一道数学题思考超过多久该放弃?

一道中考数学题的解法探讨

新丰县第三中学李建中

电话13112022978 邮编511100

【摘要】随着基础教育改革的深入,社会越来越重视学生的探索能力的培养,要求学生能在复杂变化的背景中观察和探索出一般规律。要让学生进行正确的数学计算，不仅要求学生对有关的数学概念、性质有透彻的理解，而且还要重视培养学生的观察能力，发现规律能力，模仿能力和思维方法能力，这也是对学生进行智能培养的重要环节。

【关键词】中考试题 探讨 培养 能力

数学是一门科学，学数学是锻炼一个人的思维品质，解数学题是一个人的观察能力，模仿能力，探究能力和思维方法的综合体显，数学中培养学生的数学思想是解探究题的关键，多年来我省中考试题都出现阅读探究题，如 2010年广东省初中毕业生学业考试数学试题，第五题第（21）小题从审题，分析，解题中引起我们的一些思考.。 一，题目的出现：

第五题第（21）小题如下： 21．阅读下列材料：

1312×3 = (2×3×4－1×2×3)，

313×4 = (3×4×5－2×3×4)，

31×2 = (1×2×3－0×1×2)，

由以上三个等式相加，可得

1×2＋2×3＋3×4= ×3×4

对一道经典数学题的多角度思考

何为数学经典题目？数学经典题目就是经过历史选择出来的最有价值的经久不衰的题目 。每个经典题目，都经得起人们的拷问和时间的考验；每个经典题目，总是蕴含着某种重要的数学思想和方法；每个经典题目，总有其独特的教育价值和教学功能；每个经典题目，都能穿越时间的深度和厚度而又最终超越时间经久弥新、与时俱进。数学教科书上的例习题有不少题目堪当经典，本文以其中一道经典题目为例，说明经典题目在复习教学中的潜能挖掘与应用，以期抛砖引玉。

题目 已知，且，求证。

不等式选讲人教

版第十页习

本题目是普通高中课程标准实验教科书数学选修

题

第11题。这是一道经典的条件不等式证明题，解题入口宽、方法多样，对本题进行一

题多解训练，可达到举一反三触类旁通，解读一题沟通一片以点带面的复习效果。

证法1（配方法）因为所以

，所以

，

，

所以

时等号成立。

，当且仅当且且，即

点评 本解法先消元，将表示成只含的二次式，并将此式当作是以为

主元的二次三项式进行配方，再将配方后余下的部分再次配方，然后用实数平方的非负性，

从而使问题得到解决。

证法2（构造二次函数）因为于是

，所以

，

，

故当时，最小，此时，

所以，

所以，当且仅当时等号成立。

点评 本解法通过构造函数将不等式证明问题转化为

1. 在乘积1×2×3×4×............×698×699×700中,末尾只有( )个零。

A.172 B.174 C.176 D.179

------------------------------------------ 【天字一号解析】

此题我们现需要了解0是怎么形成的，情况只有1种，那就是5跟一个偶数相乘就可以构成一个0， 但是还要注意25算几个5呢？ 50算几个5呢？ 125算几个5呢，具有几个5 主要是看他能否被几个5的乘积整除， 例如 25＝5×5

所以具有2个5，

50＝2×5×5 也是2个5 125＝5×5×5 具有3个5

方法一：

我们只要看 700个数字里面有多少个5的倍数 700/5=140

还不行 我们还要看有多少25的倍数 700/25=28

还要看有多少125的倍数 700/125=5

625的倍数： 700/625=1 其实就是看

700

里有多少的

5^1,5^2,5^3,5^4……5^n 5^n必须小于700

所以答案就是 140＋28＋5＋1＝174

方法二：

原理是一样的，但是我们可以通过连除的方式不听的提取5的倍数 直到商小于5

1. 在乘积1×2×3×4×............×698×699×700中,末尾只有( )个零。

A.172 B.174 C.176 D.179

------------------------------------------ 【天字一号解析】

此题我们现需要了解0是怎么形成的，情况只有1种，那就是5跟一个偶数相乘就可以构成一个0， 但是还要注意25算几个5呢？ 50算几个5呢？ 125算几个5呢，具有几个5 主要是看他能否被几个5的乘积整除， 例如 25＝5×5

所以具有2个5，

50＝2×5×5 也是2个5 125＝5×5×5 具有3个5

方法一：

我们只要看 700个数字里面有多少个5的倍数 700/5=140

还不行 我们还要看有多少25的倍数 700/25=28

还要看有多少125的倍数 700/125=5

625的倍数： 700/625=1 其实就是看

700

里有多少的

5^1,5^2,5^3,5^4……5^n 5^n必须小于700

所以答案就是 140＋28＋5＋1＝174

方法二：

原理是一样的，但是我们可以通过连除的方式不听的提取5的倍数 直到商小于5

A B E

D C

方法一：

A B E F

D C

题目：

已知：四边形ABCD是正方形 ∠BAE=∠ABE=15° 求证：△EDC是正三角形

做辅助线：

找点F，使得∠FBC=∠FCB=15°连接EF

∵BF=CE，∠EBF=60° ∴△BEF是正三角形 ∴EF=BF

∴△BFC ∽ △EFC ∴∠BCF=∠ECF=15°

∴∠ECD=60° ∴△EDC是正三角形 方法二：

M

A N B E

D C

做辅助线：

以AB为一边做∠MAB， 使∠MAB=60°

过E点做AB垂线，交点是M、N ∵∠MAB=60° ∴AN=1/2AM=1/2AD ∵∠AEN=75°

∠MAE

这，这题应该选什么嘛！最讨厌数学了，真烦！”考场上，我们正面临着一个个难以下笔的数学选择题。人生处处是考场”。而生活中，隐藏着世上最难的选择题道德难题”。它只有两个选项，是”与非”。

有一次秋游前，赵晶宇兴奋地对我说：章晨宵，这次秋游你和我坐一起。”我看了看她激动的脸，爽快地说：当然可以啦！”就在秋游的前一天，女生们都用乞求的语气问我：章晨宵，你和周新然坐好不好？”我好想跟周新然坐啊，可脑子里那响亮的誓言又回荡起来，左右两难，心里一阵阵的波浪，让我很难受。难道这就是我们常说的道德难题”吗？我要做一个诚实守信的人！我不禁想起了《中彩那天》中的情节。于是，我向每人都赔了一个笑脸，说了一声：对不起，我已经答应赵晶宇了。”

从那一天开始，我发现自己又向着道德迈近了一步。以后，我也遇到了很多类似的小事。我做出决定时，也不像从前那么难了作文。可是，又发生了一件事

我才不去！我真的不知道！呜呜＂我呜咽着对妈妈喊道。原来，昨天妈妈得知我不带被子就去住校后，生气地打来电话，说让我星期五一个人住学校里，下星期也全都住。吵闹中，我只听到下星期全住，就答

众所周知,数学命题工作是一项艰苦细致、严谨周密的工作,难免夹杂着一些值得商榷、乃至错误的题目。本文就一道最近广为流传的联考试题进行分析、探讨,以期引起读者注意和参考。

维普资讯

20年第 8期 05

中学教研 (数学 )

3 1

研究心樽 ,研究心樽 研究心得 研究心得 研究心得 研究心得， 研究心樽 研究心得 ,研究心得 研究心得 研究心得 研究心得搴锛 ..事锛 .

由一

道联

考试题

引发

的思

考

●卑华师附番学 54 )胡 (北昌小塔中 4 1)蔡喜(南大中禺校 14●兵湖宜市溪高 4o 12 3o研兜心得 研兜心得 研兜心得 研兜心彳耳 研兜心得 研兜心佴 研兜心得 研兜心彳导 研兜心得 研兜心得 研宛心得 研兜心得

众所周知，数学命题工作是一项艰苦细致、严谨周密的工作，难免夹杂着一些值得商榷、乃至错误的题目本文就一道最近广为流传的联考试题进行 .分析、探讨，以期引起读者注意和参考.艇 1已知三棱锥 . A C的底面是正三角形。 s B—

=

÷口i+,一 s 0 O 1cO B n 2 o) (

=

芋【n-)] as0+. i詈 1 2(口.

点 A在侧面 S C上的射影日是△ c的垂心，A= B船

儿子，你过来，题我批完了！”爸爸手里拿着我刚做完的数学题。

肯定全对，我急忙跑过去，拿起我的作业，嗯？怎么会错两道题呢？啊！把除法数学题，看成了乘法。

我一脸的不在乎：看错题了，不小心马虎了！”

爸爸看见我这样的态度，用手猛砸家里的小黑板：做任何事情都需要仔细，不能马虎，知道吗！”

我的脸通红，感到作文非常羞愧，一声不吭地站在屋子中间。一会儿，爸爸拿了一把椅子，拍拍我的肩膀：小伙坐下！”

爸爸说：做题一定要认真仔细，就像家里的煤气，一但马虎忘关阀门，就会酿成不可估计的后果。”

我仔细听着，心里暗暗地告诉自己，要养成认真仔细的习惯，无论在学习或生活方面，都要对自己严格要求。

爸爸的话，深深地印在了我的心里。

外面下着小雨，天上的云朵黑漆漆的，仿佛一张阴沉的脸。大风吹打着树枝，发出沙沙”的声音，十分吓人。

妈妈此时正拿着我的作业本检查，我的手心不停地冒着冷汗，神经紧绷，生怕写错了什么。

杨许俊杰！”妈妈用她那阴沉沉的脸盯着我，语气低沉，你自己看！”

我拿过作业本一看，一个大大的×”印在了我的作业本上，红色的墨汁的×”栩栩如生，仿佛直直地朝着我飞过来。

妈妈狠狠地指着那道题：你这样怎么能是官方答案呢？正确答案应该是”

我马上抢过妈妈的话，不解地歪了歪头：不对啊，这个答案也可以啊！你说的答案和我的答案意思是一样的，可以写！”

可以什么可以！”妈妈又开始河东狮吼”了，正确答案就是它，什么意思一样，参考答案才是正确的。”

为了避免和妈妈争吵，我不情愿地拿过作业本，敷衍地写下了她说的答案。

你别不情愿，错了就是错了，还说我不对，小心我打你”

我知道了作文！”我生气地把本子往地上一扔，大吼了一声，怒气冲冲地跑回自己房间，啪嗒”一声锁上门，对着床发泄脾气。

为什么非要我写参考答案。难道我自己的答案就不行吗

高考理科数学

一道高考题的推广与探究

章 君

福建师范大学数学与计算机科学学院2010级数学与应用数学专业（350108）

1问题的呈现与剖析

问题 （2006 年高考全国卷（Ⅱ）·理22）设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2 anx an 0，有一

2，3， ， 根为Sn 1，其中n 1，

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）求{an}的通项公式．

解析（Ⅰ）略．

2

2Sn 1 anSn 0． （Ⅱ）由题设(Sn 1)2 an(Sn 1) an 0，即Sn

又当n 2时，an Sn Sn 1，代入上式得：SnSn 1 2Sn 1 0①．

1112

由（Ⅰ）知：S1 a1 ，S2 a1 a2 ．

22633n

从而由①可得：S3 ，由此猜想Sn (n N*)．

4n 1

下面用数学归纳法证明上述猜想（略）．

评析 本题第（Ⅱ）问是求数列通项的问题．问题本身看似容易，题意也似乎比较容易理解，但实则不然，解起来难度较大，原因在于大多数考生在得到①式之后，无法采用常规方法对其中的Sn直接进行求

a2值的特征而联想到数学归纳法，那么本题就很难得出最终的结果． 解，一旦没有发现a1，

基于此，笔者对①式中Sn的求法作了深入的探究，并将其推广至一般的情形． 2 问题的推广与解决

①式中Sn