matlab求多元函数积分

实验六 多元函数的极值

【实验目的】

1． 多元函数偏导数的求法。 2． 多元函数自由极值的求法 3． 多元函数条件极值的求法.

4． 学习掌握MATLAB软件有关的命令。

【实验内容】

求函数z?x?8xy?2y?3的极值点和极值

42【实验准备】

1．计算多元函数的自由极值

对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤:

步骤1.定义多元函数z?f(x,y)

步骤2.求解正规方程fx(x,y)?0,fy(x,y)?0,得到驻点

?2z?2z?2z步骤3.对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数A?,B?,C?2, 2?x?y?x?y步骤4. 对于每一个驻点(x0,y0),计算判别式AC?B,如果AC?B?0,则该驻点是极值点,当A?0为极小值, A?0为极大值;,如果AC?B?0,判别法失效,需进一步判断; 如果AC?B?0,则该驻点不是极值点.

2．计算二元函数在区域D内的最大值和最小值

设函数z?f(x,y)在有界区域D上连续，则f(x,y)在D上必定有最大值和最小值。求f(x,y)在D上的最大值和最小值的一般步骤为：

步骤1. 计算f(x,y)在D内所有驻点处的函数值；

步骤2. 计算f(x,

第七章 多元函数微积分

一、填空题 1．函数z?arcsin2．设z?xy?arcsin的定义域为（a＞0，b＞0）____________________。 ab?z1?________________________________。 ，则?xxy3．设z?y2x，则

?z?________________________________。 ?x4．设z?xy?x3，则

?z?z??____________________________。 ?x?y5．若f(x?y,x?y)?xy?y2，则f(x,y)?____________________。 6．limsinxy?________________________。

x?0xy?227．若z?x?y?f(x?y)且当y?0时z?x，则f(x)?________，z?________。 8．lim(1?x?ky??xy)?___________________。 yy?029．设二元函数z?ln(x?y)，则dzx?1?________________________。

10．设z?arcsin(xy)，则

?z?___________________。 ?y11．设f(x,y)?x?y?

多元函数练习题1. 讨论二重极限 时, 下列算法是否正确?

1 解法1 原式 lim 0 x 0 1 1 y xy 0

解法2 令 y k x ,

解法3 令 x r cos , y r sin ,

分析: 解法1

1 lim 1 1 0 x 0 y xy 0x 时, 1 x 1 y

此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 第二步未考虑分母变化的所有情况, 例如, y 此时极限为 1 . 解法2 令 y k x ,

1 1, x

此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 例如 y x x 时2

解法3 令 x r cos , y r sin ,

此法忽略了 的任意性,极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 同时还可看到,

本题极限实际上不存在 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.

x2 y2 2 2 2. 证明: , x y 0 3 f ( x, y ) ( x 2 y 2 ) 2 0 , x2 y2 0 在点

多元函数微积分复习题

一、单项选择题

1．函数f?x,y?在点?x0,y0?处连续是函数在该点可微分的 ( B )

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

2．设函数f?x,y?在点?x0,y0?处连续是函数在该点可偏导的 (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

3．函数f?x,y?在点?x0,y0?处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数z?f(x,y), 下列结论正确的是 ( C ).

A. 若limx?x?A, 则必有l

一、符号积分

符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：

int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；

int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；

int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。

例：

求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：

>>syms x y z %定义符号变量

>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式

F2 =

1610027357/65

高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用

第八章 多元函数微分法及其应用

教学目的：

1、 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2、 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。

3、 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4、 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、 掌握多元复合函数偏导数的求法。

6、 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7、 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、 了解二元函数的二阶泰勒公式。

9、 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 教学重点：

1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分；

3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数

第十一章 多元函数积分学

一、本章学习要求与内容提要

（一）学习要求

1．了解二重积分的概念, 知道二重积分的性质.

2．掌握二重积分在直角坐标系下和极坐标系下的计算方法. 3．会用二重积分解决简单的实际应用题(体积、质量). 4．了解曲线积分的概念和性质. 5．会计算简单的曲线积分.

重点 二重积分的概念，直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，曲线积分的概念，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.

难点 直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，格林公式，曲线积分的计算，用二重积分解决简单的实际应用题.

（二）内容提要 1．二重积分

设二元函数z?f(x,y)是定义在有界闭区域D上的连续函数，用微元法先找出体积微元，再累加求出总体，由这两步所得的表达式，即

??f(x,y)d?称为函数z?f(x,y)在闭

D区域D上的二重积分，其中f(x,y)称为被积函数，f(x,y)d?称为被积表达式，D称为积分区域，d?称为面积元素，x与y称为积分变量.

2．二重积分的几何意义 在区域D上当f(x,y)?0时，

??f(x,y)d?表示曲面z?f(x,y)在区域D上所对应

D的曲顶柱体的体积.当f(x,y) 在区域D上有正有负

高等数学微积分教程

第三节

多元复合函数微分法

高等数学微积分教程

第三节 复合函数的微分法一. 复合函数的微分法 dy dy du = 一元复合函数的微分法则--链导法:(1).z = f [ ( x),ψ ( x)]dx du dx

推广

定理1 设 u = (x) 和 v = ψ (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x),ψ ( x)] 在点x可导,且 全导数dz f du f dv = + dx u dx v dx

u z v x

(证明略) 注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.

2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.

高等数学微积分教程

例如: z = f (u , v, w), u = ( x), v = ψ ( x), w = h( x)dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx

z

u v w

x

u z v

x y

(2).z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )]

定理2 设 u = ( x, y ) 和 v = ψ ( x, y ) 都在点

专转本高数真题之多元函数微积分

2001

8、交换积分次序 dx

02

2xx

f(x,y)dy

9、函数z xy的全微分dz

2

18、计算 sinydxdy，D是x 1、y 2、y x 1围成的区域.

D

20、设z f(x,2002

2

xy

)，其中f具有二阶连续偏导数，求

z x

、

z x y

2

.

4、若y arctanex，则dy （ ） 15、交换积分次序 dy

01

ee

y

f x,y dx

18、已知z lnx

x y

22

，求 x， y x

z

z

2

2

20、计算 2003

20dx

x0

x ydy

22

122

dx

1 x0

2

x ydy

22

12、交换积分次序 dy

12y0

f(x,y)dx

2

2

31

dy

3 y0

f(x,y)dx 2

2

20、计算二重积分 (1

D

x y)dxdy，其中D是第一象限内由圆x y 2x及直线

y 0所围成的区域.

2004

5、设u(x,y) arctan

xy

、v(x,y) lnx y

22

，则下列等式成立的是 （ ）

A、

u x

v y

B、

u x

v x

C、

u y

v x

D、

u y

v y

1

2 xx

2

11、交换二次积分的

专转本高数真题之多元函数微积分

2001

8、交换积分次序 dx

02

2xx

f(x,y)dy

9、函数z xy的全微分dz

2

18、计算 sinydxdy，D是x 1、y 2、y x 1围成的区域.

D

20、设z f(x,2002

2

xy

)，其中f具有二阶连续偏导数，求

z x

、

z x y

2

.

4、若y arctanex，则dy （ ） 15、交换积分次序 dy

01

ee

y

f x,y dx

18、已知z lnx

x y

22

，求 x， y x

z

z

2

2

20、计算 2003

20dx

x0

x ydy

22

122

dx

1 x0

2

x ydy

22

12、交换积分次序 dy

12y0

f(x,y)dx

2

2

31

dy

3 y0

f(x,y)dx 2

2

20、计算二重积分 (1

D

x y)dxdy，其中D是第一象限内由圆x y 2x及直线

y 0所围成的区域.

2004

5、设u(x,y) arctan

xy

、v(x,y) lnx y

22

，则下列等式成立的是 （ ）

A、

u x

v y

B、

u x

v x

C、

u y

v x

D、

u y

v y

1

2 xx

2

11、交换二次积分的