线性系统的能控性与能观测性

用约当规范形判别线性系统的能控性

赛耀樟

控制科学与工程学院 检测技术与自动化装置 2009010189

摘要：

60年代初期卡尔曼提出了能控性和能观测性概念。能控性和能观测性分别是从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭示了控制系统的两个基本属性。现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性和能观测性为存在条件的。

一 能控性约当规范形判据内容

线性定常系统的能控性约当规范形判据

??Ax?Bu,xx(0)?x0,t?0(3) 线性定常系统状态方程

x为n维状态向量,u为p维输入向量,A,B为n?n,n?p常阵.

??1? （1）当矩阵A的特征值两两互质时 ?? ?2?x?Bu???x ?????

?n??

中,B不包含元素全为零的行.

(2)当矩阵A的特征值为?1(?1重),?2(?2重),?,?l(?l重),

且?1??2?????n时,由?3?导出的约当规范形 ??x?u??A??Bx

???B?J1? 1?????J2 ??????B2??其中:AB n?nn?p?????????? ?J?l?,??Bl??

线性系统的能控性判据分析

摘要：能控性是线性系统的一个基本结构特征，它的出现对于系统控制和系统估计问题的研究具有重要意义。本文主要讨论线性系统的能控性判据。其中，能控性的判据分析有很多种方法，最常用的及时约旦标准型方法。

一：问题的提出

设计一个线性系统，我们总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。因此，判断一个系统能控性问题就显得尤为重要。能控性是从状态的控制能力方面来揭示了控制系统的一个基本属性。现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性为存在条件的。 1. 能控性定义 能控性的直观讨论

从状态空间的角度进行讨论：输入和输出构成系统外部变量,状态为系统内部变量。能控性主要看其状态是否可由输入影响。每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,由任意的始点到达原点,为能控,反之为不完全能控。具体来说就是指外加控制作用u(t) 对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。 二：问题的解决

我们利用线性系统的能控性判据来判断其能控性。

设线性定常系统状态方程为：

??Ax?Bu,xx为n维状态向量x(0)?x0,t?

第三章 线性系统的能控性和能观测性3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 线性系统能控性和能观测性的概念 线性定常连续系统的能控性 线性离散系统的能控性 线性定常系统的输出能控性 线性定常连续系统的能观测性 线性定常离散系统的能观测性 对偶原理 能控性和能观测性与传递函数的关系 线性定常系统结构分解 最小实现

教学要求： 1.正确理解定常和离散系统可控性与可观测 性的基本概念与判据。 2.熟练掌握能控标准型与能观测标准型。 3.掌握对偶原理，规范分解方法。 4.理解传递函数的实现问题， 重点内容： 能控、能观测的含义和定义。 定常系统的能控、能观测的各种判据。 线性变换的不变性。 实现与最小实现的特点和性质。2

3.1

线性系统能(可)控性和能(可)观测性的概念 研究系统的目的:更好地了解系统和控制系统。 含义1: 控制作用: 对状态变量的支配 能控性。 系统输出能否反映状态变量 能观测性。 含义2: 能控性:能否找到使任意初态 确定终态。 能观测性:能否由输出量的测量值 反映各状 态。

多变系统两个基本问题: ① 在有限时间内,控制作用能否使系统从初始 状态转移到要求的状态? ② 在有限时

现代控制理论的讲义,从介绍现代控制理论的基础出发,详细介绍控制理论中的常用方法。最后有控制理论的习题和解决问题的专题讨论

第三章 线性控制系统 的能控性与能观性

现代控制理论的讲义,从介绍现代控制理论的基础出发,详细介绍控制理论中的常用方法。最后有控制理论的习题和解决问题的专题讨论

例

分析下列系统的能观测性y (t ) 0 4 5 x (t )

7 x (t ) x ( t ) 5 ( 1) 1 7 x (t ) x ( t ) 5 ( 2) 1

3 2 0 y (t ) x (t ) 0 3 1

现代控制理论的讲义,从介绍现代控制理论的基础出发,详细介绍控制理论中的常用方法。最后有控制理论的习题和解决问题的专题讨论

( 3) 3 1 0 0 3 1 (t ) 0 0 3 x (t ) x 2 1 0 2 2 1 0 2 x (t ) (t ) ( 4) x 3 3 0 3

1 1 1 1 0 y (

第三章 广义系统的能控性和能观性

能控性和能观性是从控制和观测角度表征系统结构的两个基本特性。自卡尔罗(R.E.Kalman)

在20世纪60时代初，引入这两个概念以来，已经证明了他们对于系统控制和系统估计问题的研究具有基本的重要性。在正常系统中，能控性问题是研究系统的内部状态能否由控制输入

完全影响的问题，而能观性问题是研究系统的输入和输出是否完全反映系统状态的问题。

本章将正常系统中的能控性和能观性概念推广到广义系统，较为系统地讨论广义系统的能控性和能观性的基本概念和基本属性，主要包括能达、能控和能观的定义、判据及规范型，系统的结构分解以及实现问题。如同在正常系统中一样，它们刻画了广义系统的结构性质，并因此构成了广义系统设计的理论基础。

3.1 能达性

在状态空间方法中，一个系统的状态向量完全刻画了系统的运动，因而简单地说，要掌握系统的运动规律，只要把握其所有状态就可以了。

一个状态能达性：对连续时间线性时变系统 x?A(t)x?B(t)u,t?J和指定初始时刻

t0?J，如果存在一个时刻,以t1?J,t1?t0及一个无约束的容许控制u(t),t?[t0,t1],使系统状态由x(t0)?0转移到x(t1)?xf，则称非零状态xf在时刻t0为

现代控制理论

第3章 控制系统的能控性和能观测性在多变量控制系统中，能控性和能观测性是两个反映控制系统 构造的基本特性，是现代控制理论中最重要的基本概念。 本章的内容为： 1. 2. 3. 4. 引言——能控性、能观测性的基本概念 能控性及其判据 能观测性及其判据 离散系统的能控性和能观测性

5.

对偶原理

现代控制理论

6. 7. 8. 9. 10.

能控标准形和能观测标准形 能控性、能观测性与传递函数的关系 系统的结构分解 实现问题 使用MATLAB判断系统的能控性和能观测性

现代控制理论

3.1

引言

首先，通过例子介绍能控性、能观测性的基本概念。

例3-1 电路如下图所示。如果选取电容两端的电压 u C 为状态变量， u (t ) x 。C 电桥平衡时，不论输入电压 u 即： 如何改变， x ( t ) u C 不随着 u (t ) 的变化而改变，或者说状态变量不受 u (t ) 的控 制。即：该电路的状态是不能控的。 显然，当电桥不平衡时， 该电路的状态是能控的。

现代控制理论

例3-2 电路如下图所示，如果选择电容C1、 C2两端的电压为状态 x 变量，即： 1 u C 1 , x 2 u C 2 ,电路的输出 y 为C2上的电压， 即 y

令狐文艳创作

实验报告

令狐文艳

课程线性系统理论基础实验日期年月日

专业班级姓名学号同组人

实验名称系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现评分

批阅教师签字

一、实验目的

加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。

1、系统的能观测性、能控性分析；

2、系统的稳定性分析；

3、系统的最小实现。

二、实验内容

（1）能控性、能观测性及系统实现

（a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。

gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf,

令狐文艳创作

令狐文艳创作

令狐文艳创作 minreal ；

（b ）已知连续系统的传递函数模型，

182710)(23++++=s s s a

s s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；

（c ）已知系统矩阵为

??????????--=2101013333.06667.10666.6A ，??????????=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性；

（d ）求系统1827101

)(23++++=s s s s s G 的最小实现。

（2）稳定性

（a ）代数法稳定性判据 已知单位反馈系统的开环传递函数为：

)20)

令狐文艳创作

实验报告

令狐文艳

课程线性系统理论基础实验日期年月日

专业班级姓名学号同组人

实验名称系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现评分

批阅教师签字

一、实验目的

加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。

1、系统的能观测性、能控性分析；

2、系统的稳定性分析；

3、系统的最小实现。

二、实验内容

（1）能控性、能观测性及系统实现

（a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。

gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf,

令狐文艳创作

令狐文艳创作

令狐文艳创作 minreal ；

（b ）已知连续系统的传递函数模型，

182710)(23++++=s s s a

s s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；

（c ）已知系统矩阵为

??????????--=2101013333.06667.10666.6A ，??????????=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性；

（d ）求系统1827101

)(23++++=s s s s s G 的最小实现。

（2）稳定性

（a ）代数法稳定性判据 已知单位反馈系统的开环传递函数为：

)20)

三、 多输入多输出系统的标准形

旺纳姆（Wonham）标准形和龙伯格（Luenberger）标准形。 1.多输入多输出系统的能控标准形

考虑线性定常系统

Σ:??Ax?Buxy?Cx

x为n维状态向量，u为p输入向量，y为q维输出向量

如果系统能控，则系统的能控性矩阵的秩为n，即Q中有n个线性无关列。

cQc?[b1b2?bp?Ab1Ab2?Abp???An?1b1An?1b2?An?1bp]

对多输入系统，p?1，Qc中有np列，所以，在Qc中可以找出很多种n个线性无关列的情况。这里介绍两种寻找

n个线

性无关列的方法，以构成状态变换阵，将状态空间描述形式变换为旺纳姆能控标准形和龙伯格能控标准形。

定理 [旺纳姆能控标准形]对完全能控的线性定常系统，存在线性非奇异变换

?1x?Px?Qx

使状态空间表达式转化为旺纳姆能控标准形

ΣcW:式中

??Ax?Buxccy?Ccx

?A11?0Ac?Q?1AQ??????0?

A12?A22

Cahn Hilliard的论文

Free Energy of a Nonuniform System. I. Interfacial Free EnergyJohn W. Cahn and John E. Hilliard Citation: The Journal of Chemical Physics 28, 258 (1958); doi: 10.1063/1.1744102 View online: /10.1063/1.1744102 View Table of Contents: /content/aip/journal/jcp/28/2?ver=pdfcov Published by the AIP Publishing Articles you may be interested in Lennard-Jones systems near solid walls: Computing interfacial free energies from molecular simulation methods J. Chem. Phys. 139, 084705 (2013); 10.1063/1.4819061 Bcc crysta