复数与复变函数例题

第一章、复数与复变函数

1.1知识提要

1.复数的概念

形如z?x?iy的数称为复数，其中x,y为任意实数，i(i2??1)称为虚单位，x,y又称为

z的实部与虚部，记为x?Re(z),y?Im(z).

z?x?iy与直角坐标系平面上的点(x,y)成一一对应，平面称复平面.z?x2?y2表示

复数z的向量的长度，称复数的模.Argz???Arctan(y/x)称为z的辐角，表示z的向量与x轴正向间的交角的弧度数.其中满足??????的?0称为辐角z的主值，记作

?0?arcz.

2.复数的各种表示法

（1）复数z?x?iy可用复平面上点(x,y)表示。

（2）复数z?x?iy可用从原点指向点(x,y)的平面向量表示.

（3）复数的三角表达式为z?r(cos??isin?)，其中r?z,?为z?0时任一辐角值. （4）复数的指数表达式为z?re。

（5）复数的复球面表示.任取一与复平面切于原点的球面，原点称球面的南极，过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极，连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点，又在平面上引入一个假想点?与球面北极对应，构成扩充复平面与球面点的一一对应，即复数与球面上点的一一对应.球面称为复球面. 3.复数的代

一．复数与复变函数 ㈠选择

1.包含了单位圆盘|z|<1的区域是（ ） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1 D.Im z<0 2.arg(2-2i)=（ ） A.?3?4 B.??4 C.

?4 D.3?4 3.复数方程z=3t+it表示的曲线是（ ） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 4.设z=x+iy，则|e2i+2z|=（ ） A.e2+2x B.e|2i+2z| C.e2+2z D.e2x 5.下列集合为无界多连通区域的是（ ） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4

D.

32??argz?2? 6.复数z?1625-825i的辐角为（ ）

A． arctan1 B．-arctan12 C．π-arctan12 D．π+arctan1227.方程Rez2?1所表示的平面曲线为（ ）

A． 圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线 8.复数z?-3(cos?5-isin?5)的三角表示式为（ ）

A．-3(cos45?＋isin45?) B．3(cos445?,－isin5?)

C．3(cos45?,＋isin45?) D．-3(cos45?,－isin45?)

9.下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数

1

1，对三组生产数据求和:=SUM(B2:B7,D2:D7,F2:F7)：

2，对生产表中大于100的产量进行求和:{=SUM((B2:B11>100)*B2:B11)}：

3，对生产表大于110或者小于100的数据求和:{=SUM(((B2:B11<100)+(B2:B11>110))*B2:B11)}： 4，对一车间男性职工的工资求和:{=SUM((B2:B10=\一车间\男\： 5，对姓赵的女职工工资求和:{=SUM((LEFT(A2:A10)=\赵\女\6，求前三名产量之和:=SUM(LARGE(B2:B10,{1,2,3}))： 7，求所有工作表相同区域数据之和:=SUM(A组:E组!B2:B9)

8，求图书订购价格总和:{=SUM((B2:E2=参考价格!A$2:A$7)*参考价格!B$2:B$7)} 9，求当前表以外的所有工作表相同区域的总和:=SUM(一月:五月!B2), 10，用SUM函数计数:{=SUM((B2:B9=\男\ 11，求1累加到100之和:{=SUM(ROW(1:100))}

12，多个工作表不同区域求前三名产量和:{=SUM(LARGE(CHOOSE({1,2,3,4,5},A组!B2:B9,B组!B2:B9,C组!B2:

复变函数测验题

第一章 复数与复变函数

一、

选择题

1．当z?1?i时，z100?z75?z50的值等于（ ） 1?i（A）i （B）?i （C）1 （D）?1 2．设复数z满足arc(z?2)??3，arc(z?2)?5?，那么z?（ ） 61331?i （D）??i 2222（A）?1?3i （B）?3．复数z?tan??i(3?i （C）??????)的三角表示式是（ ） 2?[cos(??)?isin(??)] （B）sec?[cos(（A）sec22??3?3???)?isin(??)] 22?[cos(（C）?sec3?3?????)?isin(??)]（D）?sec?[cos(??)?isin(??)] 2222224．若z为非零复数，则z?z与2zz的关系是（ ）

2222（A）z?z?2zz （B）z?z?2zz

22（C）z?z?2zz （D）不能比较大小

５．设x,y为实数，则动点(x,y)z1?x?11?yi,z2?x?11?yi且有z1?z2?12，的轨迹是（ ）

（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 （1）代数表示 z?x?yi

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z、点z、向量z视为同一概念） （3）三角式：z?r(cos??isin?) （4）指数式 ： z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

（1）乘幂： z?rei?，zn?rnein? （2）方根： nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注：（1）点解析?点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微，满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u

复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业（第一章习题） 1．设z?1?3i2，求|z|及Arg z. 2．设z1?i1?,z?i，试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3．解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4．证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2)，并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9．试证：复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14．命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证：??0,若 z=0.

15．试证：函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业（第二章习题）

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g

复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业（第一章习题） 1．设z?1?3i2，求|z|及Arg z. 2．设z1?i1?,z?i，试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3．解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4．证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2)，并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9．试证：复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14．命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证：??0,若 z=0.

15．试证：函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业（第二章习题）

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 （1）代数表示 z?x?yi

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z、点z、向量z视为同一概念） （3）三角式：z?r(cos??isin?) （4）指数式 ： z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

（1）乘幂： z?rei?，zn?rnein? （2）方根： nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注：（1）点解析?点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微，满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u

（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

? cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin2??2sin?cos222??co2s??sin??2co2s??1?1?2sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin? cossin(???)?sin?cos??cos?sin? tan2??2tan?1?tan?2

sin(???)?sin?cos??cos?sin? sin??2?1?co?s 2tan(???)?tan??tan??1?co?s cos??

1?tan?tan?22?1?cos?sin?1?cos?tan??tan?tan????tan(???)? 21?cos?1?cos?sin?1?tan?tan?公式组三 公式组四 公式组五 1?1?sin??????sin??????sin?cos??2tancos(???)?sin?222 s

复变函数与积分变换解

读

Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

复变函数与积分变换

课程名称：复变函数与积分变换

英文译名：Complex Function and Integral Transformation

课程编码：070102B06

适用专业：信息与计算科学

课程类别：专业必修

学时数：48 学分：3

编写执笔人：韩仲明审定人：刘晓华

编写日期：2005年4月

一、本课程的内容、目的和任务：

复变函数与积分变换是高等师范院校数学专业的基础课程之一，是数学分析的后续课程，其任务是使学生获得复变函数与积分变换的基本理论与方法。它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，其方法是自动控制、自动化、信号处理的常用方法之一，本课程主要讨论复变函数和积分变换。内容主要包括：复数运算，解析函数，初等函数，复变函数积分理论，级数展开及留数理论，保形映射，拉普拉斯变换，富里叶变换。复变函数与积分变换是微积分学在复数域上的推广和发展，通过本课程的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数与积分变换在联系和指导中