疑而且必然正确的。求证是几何证明题的最终目标，就是根据题目给出的已知条件，利用数学中的公理、定理、性质，

几何证明、求值依据

④证明一个平面的法向量垂直于另一个平面内的两条不共线向量（需说明两个平面不重合）.

有法可依、有理可据

1、证明线线平行常用的方法：

①基本性质4；

②直线与平面平行的性质定理；

③两个平面平行的性质定理；

④直线和平面垂直的性质定理；

⑤平面几何中的定理等；

⑥证明两条直线的方向向量共线（需说明它们不重合）.

4、证明线线垂直常用的方法：

①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线都垂直；

②如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；

③三垂线定理（逆定理）；

④勾股定理；

⑤一些常见平面几何图形（需简单证明）； ⑥证明两条直线的方向向量垂直.

2、证明线面平行常用的方法：

①直线与平面平行的判定定理；

②如果两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面；

③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（需说明直线不在平面内）；

④证明直线的方向向量可以被平面内的两个不共线向量分解（需说明直线不在平面内）.

5、证明线面垂直常用的方法：

①直线和平面垂直的判定定理；

②两个平面垂直的性质定理；

③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；

第1篇：初中几何证明

初中数学几何解题思路

从求证出发

你就要想，这道题要求证这个，就要有.....这些条件，再看已知，有了这些条件了，噢，还差这个条件。然后就找条件来证明这个还差的条件，

然后全部都搭配齐全了，就证出了题目了

记住，做题要倒推走

把已知的条件从笔在图上表示出来，方便分析

而且你要牢牢记住一些定理，还有一些特殊角，特殊形状等等他们的关系 当一些题实在证不出来时， 你要注意了，可能要添辅助线，比如刚才我说的 还差什么条件，你就可以画一个线段，平行线什么的来补充条件，你下子你就一目了然了，不过有些很难的看出的辅助线就要靠你的做题的作战经验了，你还要认真做题。

把这些牢牢记住，在记住老师教你们的公里定理些，你就已经成功大半了 作辅助线的方法和技巧

题中有角平分线，可向两边作垂线。

线段垂直平分线，可向两端把线连。

三角形中两中点，连结则成中位线。

三角形中有中线，延长中线同样长。

成比例，正相似，经常要作平行线。

圆外若有一切线，切点圆心把线连。

如果两圆内外切，经过切点作切线。

两圆相交于两点，一般作它公共弦。

是直径，成半圆，想做直角把线连。

作等角，添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关

1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.

(1) 求证：DC=BC;

(2) E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.

AB[解析] （1）过A作DC的垂线AM交DC于M,

则AM=BC=2.

又tan∠ADC=2,所以DM?(2)等腰三角形.

E2?1.即DC=BC. 2FDC证明：因为DE?DF,?EDC??FBC,DC?BC. 所以，△DEC≌△BFC

所以，CE?CF,?ECD??BCF.

所以，?ECF??BCF??BCE??ECD??BCE??BCD?90? 即△ECF是等腰直角三角形.

（3）设BE?k,则CE?CF?2k，所以EF?22k. 因为?BEC?135?，又?CEF?45?，所以?BEF?90?. 所以BF?k2?(22k)2?3k

所以sin?BFE?k1?. 3k3

2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． （1）求证：△AD

精选初中几何证明题

经典题（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二）

C

E

G

A B

D O F 0

2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15．

A D 求证：△PBC是正三角形．（初二） P C B

3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1

的中点．

A D

求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二） D2 A2 A1

D1

B1 C1

B2 C2

B C

4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线

交MN于E、F．

F 求证：∠DEN＝∠F． E

N C

D

.. ..

A M B

经典题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．

A （1）求证：AH＝2OM；

0

（2）若∠BAC＝60，求证：AH＝AO．（初二）

O

· H E

B C

1 / 20 初中几何证明题

经典题（一）

1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）

2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．

求证：△PBC 是正三角形．（初二）

3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D-

2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）

4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的

延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．

A P C D

B A F

G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D

A A 1 B

2 / 20

F 经典题（二）

1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O

（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）

2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN

解析几何证明问题

x2y261、 已知椭圆T:2?2?1(a?b?0)的一个顶点A?0,1?，离心率e?，圆C:x2?y2?4，从圆C上任意一点

ab3P向椭圆T引两条切线PM,PN.

（1）求椭圆T的方程； （2）求证：PM?PN.

x2c6?y2?1 --------------4分 解：（Ⅰ） 由题意可知：b?1，?椭圆方程为：3a3 （Ⅱ）法1：(1) 当P点横坐标为?(2) 当P点横坐标不为?3时，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM?PN----------5分

223时，设P(x0,y0),则x0?y0?4,设kPM?k

?y?y0?k(x?x0)?PM的方程为y?y0?k(x?x0),联立方程组 ?x2

2??y?1?322消去y得：(1?3k2)x2?6k(y0?kx0)x?3k2x0?6kx0y0?3y0?3?0 ------6分 22依题意：??0即??36k2(y0?kx0)2?41?3k23k2x0?6kx0y0?3y0?3?0 ---------8分 22化简得：(3?x0)k2?2x0y0k?1?y0?0

2221?y01?(4?x0)x0?3?????1 2223?x03?x03?x0

高三数学查漏补缺专题训练：几何证明

一、填空题

1. 在平面几何中有：Rt△ABC的直角边分别为a,b，斜边上的高为h，则

111??.类比这一结论，在三棱222abh锥P—ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱锥P—ABC的高为h，则结论为

______________

2. 若E、F、G、H顺次为空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，

A 22

且EG=3，FH=4，则AC+BD= _____ .

H

E D

G

C

F

B 3.（几何证明选讲选做题）如图4，点A,B,C是圆O上的点， 且

AB?4,?ACB?450， 则圆O的面积等于 ．

4. 如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D．若CD?27，AB=BC=3，则BD的长为 ；AC的长为 ．

B ' P

D 二、解答题

5. 如图，设矩形ABCD（AB>AD）的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后，交DC于点P. 设AB=x, 求△ADP的最大面积及相应的x值.

C

A B

6. 如

★初中几何证明专题★

几何证明——中点模型(高级)

【经典例题】

例1、已知?ABC中，?ACB?90，AB边上的高线CH与?ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于

0P、Q两点，PM、QN的中点分别为E、F，求证：EF//AB。

AHNFQPECMB

例2、已知，D为AC边的中点，?A?3?C，?ADB?45?求证：AB?BC。

BADC

例3、已知FC是正方形ABCD和正方形AEFG上的点F、C的连线，点H是FC的中点，连接EH、DH。 求证：EH?DH且EH?DH。

EFADHGBC

◆中点模型◆

1 ★初中几何证明专题★

例4、如图，在四边形ABCD中，AB?CD，E,F分别是BC,AD的中点，A,CD的延长线分别交EF的延长线G,H。 求证：?BGE??CHE.

GHAFDBEC

例5、如图，在?ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE?DF，过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于P。求证：?PAE??PBF。

CADBFEP

例6、如图，分别以?ABC的AC和BC为一边，在?ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，过点C作直线MN垂直于AB，交AB