方程与不等式知识点归纳总结

【第一单元 数与式】

第1课时 实数

考点一实数的有关概念

1．数轴规定了_______、_______、_______的直线，叫做数轴．_____和数轴上的点是一一对应的．

2．相反数(1)实数a的相反数为_______；(2)a与b互为相反数?_________；(3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离________.

3．倒数(1)实数a的倒数是____，其中a____0；(2)a和b互为倒数?_______. 4．绝对值 在数轴上表示一个数的点离开_____的距离叫做这个数的绝对值．即一个正数的绝对值等于它_____，0的绝对值是___，负数的绝对值是它的_______. a ?a＞0???

即|a|＝?0 ?a＝0?

考点二实数的分类??－a ?a＜0?2．按正负分类 1．按实数的定义分类

?? ???整数?零自然数

?有理数??负整数实数?正分数有限小数或无

?分数?负分数限循环小数

?

正无理数

??无理数负无理数无限不循环小数

正整数??

?

??

??

?????

???

??

?????

???

实数??正整数?正有理数???正分数??正实数??正无理数?????? ?零 ?既不是正数也不是负数

不等式的知识要点

1.不等式的基本概念 2.不等式的基本性质 （1）a（2）a（3）a（4）a（5）a?b?b?a（对称性）

?b,b?c?a?c（传递性）

?b?a?c?b?c（加法单调性）

?b,c?d?a?c?b?d（同向不等式相加） ?b,c?d?a?c?b?d（异向不等式相减）

（6）a.?（7）a（8）ab,c?0?ac?bc

?b,c?0?ac?bc（乘法单调性）

?b?0,c?d?0?ac?bd（同向不等式相乘）

ab（异向不等式相除） ?cd(9)a?b?0,0?c?d?(10)a?b,ab?0?（11）a11（倒数关系） ?ab?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)（平方法则）

?0(n?N*)（开方法则）

（12）2na3.几个重要不等式

（1）非负式：若a?R,则|a|?0,a2?0；若a?0,则a?0. （2）若a、b?R?,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)（当仅当a=b时取等号）

（3）二元均值不等式：如果a,b都是正数，那么

ab?a?b（当仅当a=b时取等号）

.2常用为：a?b?2，ab?(a?b)2（当仅当a=b时取等号） ab（当仅当a=b时取等号）

2? 极值定理：若

不等式总结

一、不等式的主要性质：

(1)对称性：a b b a (2)传递性：a b,b c a c (3)加法法则：a b a c b c； a b,c d a c b d (4)乘法法则：a b,c 0 ac bc； a b,c 0 ac bc

a b 0,c d 0 ac bd

(5)倒数法则：a b,ab 0

11 ab

(6)乘方法则：a b 0 an bn(n N*且n 1) (7)开方法则：a b 0 a (n N*且n 1)

二、一元二次不等式ax2 bx c 0和ax2 bx c 0(a 0)及其解法

注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式

1.均值不等式：如果a,b是正数，那么

a b

ab(当且仅当a b时取" "号). 2

2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等

3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数），即

a b2（当

112 ab

a = b时取等）

四、含有绝对值的不等式

1．绝对值的几何意义：|x|是指数轴上点x到原点的距离；|x1 x2

必修五：不等式

知识点一：不等式关系与不等式

一、不等式的主要性质： (1)对称性：a?b?b?a (2)传递性：a?b,b?c?a?c (3)加法法则：a?b?a?c?b?c； a?b,c?d?a?c?b?d (4)乘法法则：a?b,c?0?ac?bc； a?b,c?0?ac?bc a?b?0,c?d?0?ac?b (5)倒数法则：a?b,ab?0?1?1ab

(6)乘方法则：a?b?0?an?bn(n?N*且n?1) (7)开方法则：a?b?0?na?nb(n?N*且n?1) 【典型例题】

1.已知a，b为非零实数，且a

A．a2

2.如果a?0，b?0，则下列不等式中正确的是（ ）

A．

122a?1b B．?a?b C．a?b D．a?b3. 已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：

（1）若ab>0，bc－ad>0，则ca－db>0；(2)若ab>0，ca－db>0，则bc－ad>0；

(3)若bc－ad>0，ca－db>0，则ab>0，其中正确命题的个数是( )

A．

- 1 -

方程与不等式

一、方程与方程组 二、不等式与不等式组

知识结构及内容： 1几个概念

2一元一次方程

（一）方程与方程组 3一元二次方程 4方程组 5分式方程

6应用

1、 概念：方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解 2、 一元一次方程：

解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一（未知项系数不能为零）

例题：.解方程：

（1） x?1?x1x?2x?1? （2）??2?x 3332解：

（3） 关于x的方程mx＋4＝3x＋5的解是x＝1，则m＝ ______________． 解：

3、一元二次方程：

（1） 一般形式：ax?bx?c?0?a?0?

2（2） 解法：

直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法

2?b?b?4ac22b?4ac?0 求根公式ax?bx?c?0?a?0? x?2a??例题：

①、解下列方程：

不等式知识点总结

一、不等式的性质：

1、对称性：a?b?b?a,a?b?b?a 2、传递性：a?b,b?c?a?c

3、加法法则：（１）、a?b?a?c?b?c； （２）、a?b,c?d?a?c?b?d ４、移项法则：a?b?c?a?c?b

５、乘法法则：（１）若a?b且c?0则ac?bc；若a?b且c?0则ac?bc （２）、若a?b?0且c?d?0则ac?bd；若a?b?0且 c?d?0则ac?bd ６、倒数法则：若a?b且ab?0则

11? ab７、乘方和开方法则：若a?b?0且n?N?则an?bn； 若a?b?0且n?N?，则na?nb 二、算术平均数和几何平均数： １、（１）、算术平均数

a1?a2?????ann(ai?0)

(ai?0)

（２）、几何平均数：na1?a2?????an２、对于任意的实数a,b，都有a2?b?2ab（当且仅当a?b时等号

成立）

３、均值定理：若a,b?R，则

?a?b?ab 2a?b?ab??４、均值定理的推广：

112?ab５、求函数的最值问题：对于正数x,y，有：

2a2?b2 2（１）、如果xy?P是定值，则x?y有最小值2P

不等式知识点总结

一、不等式的性质：

1、对称性：a?b?b?a,a?b?b?a 2、传递性：a?b,b?c?a?c

3、加法法则：（１）、a?b?a?c?b?c； （２）、a?b,c?d?a?c?b?d ４、移项法则：a?b?c?a?c?b

５、乘法法则：（１）若a?b且c?0则ac?bc；若a?b且c?0则ac?bc （２）、若a?b?0且c?d?0则ac?bd；若a?b?0且 c?d?0则ac?bd ６、倒数法则：若a?b且ab?0则

11? ab７、乘方和开方法则：若a?b?0且n?N?则an?bn； 若a?b?0且n?N?，则na?nb 二、算术平均数和几何平均数： １、（１）、算术平均数

a1?a2?????ann(ai?0)

(ai?0)

（２）、几何平均数：na1?a2?????an２、对于任意的实数a,b，都有a2?b?2ab（当且仅当a?b时等号

成立）

３、均值定理：若a,b?R，则

?a?b?ab 2a?b?ab??４、均值定理的推广：

112?ab５、求函数的最值问题：对于正数x,y，有：

2a2?b2 2（１）、如果xy?P是定值，则x?y有最小值2P

第7章：一元一次不等式与不等式组知识点及典型例题

(一)不等式的有关概念 1、不等式：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 不等式常分两类：①表示大小关系的不等式；②表示不等关系的不等式； 常见不等式的基本语言有：

①x是正数，则x＞0； ②x是负数，则x＜0； ③x是非负数，则x≥0； ④x是非正数，则x≤0； ⑤x大于y ，则x－y＞0； ⑥x小于y，则x－y＜0； ⑦x不小于y，则x ≥ y； ⑧x不大于y，则x ≤ y 。

2、.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

4、一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

2

例1、下列式子：①5>0,②3a+4b>0,③x=2,④x-1,⑤x+3≠5,⑥2a+3≤7,⑦x+2≥8,其中不等式有（ 5）个 解：其中①②⑤⑥⑦都是不等式，共有5个。

（二）不等式的基本性质：

不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或

1. 设a>0>b>c，a＋b＋c=1，系是

，则M，N，P之间的关

A．M>N>P B．N>P>M C．P>M>N D．M>P>N

2.若2x2a﹣b﹣1﹣3y3a+2b﹣16=10是关于x，y的二元一次方程，则a+b= 3.若关于 的不等式 的解集是 ,则关于 的不等式 的解集是

＜

4. 关于 的不等式组 有四个整数解，求 的取值范围

5. 若方程组

?a1x?b1y?c1??a2x?b2y?c2?7a1x?5b1y?9c1?x??14??7ax?5b2y?9c2y?15的解是?, 求方程组?2的解

6. 对一个实数x按如图所示的程序进行操作, 规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190”为一次操作. 如果操作恰好进行两次停止, 那么x的取值范围是__________

37.已知m是13的整数部分, n是13的小数部分, 则m－n的值为__________. 8. x，y，z非负，满足方程组

,求S=2x+y+4z的取值范围

?3x?2y?m?1?9. 已知关于x、y的方程组?x?5y?m?3

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2013中考数学50个知识点专练9 不等式与不等式组

一、选择题 1．(2011·益阳)不等式2x＋1>－3的解集在数轴上表示正确的是(

)

2．(2011·武汉)如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是(

)

x＋1>0， x＋1>0， A. B. x－3>03－x>0 x＋1<0， x＋1<0，C. D. x－3>03－x>0

3x＋2>5，3．(2011·义乌)不等式组 的解在数轴上表示为(

)

5－2x≥1

2x－4≤x＋2，

4．(2011·台州)不等式组 )的解集是( )

x≥3

A．x≥3B．x≤6

C．3≤x≤6D．x≥6

2x－1＞3(x－1)，

5．(2011·威海)如果不等式组 的解集是x＜2，那么m的取值范围是

x＜m

( )

A．m＝2B．m＞2C．m＜2D．m≥2 二、填空题 6．(2011·株洲)不等式x－1>0的解集是________．

3x＋y＝1＋a，

7．(2011·黄冈