高数辅导讲义

GCT数学.微积分部分

第1章函数的极限与连续

1.1函数 一 函数

1定义 设x和y是两个变量，D是给定的数集，如果对于每个数x?D，变量y按照一定的法则，总有一个确定的值与它对应，则称y是x的函数，记作y?f(x)，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。 2 表示法

3 基本初等函数

二 特性

1函数的有界性

设函数f(x)在区间I上有定义，如果?M?0，使得对?x?I，有f(x)?M，则称f(x)在区间I上有界，否则，称f(x)在区间I上无界。

2函数的单调性

设函数f(x)在区间I上有定义,如果?x,x?I且x?x时，有

f(x)?f(x)）则称f(x)在区间I上是单调增（或f(x)?f(x（或)单调减）的。 3函数的奇偶性

设函数f(x)的定义域X关于原点对称，（即若x?X，则必有

，如果?x?X，有f(?x)?f(x)成立，则称f(x)为偶函数，?x?X）

如果?x?X，有f(?x)??f(x)成立，则称f(x)为奇函数。 4函数的周期性

设函数f(x)的定义域是X，如果?常数T?0，使得对?x?X，有x?T?X，且

f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，使上式成立的最小正数T称为f

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2010考研强化班高等数学讲义主讲：汪诚义

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考研强化班高等数学讲义(四至五章)

第四章 常微分方程

§4.1 基本概念和一阶微分方程

（甲） 内容要点 一、基本概念

1、 常微分方程和阶 2、 解、通解和特解 3、 初始条件

4、 齐次线性方程和非齐次线性方程 二、变量可分离方程及其推广

1、

dydx?p(x)Q(y)dy(Q(y)?0)

2、齐次方程：

?y??f?? dx?x?三、一阶线性方程及其推广

1、2、

dydxdydx?P(x)y?Q(x) ?P(x)y?Q(x)y?(??0,1)

四、全微分方程及其推广（数学一）

1、 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,满足?Q?x?p?y??P?y

2、 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,?Q?x?但存在R(x,y)，使?(RQ)?x??(RP)?y

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五、差分方程（数学三）

第六讲：多元函数的微分法及其应用

一、二元函数的极限与连续 1、 二元函数的定义：

设有三个变量x、y与z，如果对于x、y所能取的每一对值，z按一定的法则总有一个确定的值与之对应，则称z是x、y的函数，记作z?f?x,y?，?x,y??D 。 注：这里的D为定义域或定义区域。

区域：连通的开集，也称开区域。

应了解：开集、闭集、有界集、无界集等概念：

比如：?x,y?x2?y2?1为有界开集；?x,y?x2?y2?1为有界闭集；

??????x,y?x?y?1?为无界开集；??x,y?x?y?1?为无界闭集。

??y?22??x?y，求f?x,y?： x?[例]已知f?x?y,x2?1?y?yuuv解：记：x?y?u、?v，即x?、y?，故f?x,y??。

1?yx1?v1?v2、 二重极限：

?x,y???x0,y0?limf?x,y??A

????0，???0，当0??x?x0?2??y?y0?2??时，恒有f?x,y??A??。

注1：二重极限中：?x,y???x0,y0?要求“以任何方式”、“同时”进行。

如果函数f?x,y?沿着一条特殊的路径（或以某种特定的方式）使?x,y???x0,y0?时极限不存在，则

?x,y???

第六讲：多元函数的微分法及其应用

一、二元函数的极限与连续 1、 二元函数的定义：

设有三个变量x、y与z，如果对于x、y所能取的每一对值，z按一定的法则总有一个确定的值与之对应，则称z是x、y的函数，记作z?f?x,y?，?x,y??D 。 注：这里的D为定义域或定义区域。

区域：连通的开集，也称开区域。

应了解：开集、闭集、有界集、无界集等概念：

比如：?x,y?x2?y2?1为有界开集；?x,y?x2?y2?1为有界闭集；

??????x,y?x?y?1?为无界开集；??x,y?x?y?1?为无界闭集。

??y?22??x?y，求f?x,y?： x?[例]已知f?x?y,x2?1?y?yuuv解：记：x?y?u、?v，即x?、y?，故f?x,y??。

1?yx1?v1?v2、 二重极限：

?x,y???x0,y0?limf?x,y??A

????0，???0，当0??x?x0?2??y?y0?2??时，恒有f?x,y??A??。

注1：二重极限中：?x,y???x0,y0?要求“以任何方式”、“同时”进行。

如果函数f?x,y?沿着一条特殊的路径（或以某种特定的方式）使?x,y???x0,y0?时极限不存在，则

?x,y???

2013年秋季学期高等数学1课程作业

一．选择题 本大题共12个小题. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前

的字母答在题中相应位置上．

1．f?x??cos(2x??2)是（ D ）函数．［第一章，1］

B．偶函数

A．奇函数

C．单调函数 D．周期函数

2. 下列极限中，极限值不为零的是 （ D ）. ［第一章，2］

A． limarctan2xsin2x B. lim

x??x??xxx21C． limxsin2 D. lim

42x??x??xx?x3．设函数y=x2．［第二章，1］ +e-x，则y???（ C ）

?x?xA．2x+e-x B．2x-e-x C．2?e D．2?e 4．设函数y?x?1，则dy=（ C ）．［第二章，1］

dxx?011 D． 24A．4 B．2 C．

5. 函数f(x)在x=x0连续，是f(x)在x=x0可导的 （ A ） ［第二章，1］ A

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目录

第一课时 整数与小数四则混合运算

第二课时 平均数问题（一）

第三课时 消去问题

第四课时 流水行船问题

第五课时 盈亏问题（一）

第六课时 盈亏问题（二）

第七课时 平均数问题（二）

第八课时 平均数问题（三）

第九课时 一般应用题（一）

第十课时 一般应用题（二）

第十一课时 一般应用题（三）

第十二课时 一般应用题（四）

第十三课时 周期问题

第十四课时 倍数问题（一）

第十五课时 倍数问题（二）

第十六课时 假设法解题

第十七课时 行程问题

第十八课时 鸡兔同笼问题

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第一课时 整数与小数四则混合运算

例：在下面5个0.5之间，添上适当的运算符号+、—、×、÷和括号，使下面的等式成立。

0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 =2

【思路导航】：上述问题我们可以用硬凑的方法来做，不过这样做一般来说比较困难，而且难以找到解题的规律。此题可以采用倒过来想的方法予以解答。

解：（0.5 + 0.5）÷0.5－0.5+ 0.5 =2

（0.5＋0.5）÷ 0.5＋0

高三物理竞赛辅导

磁场与电磁感应第一讲 磁场

主讲：孙琦

一、毕奥——萨伐尔定律与磁力矩 1．毕奥——萨伐尔定律

如图所示，设ΔL为导线的一段微元，其电流强度为I，则在真空中距该“线微元”为r的P处，此通电线微元产生的磁感应强度为：?B??7?0I?Lsin?，式中?为电流方向24?r与r之间的夹角，?0?4??10T?m/A，?B的方向可由右手定则得。

⑷细长密绕通电螺线管内的磁感应强度为:B??0nI,n是螺线管单位长度上线圈的匝数,此式表示的是匀强磁场 2．磁力矩

匀强磁场对通电线圈作用力的磁力矩的计算式为：M?NBIScos? 式中的N为线圈匝数，I为线圈中通过的电流强度，θ为线圈平面与磁场方向所夹的角，S为线圈的面积，而不管线圈是否是矩形，且磁力矩的大小与转轴的位置无关。

例1.如图所示，将均匀细导线做成的环上的任意两点A和B与固定电源相连接起来，计算由环上电流引起的环中心的磁感应强度。

例2.一个质量均匀分布的细圆环，其半径为r，质量为m，令此环均匀带正电，总电量为Q。现将此环放在绝缘的光滑水平面上，如图所示，并处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下，当此环绕通过其中心的竖直轴以

第二部分 空间与图形

20、线段与角

思考练习

1、已知线段AB＝16，C为AB上的一点，且AC∶CB＝3∶5，M、N分别为AC、AB的中点，求MN的长．

A

M

C N

B

2、在直线l上取A、B两点，使AB＝10cm，再在l上取一点C，使AC＝2cm， M、N分别为AB、AC的中点，求MN的长．

3、在一条直线形流水线上，依次在A1、A2、A3、A4、A5处有5个具有同样性能的机器人在工作，每隔一定时间，它们要去取零件，将零件箱放在何处，才能使机器人取零件花费的总时间最少？

P

100m 200m A区

B区

C区

A1 A2 A3 A4 A5

4、某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示，公司的班车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路线总和最少，那么停靠点的位置应在何处?

5、如图，已知?AOE和?COG都等于90?，

G F E

D C B O A ?BOC??FOG，则图中以O为顶点的锐角共有_____个．

6、时钟在12点25分时分针与时针之间的夹角度数为______． 7、若一个角的补角等于这

英语竞赛辅导讲义

三都二中：肖兰英

专题复习

专题一 单项填空 第1讲 冠词

1、冠词分不定冠词和定冠词。不定冠词泛指人或事物中的任何一个；而定冠词用于特指双方都知道的或上文中提到的人或物。这类题解题的关键点在于分清是特指还是泛指。具体做题时可从有无限制性定语以及句意等方面来分析。

eg.① If you grow up in a large family, you are more likely to develop the ability to get on well with / others.

第一空表示泛指“一个”，用a；第二空ability后带有限定性定语，前用the；第三空others，“其他人”，不表特指。

② —— What’s the schedule far this weekend?

—— A greeting ceremony for Professor Smith will be held in the lecture

hall?

Schedule后有for weekend 表示特指，前面用 the；第

万学·海文春季基础班讲义－高等数学

62第六讲 向量代数与空间解析几何（数一）

一、知识网络图

二、重点考核点

这部分的重点是：

①向量概念与向量的各种运算，特别是它们的计算与应用． ②求直线与平面方程的方法，判断平面、直线间相互关系的方法．

§1 向量代数

向量的加（减）与数乘向量．

向量的数量积（又称点积，内积）：

定义：两向量,a b 的数量积?是一个数，且||||cos a b a b θ=? ，其中θ是与的夹

角．坐标表示：若＝{a 1，a 2，a 3}，={b 1，b 2，b 3}，

曲面与曲线概念及表示法

二次曲面的标准方程及其图形

万学·海文春季基础班讲义－高等数学 63 则·=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3．

特征性质：a ⊥b ?a ·b =0，即a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 = 0

主要应用： ①判定两向量垂直； ②求两向量、两直线、两平面以及直线与平面间的夹角； ③建立平面的点法式方程． 向量的向量积（又称叉积，外积）： 定义：两向量,a b 的向量积×是一个向量，其模θsin ||||||=×，其中θ是与的夹角，又×同时与和都垂直且、、×构成右手系．