简单线性规划求最值

简单线性规划解法要略

线性规划是解决现实生产、生活中,在有限的人力、物力、财力等情况下,获得最大利润、最节约资源等最优问题的一种方法,所以它有着广泛的应用性;另外,线性规划是联系几何知识和代数知识的交汇点，是数形结合思想的集中体现.二元一次不等式表示的平面区域,充分体现了方程和不等式的相互联系；是高中数学的重要内容.近几年全国各地高考题中,几乎每份试卷都有对这部分内容的考查.本文结合典型试题进行分类解析，希望能对同学们有所启发和帮助. 一﹑解线性规划问题的步骤：

①寻找线性约束条件，线性目标函数；

②作图，由二元一次不等式组表示的平面区域作出可行域； ③理解目标函数：（1）直线形；（2）距离型；（3）斜率型. 结合目标函数，求出最优解； ④检验，考虑实际意义。

二﹑二元一次不等式表示的平面区域：

1.在平面直角坐标系中，设有直线Ax+By+C=0（B不为0）及点

P(x0,y0)，(1)若B>0，Ax+By+C>0，则点P在直线的上方，此时

不等式 Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的上方的区域； (2)若B>0，Ax+By+C<0，则点P在直线的下方，此时不等式

Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0的下方的区域；

(3) 若B<0, 我们都把Ax+By+C>0（或＜0）中y项的系数B化为正值.

2.直线方程有时候是斜截式给出的,

简单线性规划解法要略

线性规划是解决现实生产、生活中,在有限的人力、物力、财力等情况下,获得最大利润、最节约资源等最优问题的一种方法,所以它有着广泛的应用性;另外,线性规划是联系几何知识和代数知识的交汇点，是数形结合思想的集中体现.二元一次不等式表示的平面区域,充分体现了方程和不等式的相互联系；是高中数学的重要内容.近几年全国各地高考题中,几乎每份试卷都有对这部分内容的考查.本文结合典型试题进行分类解析，希望能对同学们有所启发和帮助. 一﹑解线性规划问题的步骤：

①寻找线性约束条件，线性目标函数；

②作图，由二元一次不等式组表示的平面区域作出可行域； ③理解目标函数：（1）直线形；（2）距离型；（3）斜率型. 结合目标函数，求出最优解； ④检验，考虑实际意义。

二﹑二元一次不等式表示的平面区域：

1.在平面直角坐标系中，设有直线Ax+By+C=0（B不为0）及点

P(x0,y0)，(1)若B>0，Ax+By+C>0，则点P在直线的上方，此时

不等式 Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的上方的区域； (2)若B>0，Ax+By+C<0，则点P在直线的下方，此时不等式

Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0的下方的区域；

(3) 若B<0, 我们都把Ax+By+C>0（或＜0）中y项的系数B化为正值.

2.直线方程有时候是斜截式给出的,

教案

1.图中表示的区域满足不等式( )

A.2x+2y－1＞0 B.2x+2y－1≥0

C.2x+2y－1≤0 D.2x+2y－1＜0

2.下列各图中表示的区域是不等式3x+2y+6≥0的解的是(

)

3.不等式组 x 0

表示的区域是(

y 0

)

4.不等式组 x 2

x y 3 0表示的平面区域是(

)

教案

参考答案：1.B 2.C 3.C 4.D

线性规划求最值问题

一、与直线的截距有关的最值问题

?x?2≤0，?例1 已知点P(x，y)在不等式组?y?1≤0，表示的平面区域上运动，则z?x?y的

?x?2y?2≥0?取值范围是（ ）． （A）［－2，－1］ （B）［－2，1］

（C）［－1，2］ （D）［1，2］

解析：由线性约束条件画出可行域如图1，考虑z?x?y， 把它变形为y?x?z，这是斜率为1且随z变化的一族平行 直线．?z是直线在y轴上的截距．当直线满足约束条件且 经过点（2，0）时，目标函数z?x?y取得最大值为2；

直线经过点（0，1）时，目标函数z?x?y取得最小值为－1．故选（C）．

注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y的取值范围为［?1，2］更为简单．这需要有最值在边界点取得的特殊值意识．

二、与直线的斜率有关的最值问题

?x?y?2≤0，y?例2 设实数x，y满足?xc?2y?4≥0，，则z?的最大值是__________．

x?2y?3≤0，?

解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC（如图2），z?yx?y?0x?0表示两点

要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜

篇一：典型例题：简单的线性规划问题

典型例题

【例1】求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.

【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?

参考答案

例1：

【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.

【解】｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为

或其平面区域如图：

或或

∴面积S=×4×4=8

【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.

例2：

【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.

【解】设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么

z=252x+160y，

作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图

作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.

观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满

简单的线性规划问题（1）

三维目标

知识与能力：了解线性规划的常用术语、掌握确定二元一次不等式所表示的平面区域得方法

过程与方法：通过实例介绍线性规划的常用术语，利用二元一次方程将平面分成两部分进而确定二

元一次不等式所能表示的平面区域

情感态度与价值观：通过学习，激发学生探索欲望、热爱数学学习的激情，引导正确的价值观、人

生观，使学生不断建立信心，成为自主学习的真正主体。

教学过程： 一．创设情景

我们先考察生产中的遇到的一个问题：

某工厂生产甲、乙两种产品，生产1吨甲种产品需要A种原料4吨、B种原料12吨，产生的利润为2万元；生产1吨乙种产品需要A种原料1吨、B种原料9吨，产生的利润为1万元。现在库存A种原料10吨、B种原料60吨，如何安排生产才能使利润最大？ 为理解题意，可将已知数据整理成下表： 甲种产品（1吨） 乙种产品（1吨） 现在库存（吨） A种原料（吨） B种原料（吨） 4 12 1 9 10 60 利润（万元） 2 1 设计划生产甲、乙两种产品的吨数分别为x,y，利润为P（万元）。根据题意，A,B两种原料分别不得超过10吨和60吨，又常量不可能是负数，于是可得二元一次不等

“简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5,进入了高考试题,并且保持了较大的考察比例,几乎是每年高考的必考内容,也是高中数学教学的一个难点。

简单线性规划问题的几种简单解法

依不拉音。司马义（吐鲁番市三堡中学，838009）

“简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5，进入了高考试题，并且保持了较大的考察比例，几乎是每年高考的必考内容，也是高中数学教学的一个难点。

简单的线性规划是指目标函数只含两个自变量的线性规划。简单线性规划问题的标准型为：

A1x B1y C1 0( 0) A2x B2y C2 0( 0)约束条件 ,(m N ),目标函数 z Ax By，

Amx Bmy Cm 0( 0)

下面介绍简单线性规划问题的几种简单解法。

1. 图解法

第一步、画出约束条件表示的可行区域，这里有两种画可行区域的方法。

⑴代点法：直线Ax+By+C=0（c不为0）的某侧任取一点，把它的坐标代入不等式，若不等式成立，则不等式表示的区域在该点的那一侧；若不成立，则在另一侧。

⑵B判别法：若Ｂ＞0（＜０），则不等式Ax+By+C＞0（＜０）表示的区域在直

线Ax+By+C＝0的上方；若Ｂ＞０（＜０），则不等式Ax+By+C＜０(＞0)表示的区域在直线Ax+B

3.3.2简单的线性规划问题（1）

班级 姓名 学习目标:（1）了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值。 （2）已知目标函数最值求相应的参数值或参数范围 学习过程：

（一）复习引入：

某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有的日生产安排是什么？

进一步：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

（二）新课讲授

1、概念引入:

[来源:学科网ZXXK]

?x?2y?8,?4x?16,??（1）若z?2x?3y，式中变量x、y满足上面不等式组?4y?12,，则不等式组叫做变

?x?0???y?0量x、y的 ，z?2x?3y叫做 ；又因为这里的z?2x?3

简单的线性规划常见题型

第Ⅰ类 求线性目标函数的最值(z?ax?by截距型)

?x?4y??3?例1.设x,y满足约束条件?3x?5y?25，求z?5x?2y的最值

?x?1?解：可行域是如图所示中?ABC的区域，得A(5,2),B(1,1),C(1,

22) 5作出直线L0：5x+10y=0，再将直线L0平移, 当L经过点B时，y轴截距最小，即z达到最小值，得zmin?7. 当L经过点A时，y轴截距最大，即z达到最大值，得zmax?29,所以最大值是29，最小值是7

?x?y≥0，?小试牛刀:1、若x，y满足约束条件?x?y?3≥0，则z?2x?y的最大值为

?0≤x≤3，??x?y??1,?2、设变量x,y满足约束条件?x?y?1,则目标函数z?4x?y的最大值

?3x?y?3,?

?y?x?3、设变量x、y满足约束条件?x?y?2，则目标函数z?2x?y的最小值为

?y?3x?6??2x?y?4,?4、设x,y满足?x?y?1,则z?x?y的最值为________w.w

?x?2y?2,?第Ⅱ类 求可行域的面积

关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积，基本

篇一：4.3简单线性规划问题的实际应用教学反思.doc课后反思

4.3简单线性规划的实际应用教学反思

本节课是简单的线性规划的应用的延伸，通过上一节课的学习，学生们已经掌握了利用线性规划知识解决实际应用的一般方法。所以这节课的主要任务是巩固提高学生的应用能力，同时利用实际问题加强对德育目标的渗透。一下是对整个教学过程的反思：

一、 在教学过程中，首先复习了上一节课的内容，帮助学生巩固所学内容，其中在填空题部分，要求学生总结利用线性规划问题解决实际问题的一般方法，这个环节，虽然简单但很重要，如果对上节课的内容掌握不好，将直接影响这节课的讲课效果。通过抽查学生的导学案，看到学生对前一节课的掌握较好。练习1，练习2，更测试了学生的实际应用能力，这确保了本节课可以进入的新知识的讲授过程。

二、 这节课，我首先利用两个例题讲解资源配置问题，其中例一是以08年奥运会为背景的线性规划问题。通过这个例题，我们可以向学生渗透爱国主义教育，体现出我们民族的自信，开放等优秀品格。同时提到我们今年又成功申请冬季奥运会，是当今世界上唯一一个即申请了夏季奥运会，又申请了冬季奥运会的国家，足以让我们中国人引以为傲。看学生们的反应，显然例一学生解决的比例二更好一些。学生能更好的掌握