选修4-5不等式选讲

不等式选讲（选修4-5）

目 录

(5．0不等式的性质…………………………………) 5．1含有绝对值的不等式……………………………1 5．2不等式的证明……………………………………9 5．3几个重要的不等式………………………………21 5．4数学归纳法………………………………………30 5．5不等式的简单应用………………………………38

小结与复习………………………………………48 复习参考题………………………………………52

1

导言：

不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等

高二数学选修4-5《不等式选讲》测试题

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1、已知集合A {x|x 0},B {x| 1 x 2}，则A B （ ）

A、{x|x 1} B、{x|x 2} C、{x|0 x 2} D、{x| 1 x 2} 2、欲证2 3 A、2 7

2

6 7

，只需证（ ）

B、 2 6

2

3 6

67

2

2

3 7

2

2

C、2 3

2

2

D、 2 3 6 7

x y

3、设x 0，y 0，A

1 x y

，B

x1 x

y1 y

，则A、B的大小关系是（

A、A B B、A B C、A B D、不能确定 4、若n 0，则n

32n

2

的最小值为（ ）

A、2 B、4 C、6 D、8

5、如果命题p(n)对n k成立，则它对n k 2也成立，又命题p(n)对n 2成立，则下列结论正确的是（ ）

A、命题p(n)对所有正整数n成立 B、命题p(n)对所有大于2的正整数n成立 C、命题p(n)对所有奇正整数n成立 D、命题p(n)对所有偶正整数n成立 6、已知0 a,b

4

4

4

4

4

4

4

4

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4

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4

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选修4-5

不等式选讲

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第1讲

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第1讲

绝对值不等式

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不同寻常的一本书，不可不读哟！

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1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几 何意义证明以下不等式： ①|a+b|≤|a|+|b|;

②|a-b|≤|a-c|+|c-b|.2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax+b|≤c;|ax+b|≥c; |x-a|+|x-b|≥c.

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第1讲

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1个重要公式 |a±b|≤|a|+|b|,从左到右是一个放大过程，从右到左是缩 小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值. 绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有 时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.

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2点必须注意 1. 含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求 解，对于形如|x-a|+|x-b|>m或|x-a|+|x-b|<m(m为正常数),

利用实数绝对值的几何意义求解较简便.2. 含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可 利用重要不等式|a+b|≤|a|+|b|及推广形式|a1+a2+…+an|≤|a1|+ |a2|+…+|a

第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）

教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.

教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？

答案：及几种变式.

2. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证 证法：（比较法）=….= 二、讲授新课：

1. 教学柯西不等式：

① 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则.

→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）

. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量，，则，.

∵ ，且，则. ∴ ….. 证法四：（函数法）设，则

≥0恒成立. ∴ ≤0，即…..

③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 变式： 或 或.

④ 提出定理2：设是两个向量，则.

即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）

→ 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线） ⑤ 练习：已知a、b、c、d为

高考 中考 高中 初中 数学 资源 全国 期末 试卷 高三 高二 高一 经典 课件 向量 不等式 训练 打包 模拟 测试 三角 函数培优 补差 艺术 复习 教案 集合 概念 竞赛 数形结合 思想方法 备课 苏教 人教 北师大 真题 特级 逻辑 数列 平面 圆锥曲线 立体几何 排列组合 二项式 导数 极限 概率 统计复数 课标 单元 正弦 余弦 定理 应用 易错题 疑难 答案 名校 名师 专题 训练

一、二维形式的柯西不等式

(a b)(c d) (ac bd)

2

2

2

2

2

(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.)

二、二维形式的柯西不等式的变式 (1)a b c d(2)a b c d

2

2

2

2

2

2

2

ac bd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.) ac bd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.)

bd)(a,b,c,d 0,当且仅当ad bc时，等号成立

.)

2

2

(3)(a b)(c d)

(

ac

三、二维形式的柯西不等式的向量形式

(当且仅当 是零向量,或存在实数k,使 k 时,等号成立.)

借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不

高考 中考 高中 初中 数学 资源 全国 期末 试卷 高三 高二 高一 经典 课件 向量 不等式 训练 打包 模拟 测试 三角 函数培优 补差 艺术 复习 教案 集合 概念 竞赛 数形结合 思想方法 备课 苏教 人教 北师大 真题 特级 逻辑 数列 平面 圆锥曲线 立体几何 排列组合 二项式 导数 极限 概率 统计复数 课标 单元 正弦 余弦 定理 应用 易错题 疑难 答案 名校 名师 专题 训练

一、二维形式的柯西不等式

(a b)(c d) (ac bd)

2

2

2

2

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(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.)

二、二维形式的柯西不等式的变式 (1)a b c d(2)a b c d

2

2

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2

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ac bd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.) ac bd(a,b,c,d R,当且仅当ad bc时,等号成立.)

bd)(a,b,c,d 0,当且仅当ad bc时，等号成立

.)

2

2

(3)(a b)(c d)

(

ac

三、二维形式的柯西不等式的向量形式

(当且仅当 是零向量,或存在实数k,使 k 时,等号成立.)

借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不

选修学案§4..1数学归纳法证明不等式姓名 ☆学习目标：.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;

.会运用数学归纳法证明不等式 重点：应用数学归纳法证明不等式. ?知识情景：

关于正整数的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

.验证取时命题(即＝n时命题成立)(归纳奠基）； .假设当时命题成立，证明当＋时命题 (归纳递推）. .由、知，对于一切≥n的自然数命题！(结论）

要诀:递推基础,归纳假设,结论写明.

☆ 数学归纳法的应用：

例. 用数学归纳法证明不等式sinn?≤nsin?.

例已知> ，且?，?*，≥．求证：()>

.

例 证明:如果n(n为正整数)个正数a1,a2,那么它们的和a1?a2?

,an的乘积a1a2an?1,

?an≥n.

例 证明:1?

1111?????2?(n?N,n≥2). 22223nn 例.当n≥2时,求证:1?

12?13??1n?n

选修练习§4.1.1

值为( )

数学归纳法证明不等式（）姓名

、已知()()·,存在自然数,使得对任意∈,都能使整除()，则最大的的

、.观察

第二节不等式的证明

【最新考纲】通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．

1．基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．

定理2：如果a，b为正数，则

a＋b

2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

定理3：如果a，b，c为正数，则

a＋b＋c

3≥

3

abc，当且仅当a ＝b＝c时，等号成立．

定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，a n为n个正数，则

a1＋a2＋…＋a n

n≥

n

a1a2…a n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．

2．不等式证明的方法

(1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．

名称作差比较法作商比较法

理论

依据

a>b?a－b>0

a<b?a－b<0

a＝b?a－b＝0

b>0，

a

b>1?a>b

b<0，

a

b>1?a<b

(2)综合法与分析法

①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．

②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够

第一单元 高考中档大题突破 解答题06：选修4－5(不等式选讲)

年 份 卷 别 Ⅰ卷 2017 Ⅱ卷 Ⅲ卷 具体考查内容及命题位置 不等式的证明·T23 绝对值不等式的解法及恒成立问题·T23 绝对值不等式的解法及不等式有解求参数问题·T23 含绝对值不等式的解法及比较法证明不等式·T24 绝对值不等式的解法及图象·T24 绝对值不等式解法·T24 1.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求命题分析 甲卷 2016 乙卷 丙卷 Ⅰ卷 2015 Ⅱ卷 Ⅰ卷 2014 Ⅱ卷 绝对值不等式的求解、数形结合求三角形面积解，以及绝对值不公式·T24 不等式的证明、充要条件的判断·T24 基本不等式·T24 绝对值的三角不等式、基本不等式、一元二次不等式·T24 等式与函数的综合问题的求解． 2．此部分命题形式单一，稳定，难度中等，备考本部分Ⅰ卷 2013 Ⅱ卷 绝对值不等式的求解、分段函数及其图象及不内容时应注意分类等式恒成立问题·T24 基本不等式的应用·T24

基本考点——绝对值不等式

讨论思想的应用.

1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)?f(