线性方程组的应用案例
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线性方程组的应用
线性方程组在现实中的应用
线性方程组在现实生活中的应用非常广泛的,不仅可以广泛地应用于工程学,计算机科学,物理学,数学,经济学,统计学,力学,信号与信号处理,通信,航空等学科和领域,同时也应用于理工类的后继课程,如电路、理论力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理等课程。 为了更好的运用这种理论,必须在解题过程中有意识地联系各种理论的运用条件,并根据相应的实际问题,通过适当变换所知,学会选择最有效的方法来进行解题,通过熟练地运用理论知识来解决数学得问题.
一、 线性方程组的表示
1.按照线性方程组的形式表示有三种 1)一般形式的表示
?a11x1?a12x2?...?a1nxn?b1??a21x1?a22x2?...?a2nxn?b2?...??ax?ax?...?ax?bn22nnnn?n11
2)向量形式:
x1?1?x2?2?...?xn?n??
3)矩阵形式的表示 :
AX??,A???1,?2,...,?n?X??x1,x2,...,xn?T
?0特别地,当?AX???0时,AX??称为齐次线性方程组,而当?时,
称为非齐次线性方程组
2.按照次数分类又可分为两类 1)齐次线性方程组
线性方程组的解法及其应用
线性方程组的解法及其应用
摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一,其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.本文综述了几种不同类型的线性方程组的解法,如消元法、克拉默法则、广义逆矩阵法、直接三角形法、平方根法、追赶法,并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中,广义逆矩阵方法,具有表达式清晰,使用范围广的特点.另外,这些方法利于快速有效地解决线性方程组的求解问题,为解线性方程组提供一个简易平台,促进了理论与实际的结合.
关键词:线性方程组解法广义逆矩阵应用实例
The Solution of Linear Equations and Its Applications
Name: Zhao Tao Student number: 200840510158 Advisor: Chu Yawei
Abstract: Linear equations is one of the core content of linear algebra, the study of its solution is a classic andimportant research topic in algebra. This paper reviews several
线性代数 线性方程组
第四章 线性方程组
1. 设A 为n 阶方阵,若2)(-=n A R ,则0=AX 的基础解系所含向量的个数是( )。
)(A 0个(即不存在) )(B 1个 )(C 2个 )(D n 个
2.如果n 元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵A 的秩小于n ,则( )。
)(A 方程组有无穷多个解 )(B 方程组有惟一解
)(C 方程组无解 )(D 不能断定解的情况
3.设33)(?=ij a A 满足条件:(1)ij ij A a =(3,2,1,=j i ),其中ij A 是元素ij
a 的代数余子式;(2) 133-=a ;(3) ||1A =,则方程组
b AX =,
T b )1,0,0(=的解是( )。
)(A T )2,5,3( )(B T )3,2,1( )(C T )1,0,0(- )(D T )1,0,1(-
4.设A 为n 阶奇异方阵,A 中有一元素ij a 的代数余子式0≠ij A ,则齐次线性方程组0=AX 的基础解系所含向量个数为( )。
)(A i 个 )(B j 个 )(C 1个 )(D n 个
线性方程组解法的探究
线性方程组解法的探究
摘 要线性方程组源自于生活中一些未知元素的一系列特定的关系而转化成的
一组数据关系。对其进行求解可以解决一些方案的设计问题,例如给以新品的开发的多种原料的成分设计提供多种不同的配方。本文将以多种方法对线性方程组求解,并讲诉线性方程组的类别。
关键词
齐次线性方程组 非齐次线性方程组 克拉默(Cramer)法则
Gauss消去法 广义逆矩阵 减号逆矩阵 增广矩阵 矩阵的初等行变换 矩阵的秩
引言
克莱姆法则,又译克拉默法则(Cramer's Rule)是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组,是瑞士数学家克莱姆(1704-1752)于1750年,在他的《线性代数分析导言》中发表的。高斯消元法(或译:高斯消去法),是线性代数中的一个算法,可用来为线性方程组求解,求出矩阵的秩,以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时,高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。不过,如果有过百万条等式时,这个算法会十分费时。一些极大的方程组通常会用迭代法来解决。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。广义逆的思想可追
线性方程组求解matlab实现
3.1 方程组的逆矩阵解法及其MATLAB程序
3.1.3 线性方程组有解的判定条件及其MATLAB程序 判定线性方程组Am?nX?b是否有解的MATLAB程序
function [RA,RB,n]=jiepb(A,b)
B=[A b];n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0,
disp('请注意:因为RA~=RB,所以此方程组无解.') return end
if RA==RB if RA==n
disp('请注意:因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.') else
disp('请注意:因为RA=RB 例3.1.4 判断下列线性方程组解的情况.如果有唯一解,则用表 3-2方法求解. ?3x1?4x2?5x3?7x4?0,?2x1?3x2?x3?5x4?0,?2x?3x?3x?2x?0,?3x?x?2x?7x?0,1234?1234(1) ? (2) ? ??4x1?11x2?13x3?16x4?0,?4x1?x2?3x3?6x4?0,???7x1?2x2?x3?3x4?0;?x1?2x2?4x3?7x4?0;?4x1?2x2?
线性方程组及其矩阵解法
高等代数课程设计,
**大学理学院
本科考查(课程论文)专用封面
学年学期:2019-2020学年第1学期
课程名称:高等代数
任课教师:**
论文/作业题目:《线性方程组及其矩阵解法》
年级专业:19数学类
姓名学号:************
提交时间:2019.12.15
评阅成绩:
评阅意见:
阅卷教师签名:2020年1月4日
高等代数课程设计,
运用矩阵解线性方程组
摘要
解方程是代数中一个基本的问题,对于多元一次方程组,用矩阵来求解及讨论其的是否有解,是否只有唯一解和多解之间的解的结构问题是一个相对简便和可行的办法。本文主要列出矩阵和多元线性方程组性质和概念,对其定理进行证明和讨论,然后找出定理的推论进行归纳总结。最后提出个人的思考与留下的疑问。
关键词:高等代数;线性方程组;矩阵;性质;证明;思考
Abstract
Solving equations is a basic problem in algebra. For multivariate linear equations, the matrix is used to solve and discuss whether there is a solution, whether there is only one
线性代数讲义-03线性方程组
第三章 线性方程组
第一节 线性方程组与矩阵的行等价
一 线性方程组
以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.
定义3.1 多元一次方程组???????=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111称为线性方程组. 方程组有m 个方程, n 个未知数i x (1,2,,i n =), 而ij a (1,2,,i n =;m j ,,2,1 =)是未知数的系数, j b (m j ,,2,1 =)是常数项.
如果0=j b (m j ,,2,1 =), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组. 数组n c c c ,,,21 是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数n x x x ,,,21 , 可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解.
定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解.
按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此
解线性方程组的克拉默法则
第一章 解线性方程组的克拉默(Gramer)法则
解方程是数学中一个基本问题,特别是在中学代数中,解方程占有重要地位,因此这个问题是读者所熟悉的,譬如说,如果我们知道了一段导线的电阻r,它的两端电位差v,那么通过这段导线的电流强度i,就可以由关系式 ir?v
求出来,这就是通常所谓一元一次方程的问题,在中学代数中,我们解过一元,二元,三元以致四元一次方程组,这一章和下一章主要就是讨论一般的多元一次方程组,即线性方程组,这一章是引进行列式来解线性方程组,而下一章则在更一般的情况下来讨论解线性方程组的问题。
线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容。 对于二元线性方程组
?a?11x?1a12x?2b?a21x?1a2x?b
222当a11a22?a12a21?0时,此方程组有唯一解,即 x1a22?a12b2a11b2?a21b1?ba11a2?2a1a x2?221a11a2?2a1a 1221我们称a11a22?a12a21为二级行列式,用符号表示为
a11a22?a12aa1221?a11a
21a22于是上述解可以用二级行列式叙述为:
3.5 线性方程组有解判别定理
高等代数课件(北大第三版——高等教育出版社)
高等代数课件(北大第三版——高等教育出版社)
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 设线性方程组 LLLLLLLLLL a x + a x +L + a x = b s2 2 sn n s s1 1其系数矩阵A和增广矩阵 其系数矩阵 和增广矩阵 A 分别为
(1)
a11 a21 A= L a s1
a12 a22 L as 2
L L L L
a11 a1n a2n A = a21 L , L a s1 asn
a12 a22 L as 2
L L L L
a1n b1 a2 n b2 L L a sn bs
§3.5 线性方程组有解判别定理
高等代数课件(北大第三版——高等教育出版社)
引入向量
a1n a11 a12 b1 a2 n a21 a22 b2 α1 = , α 2 = , L , α n = , β = M M M M
矩阵分解与线性方程组求解
一、 用列主元素高斯削去法求解下述线性方程组:
?x1?13x2?2x3?34x4?13?2x?6x?7x?10x??22?1234 ??10x?x?5x?9x?141234????3x1?5x2?15x4??36程序:
function x=gaussa(a)
m=size(a); n=m(1); x=zeros(n,1); for k=1:n-1
[c,i]=max(abs(a(k:n,k))); q=i+k-1; if q~=k
d=a(q,:);a(q,:)=a(k,:);a(k,:)=d end
for i=k+1:n
a(i,:)=a(i,:)-a(k,:)*a(i,k)/a(k,k) end end
for j=n:-1:1
x(j)=(a(j,n+1)-a(j,j+1:n)*x(j+1:n))/a(j,j) end
执行过程:
>> a=[1 13 -2 -34 13;2 6 -7 -10 -22;-10 -1 5 9 14; -3 -5 0 15 -36] a =
-10 -1 5 9 14 2 6 -7 -10