多项式的不可约与系数域的关系

整系数多项式不可约的判定

摘要:判断一个整系数多项式在有理数域是否可约,有著名的艾森斯坦判别法,

它给出了判别整系数多项式不可约的一个充分条件,但只能判别一些整系数多项式,应用范围受限制,本文在艾森斯坦判别法的基础上对其进行推广,并给出了一种新的判别方法.

关键词: 整系数多项式 不可约 艾森斯坦判别法 素数

如何来判定一个整系数多项式在有理数域是否可约?满足什么条件的整系数多项式在有理数域才具有可约性?本文结合素数给出了以下判别法. 一 艾森斯坦判别法及其推广

定理 : 设 f(x)=anxn?an?1xn?...?a0是一个整系数多项式 如果有一个素数p，使得

1. p不能整除an; 2. p|an?1,an?2,...,a0; 3. p2不能整除a0

那么f(x)在有理数域上是不可约的.

证明 : 如果f(x)在在有理数域上是可约的，那么有定理知，f(x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积,

f(x)=(blxl?l?1xl?1?...?l0)(cmxm?cm?1xm?1?...?c0)

(l,m?n,l?m?n)

因为p∣a0,所以能整除b0或c0，但是p2不能整除a0，所以p 不能同

反证法证明多项式不可约

在有理数域上，直接判别一个多项式是否不可约，是一件及其困难和复杂的事情，此时我们可以利用反证法来判别．

例1 已知p(x)是次数大于零的多项式，若对于任意两个多项式f(x)和

g(x)，由p(x)|f(x)g(x)可以推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)，则p(x)是不可约多

项式．

证明 假设p(x)可约，则必存在次数小于?(p(x))的多项式f(x)与g(x)，使得p(x)?f(x)g(x)，即p(x)|f(x)g(x)，又由已知条件，知p(x)|f(x)，p(x)|g(x)，但?(f(x))??(p(x))，?(g(x))??(p(x))，所以不可能实现，从而p(x)必不为可约多项式．

例2 次数大于1的整系数多项式f(x)对于任意整数的函数值都是素数，则

f(x)为有理数域Q上的不可约多项式．

证明 假设f(x)不是有理数域Q上的不可约多项式，因为?(f(x))?1，所以f(x)在整数环Z上也可约，即有整系数多项式f1(x)与f2(x)，使得

f(x)?f1(x)f2(x)，其中?(fi(x))??(f(x))，i?1,2．

由已知条件知，若a为一个整数，则f(a)为素数，即f(a)?f1(a)f2(a

琼州学院本科毕业论文

有理数域上不可约多项式的判定方法

符世岳

(琼州学院理工学院数学与应用数学06级3班 海南 三亚 572022)

摘 要

本文通过对国内外有关有理数域上不可约多项式的资料的收集和整理,从一般性到特殊性对有理数域上的不可约多项式进行学习研究,并且根据以往的学习心得将有理数域上不可约多项式的知识系统化.通过整理归纳出的有理数域上不可约多项式的一般的判定方法有: 定义法、克罗内克（Kronecker）判别法、艾森斯坦(Eisenstein)判别法、Perron 判别法、Brown判别法、复数性质判别法、已知f?x?没有有理因式的判别法、模p约化判别法(p为素数).而对于一些特殊的多项式则给出了较为简便的判定方法,像奇次多项式、系数为1的多项式、次数小于4的多项式.其中，对次数小于4的情形分类讨论得到了简便的判定方法，而在次数小于4的情形一般化后讨论也得到了相应的判定方法，并对判定方法给出相适应的例子.本文还对各判定方法的等价和包含关系做出判断,较为系统的给出了有理数域上不可约多项式的判定方法.

关键词 不可约 多项式 有理数域 判定方法

琼州学院本科毕业论文

有理数域上不可约多项式的判定方法

符世岳

(琼州学院理工学院数学与应用数学06级3班 海南 三亚 572022)

摘 要

本文通过对国内外有关有理数域上不可约多项式的资料的收集和整理,从一般性到特殊性对有理数域上的不可约多项式进行学习研究,并且根据以往的学习心得将有理数域上不可约多项式的知识系统化.通过整理归纳出的有理数域上不可约多项式的一般的判定方法有: 定义法、克罗内克（Kronecker）判别法、艾森斯坦(Eisenstein)判别法、Perron 判别法、Brown判别法、复数性质判别法、已知f?x?没有有理因式的判别法、模p约化判别法(p为素数).而对于一些特殊的多项式则给出了较为简便的判定方法,像奇次多项式、系数为1的多项式、次数小于4的多项式.其中，对次数小于4的情形分类讨论得到了简便的判定方法，而在次数小于4的情形一般化后讨论也得到了相应的判定方法，并对判定方法给出相适应的例子.本文还对各判定方法的等价和包含关系做出判断,较为系统的给出了有理数域上不可约多项式的判定方法.

关键词 不可约 多项式 有理数域 判定方法

琼州学院本科毕业论文

有理数域上不可约多项式的判定方法

符世岳

(琼州学院理工学院数学与应用数学06级3班 海南 三亚 572022)

摘 要

本文通过对国内外有关有理数域上不可约多项式的资料的收集和整理,从一般性到特殊性对有理数域上的不可约多项式进行学习研究,并且根据以往的学习心得将有理数域上不可约多项式的知识系统化.通过整理归纳出的有理数域上不可约多项式的一般的判定方法有: 定义法、克罗内克（Kronecker）判别法、艾森斯坦(Eisenstein)判别法、Perron 判别法、Brown判别法、复数性质判别法、已知f?x?没有有理因式的判别法、模p约化判别法(p为素数).而对于一些特殊的多项式则给出了较为简便的判定方法,像奇次多项式、系数为1的多项式、次数小于4的多项式.其中，对次数小于4的情形分类讨论得到了简便的判定方法，而在次数小于4的情形一般化后讨论也得到了相应的判定方法，并对判定方法给出相适应的例子.本文还对各判定方法的等价和包含关系做出判断,较为系统的给出了有理数域上不可约多项式的判定方法.

关键词 不可约 多项式 有理数域 判定方法

多项式除法示例 多项式除以多项式的一般步骤：

多项式除以多项式一般用竖式进行演算

（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．

（2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．

（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．

（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式

如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除

多项式除以多项式的运算

多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算(x?9x?20)?(x?4) 规范解法

2 ∴ (x2

?9x?20)?(x?4)?x?5.

解法步骤说明： （1）先把被除式x（2）将被除式x22?9x?20与除式x?4分别按字母的降幂排列好．

22 ?9x?20的第一项x除以除式x?4的第一项x，得x?x?x，这就是商的第一项．

（3

第4章 《多项式的运算》上课教案

第1课时

课题：4.1多项式的加法和减法(1) 教学目的：

1、进一步掌握整式的概念及单项式和多项式的概念。 2、会进行多项式的加法减运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。

教学重点：会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理。

教学难点：正确地去括号、合并同类项，及符号的正确处理。

教学方法：尝试法，讨论法，归纳法。 教学过程：

一、知识准备：

1、填空：整式包括 单项式 和 多项式 。

2、单项式

?2xy332的系数是?2、次数是 3 。

323、多项式3m?2m?5?m是 3 次 4 项式，其中三次项系数是 3 常数项是 -5 。

二、探索练习：

1、如果用a 、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 10a+b ,交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的两位数为 10b+a 。这两个两位数的和为 11a+11b 。

2、如果用a 、b、c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字，那么这个三位数可以表示为 100a+10b+c ,交换这个三位数的百位数字和个位数字后得到的三位数为 100c+10b+

篇一：多项式乘多项式试题精选(二)附答案

多项式乘多项式试题精选（二）

一．填空题（共13小题）

1．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要C类卡片 _________ 张．

2．（x+3）与（2x﹣m）的积中不含x的一次项，则m=．

3．若（x+p）（x+q）=x+mx+24，p，q为整数，则m的值等于

4．如图，已知正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为（a+2b）、宽为（a+b）的大长方形，则需要A类卡片 _________ 张，B类卡片 _________ 张，C类卡片 _________ 张．

2

5．计算：

（﹣p）?（﹣p）=

（6+a）= _________ ．

6．计算（x﹣3x+1）（mx+8）的结果中不含x项，则常数m的值为 _________ ．

7．如图是三种不同类型的地砖，若现有A类4块，B类2块，C类1块，若要拼成一个正方形到还需B类地砖

2223=2xy?（）=﹣6xyz；（5﹣a）2

8．若（x+5）（x﹣7）=x+mx+n，则m=，n=．

9．（x+a）（x+）的计算结果不含x项，则a的值是

10．一块长m米，宽n米的地毯，长、宽各裁掉2米

湘教版七年级下数学导学案

第四章多项式的运算

小结与复习

【学习目标】

1.记住本章所学的公式及运算法则会熟练地进行计算；

2.会熟练地进行多项式的计算，并能进行变式计算；

3.学会在生活中运用所学知识解决实际问题，培养热爱生活的人生情感。

【体验学习】

一、 知识链接

1． 你先看看P108下面的本章知识整体框架，试试根据你所掌握的知识分块回忆，你还记得哪些？和你的同伴交流分享。

2． 动手练一练，你还记得吗？P109的“练一练”。

（1）

（2）

3.请你打开本章的目录，翻翻书，再一次忆一忆，你在这一章学会了些什么？用3-5分钟和你的同伴问答记忆知识点。

二、 自主探究

1．复习教材P85---P86，完全P109复习题四A组1计算（1）（2），注意哦，最后结果按某个字母的降幂排列。

2．复习教材P88---P92，计算（3）题，细心看清底数、指数，记住幂的计算法则。

3．复习教材P93---P98，识记单项式与单项式，单项式与多项式，多项式与多项式相乘的法则，计算2题（1）和3题（2），然后与同伴交流，你的法则运用正确吗？

4．复习乘法公式，看第1题的（4）（5）（6），先看用什么公式好，再看怎样确定公式中的a、b，练一练。

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三、 合作交流

1． 先运

题目: 班级: 姓名: 学号: 日期:

封

皮

课 程 设 计 任 务 书

学院 学生姓名 设计题目 内容及要求： 专业 学号 多项式类的设计与实现 开发多项式类Polynomial，多项式的每一项用链表的结点表示，每项包含一个系数和一个指数。例如：2x的指数为4，系数为2。请开发一个完整的Polynomial类，包括构造函数、析构函数以及“get”函数（读取值）和“set”函数（设置值）。该类还要提供以下重载的运算符： （1） 重载加法运算符＋，将两个多项式相加。 （2） 重载加法运算符－，将两个多项式相减。 （3） 重载赋值运算符＝，将一个多项式赋给另外一个多项式。 （4） 重载加法运算符*，将两个多项式相乘。 （5） 编写一个主函数测试多项式类的上述功能。 4进度安排： 第17周：分析题目，查阅课题相关资料，进行类设计、算法设计； 第18周：程序的设计、调试与实现； 第19周：程序测试与分析，撰写课程设计报告，进行答辩验收。 指导教师（签字）： 年 月 日

学院院长（签字） 年 月 日

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1 需求分析 .....................