小学奥数数阵图讲解

数阵图与幻方

知识集锦

数阵图是将一些数字按照一定要求排列而成的某些图形，数阵图可分为辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图三种形式。

幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格，在古代就有“河图”、“洛书”的传说。

在3×3的方格里，填上9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的3个自然数的和相等，这样的数字表格叫三阶幻方，相等的和叫做幻和。类似的还有四阶幻方、五阶幻方??

例题集合

例1 把3、4、5、6、7这五个数字分别填入下图的五个方格中，使横 行、竖列三个数的和都是14。

练习1 将5、6、7、8、9这五个数分别填入下图中，使横行、竖列三个数的和都是21。

例2 将11～17共七个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上的3个圆圈中的数之和都是40。

1 / 6

练习2 将1～13这十三个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上四个圆圈内的数字之和都是

47。

例3 把1、2、3、4、5、6填入下图的圆圈中，使每条边上三个数字的和都等于9。

练习3 如下图，在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数，使每条直线上的三个数字

之和都相

数阵图与幻方

知识集锦

数阵图是将一些数字按照一定要求排列而成的某些图形，数阵图可分为辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图三种形式。

幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格，在古代就有“河图”、“洛书”的传说。

在3×3的方格里，填上9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的3个自然数的和相等，这样的数字表格叫三阶幻方，相等的和叫做幻和。类似的还有四阶幻方、五阶幻方??

例题集合

例1 把3、4、5、6、7这五个数字分别填入下图的五个方格中，使横 行、竖列三个数的和都是14。

练习1 将5、6、7、8、9这五个数分别填入下图中，使横行、竖列三个数的和都是21。

例2 将11～17共七个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上的3个圆圈中的数之和都是40。

1 / 6

练习2 将1～13这十三个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上四个圆圈内的数字之和都是

47。

例3 把1、2、3、4、5、6填入下图的圆圈中，使每条边上三个数字的和都等于9。

练习3 如下图，在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数，使每条直线上的三个数字

之和都相

1.10.5数阵图

1.10.5.1基础知识

数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。

数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。

它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。 解数阵问题的一般思路是：

1.求出条件中若干已知数字的和。

2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。

3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。 1.10.5.2辐射型数阵

例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。 解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15

题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，

奥数精品

【例1】

小朋友，张开手，五个手指人人有。手指之间几个“空”，请你仔细瞅一瞅? (注)“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。 解：见右图看一看、数一数 可知：5个手指间有4 个“空”。“空”又叫 “间隔”，也就是，人的 一只手有5个手指4个 间隔。

【例2】小朋友在一段马路的一边种树。每隔1米种一棵，共种了11棵，问这段马路有多长?

解：画示意图如下：

由图可见，这段马路的11棵树之间有10个“空”，也就是10个间隔。每个间隔长1米，10个间隔长10米。也就是说这段马路长10米。像这类问题一般叫做“植树问题”。可以得出一个公式：当两头都种树时：

【例3】把一根粗细一样的木头锯成5段，需要4分钟。 ①如果把这根木头锯成lO段，需要几分钟? ②如果把这根木头锯成100段，需要几分钟?

解：_画出示意图：

由图可见，把木头锯成5段，只需要锯4次。所以锯一次需1分钟。 ①同样道理，把这根木头锯成10段，只需锯9次，所以需9分钟。 ②同理，把这根木头锯成100段，只需锯99次，所以需99分钟。

【例4】鼓楼的钟打点报时，5点钟打5下需要4秒钟。问中午12点时打12

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【例1】

小朋友，张开手，五个手指人人有。手指之间几个“空”，请你仔细瞅一瞅? (注)“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。 解：见右图看一看、数一数 可知：5个手指间有4 个“空”。“空”又叫 “间隔”，也就是，人的 一只手有5个手指4个 间隔。

【例2】小朋友在一段马路的一边种树。每隔1米种一棵，共种了11棵，问这段马路有多长?

解：画示意图如下：

由图可见，这段马路的11棵树之间有10个“空”，也就是10个间隔。每个间隔长1米，10个间隔长10米。也就是说这段马路长10米。像这类问题一般叫做“植树问题”。可以得出一个公式：当两头都种树时：

【例3】把一根粗细一样的木头锯成5段，需要4分钟。 ①如果把这根木头锯成lO段，需要几分钟? ②如果把这根木头锯成100段，需要几分钟?

解：_画出示意图：

由图可见，把木头锯成5段，只需要锯4次。所以锯一次需1分钟。 ①同样道理，把这根木头锯成10段，只需锯9次，所以需9分钟。 ②同理，把这根木头锯成100段，只需锯99次，所以需99分钟。

【例4】鼓楼的钟打点报时，5点钟打5下需要4秒钟。问中午12点时打12

数阵图典型题目讲解

【例1】：你能把1--6六个数字分别填入下图的六个圆圈中，使每一边三个数相加的和都等于11吗？

【分析】：因为每条边上的和都是11，所以三条边上的数字之和为11?3?33，在三角形三个顶点上的数都重复算了两次，而1?2?3?4?5?6?21，所以三个角上的三个数之和是33?21?12。5、6；2，4，6；3，4，5。5、6时，在1?6中，和是12的三个数有可能是1、但是当三个数是1、4、6的时我们发现在一条边上中点那个数找不到，所以删去。再通过我们的计算发现只有2、候，才能满足条件，所以结果是：

253416

【解法总结】：做数阵题目，我们的步骤是：①.先观察在图中有哪些格子重复了，重复了几次。

②.根据题中给出的数字以及图形来发现重复的这几个数有什么特点。

③.看看在给出的数中有哪些数符合我们特点，再通过试算，确定每个格子中的数。

【拓展】：在下图12个小圆圈中分别填入1--9这九个数字，规定4个角上的圆圈中必须填入相同的数字，并要使每边上四个数字的和都相等。有（

专题课程[五年级]

阶段综合练习[一]

1. 2.

111111?????=____ 22?42?4?62?4?6?82?4?6?8?102?4?6?8?10?122006?2005?20072007?2006?20082008?2007?2009??=_____

2006?2007-12007?2008-12008?2009-1

3. 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是_____。

4. 如果一个三位数正好等于其各个数位上数字之和的13倍，那么所有这样的三位数总和为_____。

5. 一篮苹果不足60个，平均分给5个小朋友，多1个；平均分给6个小朋友，多3个，若平均分给7人，最后多2个。一共有_____个苹果。

6. 有10个数：21、22、34、39、44、45、65、76、133和153。把它们编成两组，每组5个数，要求这组5个数的乘积等于那组5个数的乘积。第一组数______________________；第二组数是______________________。

7. 小高在9点与10点之间开始解一道数学题，当时时针和分针正好成一条线，当小高解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合，小高解这道题用了时间_____。

小学奥数─工程问题分类讲解

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一． 工程问题的基本概念

定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。 工作总量：一般抽象成单位“1” 工作效率：单位时间内完成的工作量

三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间， 工作效率=工作总量÷工作时间， 工作时间=工作总量÷工作效率；

二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：

① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；

② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；

③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；

④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单

小学奥数专题讲解之九——《和倍问题》

姓名：

专题分析：已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题，叫做和倍应用题。要想顺利解决和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确的列式计算。 解答和倍应用题的关键是找出两数的和以及与其对应的倍数和。

解答和倍应用题的基本数量关系是：和÷（倍数＋1）＝小数；

小数×倍数＝大数（几倍数）或者：两数和－小数＝大数

如果遇到三个或三个以上的数的倍数关系，也可用这个公式。（首先找最小的一个数，再找出另几个数是最小数的倍数即可）

例1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是多少岁？ 分析：我们把秦奋的年龄作为1倍，“妈妈的年龄是秦奋的4倍”，这样秦奋和妈妈年龄的和就相当于秦奋年龄的5倍是40岁，也就是（4＋1）倍，也可以理解为5份是40岁，那么求1倍是多少，接着再求4倍是多少？

1倍 秦奋 （2）秦奋的年龄：40÷5＝8岁

2014年四年级数学思维训练：幻方与数阵图扩展

1．把1，2，?，9填入图20﹣1中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等．

2．如图，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．

3．如图，在4×4的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．

4．如图所示的3×4方格表的每个方格中填人恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等．现在一些数已经填出，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？

5．如图，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方．

6．请将如图所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次．请问：标有符号“△”，“▽”和“○”的方格中所填的数分别是什么？

试卷第1页，总6页

7．请将1至9这9个数填入图中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有多少种？

8．请在如图所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好是1、2、3、4、