初中三角形常用辅助线

三角形中的常用辅助线

例1、倍长中线（线段）造全等

已知：如图3所示，AD为 △ABC的中线，

求证：AB+AC>2AD。

BADCE图?3变式练习 如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交于F，且

AE=EF。

求证：AC=BF。

例2、截长补短

如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，

作?DMN?60?，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?

DNAMBE

变式练习 1. 如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN?DM且与∠ABC外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？

DCADNFBCAMBEE （1题）

（2题）

2.已知如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.

例3、已知：如图3，AB=AC，∠1=∠2． 求证：AO平分∠BAC．

13AO变式练习 如图8，在△ABC中，点E在BC上，点BD在AE上，已知∠ABD=∠CACD，

∠BDE=∠CDE．求证：BD=CD． A

D例4、如图，AB∥CD，E为A

三角形中的常用辅助线

例1、倍长中线（线段）造全等

已知：如图3所示，AD为 △ABC的中线，

求证：AB+AC>2AD。

BADCE图?3变式练习 如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交于F，且

AE=EF。

求证：AC=BF。

例2、截长补短

如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，

作?DMN?60?，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?

DNAMBE

变式练习 1. 如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN?DM且与∠ABC外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？

DCADNFBCAMBEE （1题）

（2题）

2.已知如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.

例3、已知：如图3，AB=AC，∠1=∠2． 求证：AO平分∠BAC．

13AO变式练习 如图8，在△ABC中，点E在BC上，点BD在AE上，已知∠ABD=∠CACD，

∠BDE=∠CDE．求证：BD=CD． A

D例4、如图，AB∥CD，E为A

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全等三角形问题中常见的辅助线的作法

巧添辅助线一——倍长中线

【夯实基础】

例：ABC ?中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC 方法1：作D E ⊥AB 于E ，作D F ⊥AC 于F ，证明二次全等

方法2：辅助线同上，利用面积

方法3：倍长中线AD

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线

△ABC 中

方式1： 延长AD 到E

，

AD 是BC 边中线

使DE=AD ，

连接BE

方式2：间接倍长

作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD

【经典例题】

例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值X 围

例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE

交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE

例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于

F ，求证：AF=EF

提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA

三角形BEG 是等腰三角形

例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、

专题七 三角形中的常用辅助线（学生版）

教学目标

1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。

2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。

一、 知识回顾 课前热身

知识点1、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，

利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

知识点2、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或

是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

知识点3、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式

是全等变换中的“对折”．

知识点4、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模

式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

知识点5、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变

换中的“平移”或“翻转折叠”

知识点6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点

的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

二、 例题辨析 推陈出新

A例1、倍长中线

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(含答案)

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线

合一”的性质解题

2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可

以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计

全等三角形几种常见辅助线精典题型

一、截长补短

1、已知?ABC中，?A?60，BD、CE分别平分?ABC和.?ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．

A

EO

BDC2、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，?DMN?60?，DM与MN有怎样的数量关系?

3、如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=a，AD=h，CB=k，∠AMD=75°，∠BMC=45°，求AB的长。

4、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.

1

AMBEDNDCAMB

5、以?ABC的AB、AC为边向三角形外作等边?ABD、?ACE，连结CD、BE相交于点O．求证：OA平分?DOE．

BDAEDADFBCEAFEOCBOC6、如图所示，?ABC是边长为1的正三角形，?BDC是顶角为120?的等腰三角形，以D为顶点作一个60?的?MDN，点M、N分别在AB、AC上，求?AMN的周长．

NMBDCA

7、如图所示，在?ABC中，AB?AC，D是底边BC上的一点，E是线段AD 上的一

《全等三角形》辅助线做法总结

图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。

一、截长补短法（和，差，倍，分）

截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段，证明剩余的线段与另一段相 等（截取----全等----等量代换）

补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等，再证明延长段与另一短线段相等（延长 ----全等----等量代换）

例如：1，已知，如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB=AC+CD。 2，已知：如图，AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E． 求证：（1）AE⊥BE； （2）AB=AC+BD．

二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等（或图形不完整）时，添加公共边（或一其中 一个图形为基础，添加线段）构建图形。

全等三角形中的常见辅助线的添加（1）

全等三角形中的常见辅助线的添加（1）

一 、连接已知点，构造全等三角形。

例1已知：AC、BD相交于O点，且AB=DC，AC=BD，求证：∠A=∠D

AOBDC

二、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 例2如图：AB‖CD，AD‖BC 求证：AB=CD

ADBC

三、延长已知边构造三角形。

例3如图已知AC=BD，AD与BC不平行，∠CAD=∠CBD，求证：AD=BC

ABDC

四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

例4如图AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF〉EF

AE123D4FBC

五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。 例5如图AD为△ABC的中线，求证：AB+AC〉2AD

ABDC

1

全等三角形中的常见辅助线的添加（1）

练习：1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD取值

ABDC

2、已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边上的中线，分别以AB边，AC边为直角边各向形外作等腰三角形，求证：EF=2AD

三角形（二）——特殊三角形

【等腰三角形】

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形。 2．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

3．等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（常称为“三线合一”）。 4．如果一个三角形有两个内角相等，则它是等腰三角形。

姓 名： 【典型例题】

例1.已知?ABC中，那么?ABC一定是（ ） ?B与?C的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上， （A）直角三角形 （B）等边三角形 （C）等腰三角形 （D）等腰直角三角形

第12届（2001年）初二培训

例2.如图2，在?ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，它们相交于F点，是图中等腰三角形的个数是（ ）

第14届（2003年）初二培训

图2

例3.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）。

图1

（A）30° （B）30°或150° （C）120°或150° （D）30°或120°或150°

第10届（1999年）初二第

初二数学第十一章全等三角形综合复习

切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例1. 如图，求证： A,F,E,B四点共线，AC?CE，AC?BD。?ACF??BDE。BD?DF，AE?BF，

思路：从结论?ACF??BDE入手，全等条件只有AC?BD；由AE?BF两边同时减去EF得到AF?BE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CF?DE，也可以是?A??B。

由条件AC?CE，BD?DF可得?ACE??BDF?90，再加上AE?BF，AC?BD，可以证明?ACE??BDF，从而得到?A??B。

证明?AC?CE，BD?DF

???ACE??BDF?90? 在Rt?ACE与Rt?BDF中 ?AE?BF ??AC?BD?∴Rt?ACE?Rt?BDF(HL)

??A??B ?AE?BF

?AE?EF?BF?EF，即AF?BE 在?ACF与?BDE中 ?AF?BE????A??B ?AC?BD???ACF??BDE(SAS)

思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之