运筹学图与网络分析思维导图

第5章 图论与网络分析

图的基本概念 最小支撑树问题 网络分析 最短路径问题 网络最大流问题

图论起源： 图论起源：哥尼斯堡七桥问题

A C B D C

A D B

问题：一个散步者能否从任一块陆地出发， 问题：一个散步者能否从任一块陆地出发，走过七 座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点？ 座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点？ 结论： 结论：每个结点关联的边数均为偶数

§1 图的基本概念

1. 图 由点和边组成，记作 由点和边组成，记作G=(V，E)，其中 ， ， V=(v1，v2，……，vn)为结点的集合， 为结点的集合， ， 为结点的集合 E=(e1，e2，……，em) 为边的集合。 为边的集合。 ， 点表示研究对象 边表示研究对象之间的特定关系

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2、图的分类 、

无向图，记作 无向图，记作G=(V，E) ， 图 有向图，记作 有向图，记作D=(V，A) ， 例1：哥尼斯堡桥问题的图为一个无向图。 ：哥尼斯堡桥问题的图为一个无向图。 例2：五个球队的比赛情况，v1 ：五个球队的比赛情况， v2 表示v1胜v2。 表示 有向图的边 称为弧 称为弧。

v5 v1 v4

v2

v3

e1

例

v1 e10 v6 e9 e8

e2 e5 e6 v5

v2 e3

最短路问题最短(通)路问题是最重要 的优化问题之一，例如各种管道 的铺设、线路的安排、厂区的布 局、设备的更新及运输网络的最 小费用流等。(最短距离、费时 最少、费用最省)

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一般的最短路问题描述：给定一个赋权有向图D=(V,A),对每一个弧a=(vi,vj),相应 地有权w(a)=wij,又给定D中的任何两个顶点vs和vt ,设P是 从vs到vt的路，定义路P的权是P中所有弧之和，记为w(P), 最短路问题就是要在所有从vs到vt的路中，求一条权最小的路， 即一条从vs到vt的路P0使得：

(P0 ) min (P)P

路P0的权称为从vs到vt的距离，记为d(vs,vt)。

求网络上的一点到其它点 的最短路 Dinkstra标号法

这是解决网络中某一点到其它点的最 短路问题时目前认为的最好方法。 适用于有向图权值非负的情况

有向图权值非负---- Dijkstra算法

Dijkstra算法的基本步骤(权值非负) 1、给顶点v1标号(0),v1称为已

第6章 图与网络分析 §6.1 图的基本概念

§6.2 树图和图的最小部分树 §6.3 最短路问题

§6.4 网络的最大流 §6.5 最小费用流

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引 言图论是运筹学的一个经典和重要的分支，它起源于欧拉 (Euler)对七桥问题的抽象和论证。 1936年，匈牙利数学家柯尼希(Kö nig)出版了图论的 第一部专著《有限图与无限图理论》,竖立了图论发展的第 一座里程碑。 此后，图论进入发展与突破的快车道，所研究的问题涉 及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、 通讯与网络技术等诸多领域。近几十年来，由于计算机技术 和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的 理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生 物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。

图论研究点与边的连接关系、一笔画问题、通路、最短 路、最大流量。而诸如“四色问题”,“旅行商问题”等世 界著名的难题都属于图论的研究范畴。第2页

§6.1 图的基本概念运筹学中研究的图是生活中各类图的抽象概括, 它表明一些研究对象和这些对象之间的相互关系。 用点表示研究对象，用边表示这些对象之间的联 系，

图与网络分析

第5章 图与网络分析( Graph Theory and Network Analysis )

图的基本概念与模型树 最短路问题

网络的最大流最小费用流 应用举例

图与网络分析

第一节 图的基本概念与模型近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题—穿过 Königsberg城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。 这就是著名的“哥尼斯堡 7 桥”难题。Euler1736年证明了不 可能存在这样的路线。

Kö nigsberg桥对应的图

图与网络分析

一、图基本概念例1、有甲、乙、丙、丁、戊五个球队， 它们之间比赛的情况也可以用图表示出来。V5 e5 e4 e6 e7 e2 e3 V3 V4

V1e1 V2

图与网络分析

例2 某单位储存八种化学药品，其中某些 药品是不能存放在同一个库房里的。为了反映 这个情况可以用点V1,V2,……V8分别代表这八 种药品，若药品Vi和药品Vj是不能存放在同 一个库房的，则在Vi和Vj之间连一条线。V2 V1 · V8 V3 V4 V5

V6 V7

图与网络分析

一般地，当用图论研究一个实际问题时， 常以顶点(Vertex)表示要研究的对象，以 它们之间的连线，表示

图形与几何思维导图

几何图形可以分为基本图形和复合图形两部分.基本图形包括直线形和圆，其中直线形包括相交线和平行线、三角形与四边形.对于基本图形性质的研究是图形研究的基础，也是学生在《图形与几何》学习中最重要的内容.复合图形是指由两个或两个以上的基本图形所构成的几何图形.研究复合图形就是要研究几个基本图形之间的位置关系.研究复合图形就要理解它，因此就需要图形思维：明确它是如何生成的.图形生成过程的教学价值在于让学生能够从思维层面上去感知复合图形是如何得到的，而不是去观察老师提前画好的几何图形.

图形的变化就是从运动、变化的观点去研究几何图形，包括轴对称、平移、旋转、相似和投影.将几何图形按着某种法则或者规律变换成另一个图形的过程叫几何变换.几何变换既是一种思维，也是一种方法,从几何变换的角度理解图形、研究图形，相比较对静态图形的研究方法，这是一种观念性的变化.在这种观念指导下，学生们研究几何问题时，就可以尝试将复合图形中的基本图形平移、旋转、翻折等，在运动变化的过程中获得新的复合图形，从而使得问题得到及解决.

图形的代数化是指用代数的方法来研究几何图形.《图形与坐标》是最基本的几何元素的代数化，这个问题的研究让学生第一次感受到平面解析几何的思维方法

思维导图学英语

英语也就这么回事

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很多同学觉得画思维导图很麻烦，其实用思维导图背课文有很多优势：文章结构一目了然：思维导图能够让大家从总体上把握文章结构；关键词形象化：思维导图背课文通过提取关键词使之形象化，是思考的记忆过程，而非死记硬背。那么接下来就以实例解说一下。

An exciting trip 激动人心的旅行I have just received a letter from my brother, Tim. He is in Australia. He has been there for six months. Tim is an engineer. He is working for a big firm and he has already visited a great number of different places in Australia. He has just bought an Australian car and has gone to Alice springs, a small town in the centre of Australia. He will soon visit Darwin. From there, he will

思维导图的学习与培训

导语：

思维导图在许多场合下被验证是非常有效的思维辅助工具，它可以帮助学生成长，把知识记忆的更加牢固，从而间接提升学习成绩。一起来学习思维导图的培训教程吧！

学生用什么思维导图软件好？

思维导图软件有很多，MindMaster思维导图软件只是其中一款，为什么只推荐它呢？其实思维导图软件功能操作都差不多，但是要适合学生的话，从各方面来比，性价比最好的还是MindMaster。

MindMaster是可以免费使用的思维导图软件，软件内置海量剪贴画素材，还有大量的模板，精美的配色与样式，想要不漂亮都难。它还可以一键分享到微信、微博、Facebook等社交平台供好友直接网页打开阅读，也可以导出JPG、PNG、PDF、Office等多种格式进行保存。

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用思维导图复习初中语文，轻松提高学习成绩

大家都知道语文学科的学习，是需要扎实的基本功和积累的阅读量，而这些都不是一蹴而就的。随着中高考制度的改革，语文学科的分值比重越来越大，学生与家长对语文的重视程度也随之增加。

小学的基础学完之后，到了初中深一步的学习语文，这三年的

目标分解思维导图

思维导图原理： 大脑思维模式(见图一)

思维导图作用(见图二)

图一：

图二：

给目标织网 运用图象和网络般的联想， 在教练工具指导下， 捕捉智慧，提取智慧，固化智慧。 用问题引出早已潜藏在你心中的答案， 释放令人难以置信的潜在想象力和联想力。

二、目标分解思维导图应用：

制订战略流程 预演投资风险 制订项目管理方案

挖掘可能性 解惑障碍 谈判思维

创造理想未来

……

LOGO

三、目标分解思维导图方法：

??? 剥洋葱法

层层找出核心目标的外层 所有的答案都在我们心中 问题是寻找答案的指南针 通过对目标的 上堆(寻找价值观) 下切(具体方法) 横阔(可能性) 直至所能执行的第一层(步)

目 标 进 行 下 切 。

四 、 往 下 一 级 分 解 时 先 找 出 重 要 的 分 解

标 作 为 补 充 。

段 分 解 ， 并 留 出 至 少 三 个 横 阔 目

三 、 找 出 所 有 横 阔 问 题 之 后 再 进 行 下 一

这 个 目 标 之 前 必 须 具 备 什 么 ？

二 、 运 用 教 练 问 题 问 出 第 一 层 ： 实 现

价 值 观 和 愿 景 。

一 、 从 中 心 开 始 ， 确 立 目 标 ， 并 上 堆 出