幂函数的基本性质

§1.3 函数的基本性质 1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性

课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．

1．函数的单调性

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是__________．

(3)如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有________________，区间D叫做y＝f(x)的__________． 2．a>0时，二次函数y＝ax2的单调增区间为________． 3．k>0时，y＝kx＋b在R上是____函数．

1

4．函数y＝的单调递减区间为__________________．

x

一、选择题

1．定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如右图所示． 给出如下命题： ①f(0)＝1； ②f(－1)＝1；

③若x>0，则f(x)<0；

④若x<0，则f(x)>0，其中正确的是( ) A．②③ B．①④ C．

教学过程： 一、幂函数

1．幂函数的定义

⑴一般地，形如y x （x R）的函数称为幂函数，其中x是自变量， 是常数； ⑵y x,y x,y x等都是幂函数，在中学里我们只研究 为有理数的情形； ⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数. 2．幂函数的图像

2

13

14

x

12

x 1

⑵归纳幂函数的性质： ① 当 0时：

ⅰ）图象都过 0,0 , 1,1 点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数，且 越大，上升速度越快。 ⅲ）当 1时，图象下凸；当0 1时，图象上凸。

② 当 0时： ⅰ）图象都过 1,1 点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐下降，都是减函数，且 越小，下降速度越快。 思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 例题讲解：

[键入文字] [键入文字]

14

[键入文字]

例1 写出下列函数的定义域和奇偶性

（1）y x （2）y x （3）y x 3 （4）y x 2

例2 比较下列各组中两个值的大小： （1）2,3 ；（2）3.14与

1

6

164

34

34

；（3）( 0.88)与( 0.89)．

34

34

23

34

32

38

5353

函数的基本性质练习题

一、选择题：

1．下面说法正确的选项

A．函数的单调区间可以是函数的定义域

B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2．在区间(??,0)上为增函数的是

A．y?1

B．y?

（ ）

（ ）

x?2 1?x C．y??x2?2x?1 D．y?1?x2

3．函数y?x2?bx?c(x?(??,1))是单调函数时，b的取值范围 A．b??2 B．b??2 C ．b??2 D． b??2 4．如果偶函数在[a,b]具有最大值，那么该函数在[?b,?a]有

A．最大值 B．最小值 5．函数y?x|x|?px，x?R是 A．偶函数 B．奇函数 A．f(x1)?f(x2) C．f(x1)?f(x2)

A．[3,8]

B． [?7,?2]

（ ）

（ ）

C ．没有最大值 D． 没有最小值 （ ） C．不具有奇偶函数 D．与p有关 B．f(x1)?f(x2) D．无法确定

（ ）

C．[0,5]

D．[?2,3]

（

函数的基本性质练习题

一、选择题

1．下面说法正确的选项

（ ）

A．函数的单调区间一定是函数的定义域

B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C．具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称 D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2．在区间( ,0)上为增函数的是

（ ）

A．y 1 B．y x1 x

2

C．y x2 2x 1 D．y 1 x2

3．函数y x2 bx c(x ( ,1))是单调函数时，b的取值范围 （ ）

A．b 2 B．b 2 C ．b 2 D． b 2 4．如果偶函数在[a,b]具有最大值，那么该函数在[ b, a]有

（ ）

A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值 5．函数y x|x| px，x R是

（ ）

A．偶函数

B．奇函数 C．不具有奇偶函数

D．与p有关

6．函数f(x)在(a,b)和(c,d)都是增函数，若x1 (a,b),x2 (c,d)，且x1 x2那么（A．f(x1) f(x2) B．f(x1) f(x2) C．f(x1) f(x2) D．无法确定

7．函数f(x)

三角函数基本性质

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=

2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(?+θ)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?=

a

b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差

三角函数基本性质

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=

2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(?+θ)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?=

a

b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差

高中数学必修一1.3函数的基本性质练习题及答案

一：单项选择题： (共10题,每小题5分,共50分)

1. 已知函数

f(x)?(m?1)x2?(m?2)x?(m2?7m?12)为偶函数，则m的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

2. 若偶函数f(x)在???,?1?上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）

f(?3)?f(?1)?f(2)f(?1)?f(?3)?f(2A.2 B.2)

f(2)?f(?1)?f(?33C.2)f(2)?f(?)?f(?1) D.2

3. 如果奇函数f(x)在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间??7,?3?上是（A.增函数且最小值是?5 B.增函数且最大值是?5 C.减函数且最大值是?5 D.减函数且最小值是?5

4. 设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)?f(x)?f(?x)在R上一定是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 5. 函数

f(x)?x(x?1?x?1)是（ ）

A.是奇函数又是减函数

篇一：比的基本性质 习题

比的基本性质练习题

1、填一填

（1）4÷5＝（ ）÷（ ）＝

（2）16:12＝（16÷□）:（12÷□）＝4:3

(3) 分米: 米的比值是（ ），化成最简整数比是（ ）。

（4）六（1）班有45名同学，共买了225本练习本。练习本的总数与人数的比是（ ），化成最简整数比是（ ）。

（5）甲、乙两个数的比值是 ，如果乙数除以3，要使比值不变，那么甲数（ ）。

（6）甲、乙两个数的比值是0.36，如果甲数乘以5，要使比值不变，那么乙数（ ）。

（7）甲、乙两个数的比值是 ，如果甲、乙两数都乘4，那么比值是（ ）。

（8）甲、乙两个数的比值是6，如果甲、乙两数都除以6，那么比值是（ ）。

2、化简下面各比

13:26 18:45 ： ： 0.375:0.25 0.8：0.05

商店运来的苹果箱数是运来梨的1.6倍，写出苹果箱数和梨箱3、

数的比，并化简。

4、汽车每小时行驶72千米，火车每小时行驶120千米，写出汽车速度与火车速度的比，并化简。

5、某工厂工人数占全厂职工总数的 ，技术人员人数占全厂职工总数的 ，其余的是干部。写出这个工厂的工人、技术人员和干部人数的比。

6、某班学生人数在40到50人之间，男生人数和女生人数的比是5:6。这个班的男生

21．圆的基本性质

一、选择题

1. （2009年娄底）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是 ．．( )

? D．OD＝DE A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C．?AE?BE

【关键词】垂径定理、圆周角、圆心角 【答案】D

2.（2009恩施市）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是（ ）

A．23cm B．32cm C．42cm D．43cm 【关键词】垂径定理、勾股定理 【答案】D

3．（2009年甘肃白银）如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2

- 1 -

【关键词】点和圆的位置关系 【答案】A

4．（2009年甘肃庆阳）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

【关键词】点和圆的位置关系 【答案】A

5．（2009年广西南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为3cm，则弦CD的长为（

幂函数的性质与图象

上海大学附属中学 钱寒静

【教学材料】高中一年级第一学期数学4.1《幂函数的性质与图像》 【教材分析】

幂函数、指、对函数是最基本、最常用的函数模型，是学习其它函数的基础。学生在初中已经学过了正比例、反比例、一次和二次函数，学过指数和幂的知识，本节课是在初中知识的基础上对形如y?xk（的函数进行系统、全面的探究，这既有利于 k为常数，k?Q）学生对函数概念的理解，又对今后学习其它函数提供了方法，从而提高学生的数学应用能力。 【学情分析】

学生在初中已经接触过函数，学习过有关幂的运算性质，并具有一定的列表、画图的能力，授课的班级为上海市示范性高中的学生，他们的数学基础扎实。 【教学目标】 知识与技能：

1、 知道幂函数的概念，理解幂函数当k>0时在第一象限内的图象特征； 2、 类比让学生发现当k<0时，幂函数在第一象限内的图象特征； 3、掌握幂函数当k变化时的图象特征； 过程能力与方法：

在教学中充分发挥学生的主体作用，让他们经历幂函数性质发现的全过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察反思，最终自己得到幂函数的所有性质。

情感、态度与价值观：

让学生认识到幂函数图象的奇特魅力，体会数学的对称美与和谐美，增强学生科学严谨的学习态度，最终深刻理解到量变引起质变的哲学道理。 【重点