导数与数列

导数引入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了新的生机与活力，怎样利用导数这一工具重新认识原中学数学课程中的有关问题并为其研究提供新的途径和方法，是当今中学数学教学中的新课题之一。纵观各类刊物，对导数的研究多都停留在函数，解析几何等内容上，而对其他方面关注甚少，本文从一个侧面，介绍导数在一类数列求和问题中的应用，以开阔视野。

例1 x?1求下列数列之和： （1）1?2x?3x??nx2222n?1；

n?1（2）1?2x?3x??nx2；

22222n?2（3）C2?C3x?C4x??Cnx.

2?1分析 （1）由(xk)'?kxk?1(k?1,2,?n)，可设f'(x)?1?2x?3x，则???nnx1?xn?1(x?1)上式两端求f(x)?1?x?x?x???x，而1?x?x?x???x?1?x23n23n导，并整理得1?2x?3x???nx2n?11?(n?1)xn?xn?1① ?2(1?x)（2）比较（1）（2）两式中的通项可发现，只需对两端同乘以x，再对x求导便可得到

1?2x?3x???nx（3）由Cnx2n?22n?11?x?(n?1)2xn?(2n2?2n?1)xn?1?n2xn?2 ?3(1?x)?n(n?1)n?21n?

高二导数@数列寒假教案

邦德教育龙华高中部

高二是孤身奋斗的阶段，是一个与寂寞为伍的阶段，是一个耐力、意志、自控力比拚的阶段。但它同时是一个厚实庄重的阶段。这个时期形成的优势最具有实力。亲，为了梦想而战斗吧！

Mr：亮

哥 第一讲 导数的概念与切线问题

【知识要点】

1.导数的概念及其几何意义 2.你熟悉常用的导数公式吗？ 3.导数的运算法则：

（1）两个函数四则运算的导数 （2）复合函数的导数：y'x?y'u·u'x

4.你会利用导数求曲线在某点处的切线方程吗?

【典型例题】

例1.导数的概念题

1．在曲线y?x2?1的图象上取一点?1,2?及邻近一点?1??x,2??y?，则

?y为（ ） ?xA. ?x?1?x?2 B. ?x?1?x?2 C. ?x?2 D. ?x?1?x?2

2.一质点的运动方程为S?5?3t2，则在一段时间?1,1??t?内相应的平均速度为（ A. 3?t?6 B. ?3?t?6 C. 3?t?6 D. ?3?t?6

3.已知f??2??3,则 （1）f?2??x??f?2??l

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高二是孤身奋斗的阶段，是一个与寂寞为伍的阶段，是一个耐力、意志、自控力比拚的阶段。但它同时是一个厚实庄重的阶段。这个时期形成的优势最具有实力。亲，为了梦想而战斗吧！

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【知识要点】

1.导数的概念及其几何意义 2.你熟悉常用的导数公式吗？ 3.导数的运算法则：

（1）两个函数四则运算的导数 （2）复合函数的导数：y'x?y'u·u'x

4.你会利用导数求曲线在某点处的切线方程吗?

【典型例题】

例1.导数的概念题

1．在曲线y?x2?1的图象上取一点?1,2?及邻近一点?1??x,2??y?，则

?y为（ ） ?xA. ?x?1?x?2 B. ?x?1?x?2 C. ?x?2 D. ?x?1?x?2

2.一质点的运动方程为S?5?3t2，则在一段时间?1,1??t?内相应的平均速度为（ A. 3?t?6 B. ?3?t?6 C. 3?t?6 D. ?3?t?6

3.已知f??2??3,则 （1）f?2??x??f?2??l

高中数学第一轮复习学案 数 列

第01讲 数列的概念和简单表示法

广东高考考试大纲说明的具体要求：

① 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）; ② 了解数列是自变量为正整数的一类函数.

（一）基础知识回顾：

1.数列的概念:按照一定______排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的______.

数列的第一项a1也称为_______项，an是数列的第n项，也叫数列的_______项。

如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式来表示，即an?f(n)，那么这个式子就叫做这个数列的___________.数列的通项公式就是相应函数的解析式。

数列{an}中，Sn?a1?a2???an，叫做数列{an}的_____________.

2.数列的分类：项数有限的数列称为_________数列，项数无限的数列称为_________数列。

递增数列：对于任意的n?1,n?N，都有an?1?an； 递减数列：对于任意的n?1,n?N，都有an?1?an； 常数列：对于任意的n?1,n?N，都有an?1?an。 3.常见数列：分别写出以下几个数列的一个通项公式：

（1）1,2,3,4,5

二、 一元函数微分学 第 1 页 共 28 页

二、 导数与微分学

[选择题]

容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。

1．设函数y?f(x)在点x0处可导，?y?f(x0?h)?f(x0)，则当h?0时，必有( )

(A) dy是h的同价无穷小量. (B) ?y-dy是h的同阶无穷小量。 (C) dy是比h高阶的无穷小量. (D) ?y-dy是比h高阶的无穷小量. 答D

2． 已知f(x)是定义在(??,??)上的一个偶函数，且当x?0时，f?(x)?0,f??(x)?0， 则在(0,??)内有（ ）

（A）f?(x)?0,f??(x)?0。 （B）f?(x)?0,f??(x)?0。 （C）f?(x)?0,f??(x)?0。 （D）f?(x)?0,f??(x)?0。 答C

3．已知f(x)在[a,b]上可导，则f?(x)?0是f(x)在[a,b]上单减的（ ）

（A）必要条件。 (B) 充分条件。

（C）充要条件。 （D）既非必要，又非充分条件。 答B

x2arctanx的渐近线的条数，则n?（ ）

1 导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法

函数与方程数学思想方法是新课标要求的一种重要的数学思想方法，构造函数法便是其中的一种，下面就源于两个重要极限的不等式利用近三年高考题举例加以说明。

1．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且22()()f x xf x x '+>，下面的不等式在R 上恒成立的是

A ．0)(>x f

B ．0)(

C ．x x f >)(

D ．x x f <)(

【答案】A

【解析】由已知，首先令0=x 得0)(>x f ，排除B ，D ．

令2()()g x x f x =，则[]()2()()g x x f x xf x ''=+，

① 当0x >时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x

'''+=>?>，所以函数()g x 单调递增，所以当0x >时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．

② 当0x <时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x

'''+=>?<，所以函数()g x 单调递减，所以当0x <时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ．综上0)(>x f ．故选A ．

【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．

2．已知函数21()(

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考点10 变化率与导数、导数的计算

一、选择题

1.（2012·陕西高考理科·Ｔ7）设函数f(x)?xex，则（ ） (A) x?1为f(x)的极大值点 (B) x?1为f(x)的极小值点 (C) x??1为f(x)的极大值点 (D) x??1为f(x)的极小值点

【解题指南】先根据导数的乘法法则求导，然后由导数等于0求出极值点，再根据导数的正、负判断函数的单调性，判断极值点是极大值点还是极小值点.

xxxxf(x)?xe?ex(x?1)()x?(xe)?e?xe【解析】选D.∵，∴f?，令f?(x)?0，则x??1，

当x??1时，

f?(x)?0；当x??1时，f?(x)?0，所以x??1为f(x)的极小值点.

二、填空题

2.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ13）曲线y=x(3lnx+1)在点（1,1）处的切线方程为________

【解题指南】通过求导得切线斜率，一点一斜率可确定切线方程，最后将方程化为一般式。

x?4【解析】y??3l

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二、 导数与微分学

[选择题]

容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。

1．设函数y?f(x)在点x0处可导，?y?f(x0?h)?f(x0)，则当h?0时，必有( )

(A) dy是h的同价无穷小量. (B) ?y-dy是h的同阶无穷小量。 (C) dy是比h高阶的无穷小量. (D) ?y-dy是比h高阶的无穷小量. 答D

2． 已知f(x)是定义在(??,??)上的一个偶函数，且当x?0时，f?(x)?0,f??(x)?0， 则在(0,??)内有（ ）

（A）f?(x)?0,f??(x)?0。 （B）f?(x)?0,f??(x)?0。 （C）f?(x)?0,f??(x)?0。 （D）f?(x)?0,f??(x)?0。 答C

3．已知f(x)在[a,b]上可导，则f?(x)?0是f(x)在[a,b]上单减的（ ）

（A）必要条件。 (B) 充分条件。

（C）充要条件。 （D）既非必要，又非充分条件。 答B

x2arctanx的渐近线的条数，则n?（ ）

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二、 导数与微分学

[选择题]

容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。

1．设函数y?f(x)在点x0处可导，?y?f(x0?h)?f(x0)，则当h?0时，必有( )

(A) dy是h的同价无穷小量. (B) ?y-dy是h的同阶无穷小量。 (C) dy是比h高阶的无穷小量. (D) ?y-dy是比h高阶的无穷小量. 答D

2． 已知f(x)是定义在(??,??)上的一个偶函数，且当x?0时，f?(x)?0,f??(x)?0， 则在(0,??)内有（ ）

（A）f?(x)?0,f??(x)?0。 （B）f?(x)?0,f??(x)?0。 （C）f?(x)?0,f??(x)?0。 （D）f?(x)?0,f??(x)?0。 答C

3．已知f(x)在[a,b]上可导，则f?(x)?0是f(x)在[a,b]上单减的（ ）

（A）必要条件。 (B) 充分条件。

（C）充要条件。 （D）既非必要，又非充分条件。 答B

x2arctanx的渐近线的条数，则n?（ ）

一、函数与极限 导数 导数的应用

一、填空题

x a

(1) 设a为非零常数，则lim . x x a x 2a (2) 设lim 8，则a . x x a

1,|x| 1,

(3) 设函数f(x) ，则f[f(x)] .

0,|x| 1,

(4) 已知当x 0时，(1 ax) 1与cosx 1是等价无穷小，则常数a (5) 若f(t) limt(1 )

x

x

x

1

23

1x

2tx

，则f (t)

123

(6) 已知当x 0时，(1 ax) 1与cosx 1是等价无穷小，则常数a . (7) 已知f (3) 2，则lim

h 0

f(3 h) f(3)

2h

x 1 t2,d2y(8) 设 则2

y cost,dx

(9) x 0

．

2sinx

(10) lim 1 3x

x

.

1 1

sinxx 3sinx x2cos ． (12) lim

x 0(13) lim( ) 2x 0x(11) limcotx

x 0

(14) 当x y x 2x取得极小值。

(15) 对数螺线 e在点( , ) (e,)处的切线的直角坐标方程为．

2y2

(16) 已知函数y y(x)由