勾股定理题型归纳含答案

勾股定理复习小结

一、 知识结构 理 勾 股 定

直角三角形的性质:勾股定理 定理：a?b?c 应用:主要用于计算 222直角三角形的判别方法::若三角形的三边满足a它是一个直角三角形. 2?b2?c2 则二. 知识点回顾 1、 勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形

（1） 先确定最大边（如c）

（2） 验证c与a?b是否具有相等关系

（3） 若c=a?b，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若c≠a?b 则△ABC不是直角三角形。 3、 勾股数

满足a?b=c的三个正整数，称为勾股数

如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17

（5）7，24，25 （6）9, 40, 41

222222222222勾股定理培优经典题型归纳

题型一：利用勾股定理解决实际问题

训练1、

勾股定理复习小结

一、 知识结构 理 勾 股 定

直角三角形的性质:勾股定理 定理：a?b?c 应用:主要用于计算 222直角三角形的判别方法::若三角形的三边满足a它是一个直角三角形. 2?b2?c2 则二. 知识点回顾 1、 勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形

（1） 先确定最大边（如c）

（2） 验证c与a?b是否具有相等关系

（3） 若c=a?b，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若c≠a?b 则△ABC不是直角三角形。 3、 勾股数

满足a?b=c的三个正整数，称为勾股数

如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17

（5）7，24，25 （6）9, 40, 41

222222222222勾股定理培优经典题型归纳

题型一：利用勾股定理解决实际问题

训练1、

18.2 勾股定理的逆定理 达标训练

一、基础·巩固

1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）

A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5

2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.

图18－2－4 图18－2－5 图18－2－6

3.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.

4.如图18－2－6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=

5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

1AD，试判断△EFC的形状. 4

勾股定理练习题含答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

勾股定理练习题

一、基础达标:

1. 下列说法正确的是（ ）

A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；

B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；

C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；

D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2．

2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）

A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+

3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ）

A 、2k

B 、k+1

C 、k 2－1

D 、k 2+1 4. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角

与直角有关的折叠问题（一）

1.如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH， 若EH=9厘米，EF=12厘米，则边AD的长是( ) A. 12厘米B. 15厘米C. 20厘米D. 21厘米

2. 如图，在矩

形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD沿EF

折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为( ) 5C.

D.

A. 6B.

3.如图1，四边形ABCD是一矩形纸片，AB=8cm，AD=10cm，E是AD上一点，且AE=8cm．操作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图2；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图3．则△GFC的面积是( ) A.

B.

C.

D.

4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是( )A. D.

B.

C.

5.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=6cm，点E在BC上，将纸片

沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，且∠AEF=∠CEF，则AB的长是( ) A. 2cmB.

6. 如图，CD

《勾股定理分类练习》

题型一：直接考查勾股定理：直角三角形中，若a, b分别为直角边，c为斜边，那么直角三角形三边的关系为 a2 +b2 =c2

变形公式：

1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积，则图中A 字母所代表的正方形面积是

C D B A 7cm

2、 如图4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,

则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。 3、在Rt△ABC中,斜边AB2 =3,则AB2+BC2+AC2的值是______ “知二求一”的题，可以直接利用勾股定理变形公式！

4、在?ABC中，?C?90?．

⑴已知AC?6，BC?8．求AB的长 ⑵已知AB?17，AC?15，求BC的长

5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A．25

B．14

C．7

D．7或25

题型二：应用勾股定理建立方程（“知一求二”的题，应设未知数） 1、已知直角三角

北师大版八年级上册数学 第一章 探究勾股定理专项练习

探索勾股定理(01) 1．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，若CD⊥AB，DE

⊥BC

垂足分

别是D

、E．则图中全等的三角形共有（ ）

2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC

边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）

4．如图，点A是5×5网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小

正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于5/2的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（ ）

5．如图，在把易拉罐中

的水

倒入

一

个圆

水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（ ）

6．如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm

，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45度．若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为

（ ）

7．如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（ ）

8

．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则

AC

勾股定理评估试卷（1）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A）30 （B）28 （C）56 （D）不能确定 2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长

（A）4 cm （B）8 cm

（C）10 cm

（D）12 cm

3. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ （A）25

（B）14

（C）7

4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为（A）13 （B）8 （C）25 5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）

720252024252424252071571515(A)(B)(C)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是（A） 钝角三角形 （B） 锐角三角形 （C） 直角三角形三角形.

7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是（A） 25

勾股定理

一．知识归纳 １．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 b2 c2

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

1

方法一：4S S正方形EFGH S正方形ABCD，4 ab (b a)2 c2，化简可证．

2

D

E

b

A

c

BC

方法二：

ba

c

a

b

b

c

cb

a

a

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

1

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 ab c2 2ab c2

2大正方形面积为S (a b)2 a2 2ab b2 所以a2 b2 c2

111

方法三：S梯形

第一章《勾股定理》专项练习

专题一：勾股定理

考点分析：

勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题

典例剖析

例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器

零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆 孔中心A和B的距离为______mm．

（2）如图2，直线l上有三个正方形a，b，c， 若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）

Ａ．4

Ｂ．6 Ｄ．55

图2

图

1 Ｃ．16

分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．

解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得： AB2=902+1202=22500，所以AB=150（mm）

（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C．

点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．

例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求

∠A1E2A2 ∠A4E2C4 ∠A4E5C4的度数．

A5A4

E5A 54A4

E5

4

A3A2

A1AB11D1E1 1

2

EA2

A3E2

B11D1E1

解：连结

图3

A3E2． A3A2